Математический анализ Примеры

$x \frac{d y}{d x} + 2 x y - x^{2} = 0$

Этап 1

Перепишем дифференциальное уравнение в виде $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Добавим $x^{2}$ к обеим частям уравнения.

$x \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2}$

Этап 1.2

Разделим каждый член $x \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2}$ на $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{2 x y}{x} = \frac{x^{2}}{x}$

Этап 1.3

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{2 x y}{x} = \frac{x^{2}}{x}$

Этап 1.3.2

Разделим $\frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 x y}{x} = \frac{x^{2}}{x}$

Этап 1.4

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 x y}{x} = \frac{x^{2}}{x}$

Этап 1.4.2

Разделим $2 y$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} + 2 y = \frac{x^{2}}{x}$

Этап 1.5

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} + 2 y = \frac{x \cdot x}{x}$

Этап 1.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{d y}{d x} + 2 y = \frac{x \cdot x}{x^{1}}$

Этап 1.5.2.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} + 2 y = \frac{x \cdot x}{x \cdot 1}$

Этап 1.5.2.3

Сократим общий множитель.

$\frac{d y}{d x} + 2 y = \frac{x \cdot x}{x \cdot 1}$

Этап 1.5.2.4

Перепишем это выражение.

$\frac{d y}{d x} + 2 y = \frac{x}{1}$

Этап 1.5.2.5

Разделим $x$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} + 2 y = x$

Этап 2

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (x) d x}$ , где $P (x) = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int 2 d x}$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$e^{2 x + C}$

Этап 2.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{2 x}$

Этап 3

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $e^{2 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член на $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + e^{2 x} (2 y) = e^{2 x} x$

Этап 3.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = e^{2 x} x$

Этап 3.3

Изменим порядок множителей в $e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = e^{2 x} x$ .

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 y e^{2 x} = x e^{2 x}$

Этап 4

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [e^{2 x} y] = x e^{2 x}$

Этап 5

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [e^{2 x} y] d x = \int x e^{2 x} d x$

Этап 6

Проинтегрируем левую часть.

$e^{2 x} y = \int x e^{2 x} d x$

Этап 7

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x$ и $d v = e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = x (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x$

Этап 7.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = x \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x$

Этап 7.2.2

Объединим $x$ и $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$e^{2 x} y = \frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x$

Этап 7.3

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$e^{2 x} y = \frac{x e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} d x)$

Этап 7.4

Пусть $u = 2 x$ . Тогда $d u = 2 d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Пусть $u = 2 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1.1

Дифференцируем $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 7.4.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 7.4.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 7.4.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 7.4.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$e^{2 x} y = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

Этап 7.5

Объединим $e^{u}$ и $\frac{1}{2}$ .

$e^{2 x} y = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{e^{u}}{2} d u$

Этап 7.6

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$e^{2 x} y = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)$

Этап 7.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.7.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$e^{2 x} y = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u$

Этап 7.7.2

Умножим $2$ на $2$ .

$e^{2 x} y = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u$

Этап 7.8

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$e^{2 x} y = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C)$

Этап 7.9

Перепишем $\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C)$ в виде $\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u} + C$ .

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u} + C$

Этап 7.10

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x} + C$

Этап 8

Разделим каждый член $e^{2 x} y = \frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x} + C$ на $e^{2 x}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Разделим каждый член $e^{2 x} y = \frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x} + C$ на $e^{2 x}$ .

$\frac{e^{2 x} y}{e^{2 x}} = \frac{\frac{1}{2} x e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{1}{4} e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Этап 8.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Сократим общий множитель $e^{2 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{2 x} y}{e^{2 x}} = \frac{\frac{1}{2} x e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{1}{4} e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Этап 8.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{2} x e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{1}{4} e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Этап 8.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1

Сократим общий множитель $e^{2 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$y = \frac{\frac{1}{2} x e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{1}{4} e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Этап 8.3.1.1.2

Разделим $\frac{1}{2} x$ на $1$ .

$y = \frac{1}{2} x + \frac{- \frac{1}{4} e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Этап 8.3.1.2

Сократим общий множитель $e^{2 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.2.1

Сократим общий множитель.

$y = \frac{1}{2} x + \frac{- \frac{1}{4} e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Этап 8.3.1.2.2

Разделим $- \frac{1}{4}$ на $1$ .

$y = \frac{1}{2} x - \frac{1}{4} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Этап 8.3.2

Вычтем $\frac{1}{4}$ из $\frac{1}{2} x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1

Изменим порядок $\frac{1}{2}$ и $x$ .

$y = x \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Этап 8.3.2.2

Чтобы записать $x \frac{1}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$y = x \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Этап 8.3.2.3

Объединим $x \frac{1}{2}$ и $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{x \frac{1}{2} \cdot 4}{4} - \frac{1}{4} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Этап 8.3.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{x \frac{1}{2} \cdot 4 - 1}{4} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Этап 8.3.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.3.1

Объединим $x$ и $\frac{1}{2}$ .

$y = \frac{\frac{x}{2} \cdot 4 - 1}{4} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Этап 8.3.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$y = \frac{\frac{x}{2} \cdot (2 (2)) - 1}{4} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Этап 8.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$y = \frac{\frac{x}{2} \cdot (2 \cdot 2) - 1}{4} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Этап 8.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$y = \frac{x \cdot 2 - 1}{4} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Этап 8.3.3.3

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$y = \frac{2 x - 1}{4} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Этап 8.3.4

Чтобы записать $\frac{2 x - 1}{4}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{e^{2 x}}{e^{2 x}}$ .

$y = \frac{2 x - 1}{4} \cdot \frac{e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Этап 8.3.5

Чтобы записать $\frac{C}{e^{2 x}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{2 x - 1}{4} \cdot \frac{e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}} \cdot \frac{4}{4}$

Этап 8.3.6

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $4 e^{2 x}$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.6.1

Умножим $\frac{2 x - 1}{4}$ на $\frac{e^{2 x}}{e^{2 x}}$ .

$y = \frac{(2 x - 1) e^{2 x}}{4 e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}} \cdot \frac{4}{4}$

Этап 8.3.6.2

Умножим $\frac{C}{e^{2 x}}$ на $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{(2 x - 1) e^{2 x}}{4 e^{2 x}} + \frac{C \cdot 4}{e^{2 x} \cdot 4}$

Этап 8.3.6.3

Изменим порядок множителей в $e^{2 x} \cdot 4$ .

$y = \frac{(2 x - 1) e^{2 x}}{4 e^{2 x}} + \frac{C \cdot 4}{4 e^{2 x}}$

Этап 8.3.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{(2 x - 1) e^{2 x} + C \cdot 4}{4 e^{2 x}}$

Этап 8.3.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{2 x e^{2 x} - 1 e^{2 x} + C \cdot 4}{4 e^{2 x}}$

Этап 8.3.8.2

Перепишем $- 1 e^{2 x}$ в виде $- e^{2 x}$ .

$y = \frac{2 x e^{2 x} - e^{2 x} + C \cdot 4}{4 e^{2 x}}$

Этап 8.3.8.3

Перенесем $4$ влево от $C$ .

$y = \frac{2 x e^{2 x} - e^{2 x} + 4 C}{4 e^{2 x}}$