Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = 2 + 2 x y$

Этап 1

Вычтем $2 x y$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d y}{d x} - 2 x y = 2$

Этап 2

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (x) d x}$ , где $P (x) = - 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int - 2 x d x}$

Этап 2.2

Проинтегрируем $- 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 2$ из-под знака интеграла.

$e^{- 2 \int x d x}$

Этап 2.2.2

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)}$

Этап 2.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Перепишем $- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ в виде $- 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$e^{- 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C}$

Этап 2.2.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.2.1

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{2}$ .

$e^{\frac{- 2}{2} x^{2} + C}$

Этап 2.2.3.2.2

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$e^{\frac{2 \cdot - 1}{2} x^{2} + C}$

Этап 2.2.3.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.2.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} x^{2} + C}$

Этап 2.2.3.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} x^{2} + C}$

Этап 2.2.3.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$e^{\frac{- 1}{1} x^{2} + C}$

Этап 2.2.3.2.2.2.4

Разделим $- 1$ на $1$ .

$e^{- x^{2} + C}$

Этап 2.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{- x^{2}}$

Этап 3

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $e^{- x^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член на $e^{- x^{2}}$ .

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} + e^{- x^{2}} (- 2 x y) = e^{- x^{2}} \cdot 2$

Этап 3.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- x^{2}} (x y) = e^{- x^{2}} \cdot 2$

Этап 3.3

Перенесем $2$ влево от $e^{- x^{2}}$ .

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- x^{2}} (x y) = 2 \cdot e^{- x^{2}}$

Этап 3.4

Изменим порядок множителей в $e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- x^{2}} (x y) = 2 e^{- x^{2}}$ .

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 x y e^{- x^{2}} = 2 e^{- x^{2}}$

Этап 4

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [e^{- x^{2}} y] = 2 e^{- x^{2}}$

Этап 5

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}} y] d x = \int 2 e^{- x^{2}} d x$

Этап 6

Проинтегрируем левую часть.

$e^{- x^{2}} y = \int 2 e^{- x^{2}} d x$

Этап 7

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$e^{- x^{2}} y = 2 \int e^{- x^{2}} d x$

Этап 7.2

$\int e^{- x^{2}} d x$ — особый интеграл. Интеграл соответствует функции ошибок.

$e^{- x^{2}} y = 2 (erf (x) + C)$

Этап 7.3

Упростим.

$e^{- x^{2}} y = 2 erf (x) + C$

Этап 8

Разделим каждый член $e^{- x^{2}} y = 2 e r f x + C$ на $e^{- x^{2}}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Разделим каждый член $e^{- x^{2}} y = 2 e r f x + C$ на $e^{- x^{2}}$ .

$\frac{e^{- x^{2}} y}{e^{- x^{2}}} = \frac{2 e r f x}{e^{- x^{2}}} + \frac{C}{e^{- x^{2}}}$

Этап 8.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Сократим общий множитель $e^{- x^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{- x^{2}} y}{e^{- x^{2}}} = \frac{2 e r f x}{e^{- x^{2}}} + \frac{C}{e^{- x^{2}}}$

Этап 8.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{2 e r f x}{e^{- x^{2}}} + \frac{C}{e^{- x^{2}}}$