Математический анализ Примеры

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r^{2}}{θ}$ , $r (1) = 2$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $\frac{1}{r^{2}}$ .

$\frac{1}{r^{2}} \frac{d r}{d θ} = \frac{1}{r^{2}} \cdot \frac{r^{2}}{θ}$

Этап 1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Объединим.

$\frac{1}{r^{2}} \frac{d r}{d θ} = \frac{1 r^{2}}{r^{2} θ}$

Этап 1.2.2

Сократим общий множитель $r^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{r^{2}} \frac{d r}{d θ} = \frac{1 r^{2}}{r^{2} θ}$

Этап 1.2.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{r^{2}} \frac{d r}{d θ} = \frac{1}{θ}$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{r^{2}} d r = \frac{1}{θ} d θ$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{r^{2}} d r = \int \frac{1}{θ} d θ$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Вынесем $r^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int {(r^{2})}^{- 1} d r = \int \frac{1}{θ} d θ$

Этап 2.2.1.2

Перемножим экспоненты в ${(r^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int r^{2 \cdot - 1} d r = \int \frac{1}{θ} d θ$

Этап 2.2.1.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\int r^{- 2} d r = \int \frac{1}{θ} d θ$

Этап 2.2.2

По правилу степени интеграл $r^{- 2}$ по $r$ имеет вид $- r^{- 1}$ .

$- r^{- 1} + C_{1} = \int \frac{1}{θ} d θ$

Этап 2.2.3

Перепишем $- r^{- 1} + C_{1}$ в виде $- \frac{1}{r} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{r} + C_{1} = \int \frac{1}{θ} d θ$

Этап 2.3

Интеграл $\frac{1}{θ}$ по $θ$ имеет вид $\ln (| θ |)$ .

$- \frac{1}{r} + C_{1} = \ln (| θ |) + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$- \frac{1}{r} = \ln (| θ |) + C$

Этап 3

Решим относительно $r$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$r, 1, 1$

Этап 3.1.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$r$

Этап 3.2

Каждый член в $- \frac{1}{r} = \ln (| θ |) + C$ умножим на $r$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Умножим каждый член $- \frac{1}{r} = \ln (| θ |) + C$ на $r$ .

$- \frac{1}{r} r = \ln (| θ |) r + C r$

Этап 3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Сократим общий множитель $r$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{r}$ в числитель.

$\frac{- 1}{r} r = \ln (| θ |) r + C r$

Этап 3.2.2.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1}{r} r = \ln (| θ |) r + C r$

Этап 3.2.2.1.3

Перепишем это выражение.

$- 1 = \ln (| θ |) r + C r$

Этап 3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Изменим порядок множителей в $\ln (| θ |) r + C r$ .

$- 1 = r \ln (| θ |) + C r$

Этап 3.3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем уравнение в виде $r \ln (| θ |) + C r = - 1$ .

$r \ln (| θ |) + C r = - 1$

Этап 3.3.2

Вынесем множитель $r$ из $r \ln (| θ |) + C r$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Вынесем множитель $r$ из $C r$ .

$r \ln (| θ |) + r C = - 1$

Этап 3.3.2.2

Вынесем множитель $r$ из $r \ln (| θ |) + r C$ .

$r (\ln (| θ |) + C) = - 1$

Этап 3.3.3

Разделим каждый член $r (\ln (| θ |) + C) = - 1$ на $\ln (| θ |) + C$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Разделим каждый член $r (\ln (| θ |) + C) = - 1$ на $\ln (| θ |) + C$ .

$\frac{r (\ln (| θ |) + C)}{\ln (| θ |) + C} = \frac{- 1}{\ln (| θ |) + C}$

Этап 3.3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.1

Сократим общий множитель $\ln (| θ |) + C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{r (\ln (| θ |) + C)}{\ln (| θ |) + C} = \frac{- 1}{\ln (| θ |) + C}$

Этап 3.3.3.2.1.2

Разделим $r$ на $1$ .

$r = \frac{- 1}{\ln (| θ |) + C}$

Этап 3.3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$r = - \frac{1}{\ln (| θ |) + C}$

Этап 4

Используем начальное условие, чтобы найти значение $C$ , подставив $1$ вместо $θ$ и $2$ вместо $r$ в $r = - \frac{1}{\ln (| θ |) + C}$ .

$2 = - \frac{1}{\ln (| 1 |) + C}$

Этап 5

Решим относительно $C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем уравнение в виде $- \frac{1}{\ln (| 1 |) + C} = 2$ .

$- \frac{1}{\ln (| 1 |) + C} = 2$

Этап 5.2

Разложим на множители каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$- \frac{1}{\ln (1) + C} = 2$

Этап 5.2.2

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$- \frac{1}{0 + C} = 2$

Этап 5.2.3

Добавим $0$ и $C$ .

$- \frac{1}{C} = 2$

Этап 5.3

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$C, 1$

Этап 5.3.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$C$

Этап 5.4

Каждый член в $- \frac{1}{C} = 2$ умножим на $C$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Умножим каждый член $- \frac{1}{C} = 2$ на $C$ .

$- \frac{1}{C} C = 2 C$

Этап 5.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Сократим общий множитель $C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{C}$ в числитель.

$\frac{- 1}{C} C = 2 C$

Этап 5.4.2.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1}{C} C = 2 C$

Этап 5.4.2.1.3

Перепишем это выражение.

$- 1 = 2 C$

Этап 5.5

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Перепишем уравнение в виде $2 C = - 1$ .

$2 C = - 1$

Этап 5.5.2

Разделим каждый член $2 C = - 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Разделим каждый член $2 C = - 1$ на $2$ .

$\frac{2 C}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 5.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 C}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 5.5.2.2.1.2

Разделим $C$ на $1$ .

$C = \frac{- 1}{2}$

Этап 5.5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$C = - \frac{1}{2}$

Этап 6

Подставим $- \frac{1}{2}$ вместо $C$ в $r = - \frac{1}{\ln (| θ |) + C}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Подставим $- \frac{1}{2}$ вместо $C$ .

$r = - \frac{1}{\ln (| θ |) - \frac{1}{2}}$

Этап 6.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Чтобы записать $\ln (| θ |)$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$r = - \frac{1}{\ln (| θ |) \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}$

Этап 6.2.2

Объединим $\ln (| θ |)$ и $\frac{2}{2}$ .

$r = - \frac{1}{\frac{\ln (| θ |) \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}}$

Этап 6.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$r = - \frac{1}{\frac{\ln (| θ |) \cdot 2 - 1}{2}}$

Этап 6.2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.1

Умножим $\ln (| θ |) \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.1.1

Изменим порядок $\ln (| θ |)$ и $2$ .

$r = - \frac{1}{\frac{2 \cdot \ln (| θ |) - 1}{2}}$

Этап 6.2.4.1.2

Упростим $2 \cdot \ln (| θ |)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$r = - \frac{1}{\frac{\ln ({| θ |}^{2}) - 1}{2}}$

Этап 6.2.4.2

Уберем знак модуля в ${| θ |}^{2}$ , поскольку любое число в четной степени всегда положительное.

$r = - \frac{1}{\frac{\ln (θ^{2}) - 1}{2}}$

Этап 6.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$r = - (1 \frac{2}{\ln (θ^{2}) - 1})$

Этап 6.4

Умножим $\frac{2}{\ln (θ^{2}) - 1}$ на $1$ .

$r = - \frac{2}{\ln (θ^{2}) - 1}$