Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d t} = \frac{t + t y}{1 + t^{2}}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $t$ из $t + t y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возведем $t$ в степень $1$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{t^{1} + t y}{1 + t^{2}}$

Этап 1.1.2

Вынесем множитель $t$ из $t^{1}$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{t \cdot 1 + t y}{1 + t^{2}}$

Этап 1.1.3

Вынесем множитель $t$ из $t y$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{t \cdot 1 + t (y)}{1 + t^{2}}$

Этап 1.1.4

Вынесем множитель $t$ из $t \cdot 1 + t (y)$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{t \cdot (1 + y)}{1 + t^{2}}$

Этап 1.1.5

Умножим $t$ на $1 + y$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{t (1 + y)}{1 + t^{2}}$

Этап 1.2

Перегруппируем множители.

$\frac{d y}{d t} = \frac{t}{1 + t^{2}} (1 + y)$

Этап 1.3

Умножим обе части на $\frac{1}{1 + y}$ .

$\frac{1}{1 + y} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{1 + y} (\frac{t}{1 + t^{2}} (1 + y))$

Этап 1.4

Сократим общий множитель $1 + y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Вынесем множитель $1 + y$ из $\frac{t}{1 + t^{2}} (1 + y)$ .

$\frac{1}{1 + y} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{1 + y} ((1 + y) \frac{t}{1 + t^{2}})$

Этап 1.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{1 + y} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{1 + y} ((1 + y) \frac{t}{1 + t^{2}})$

Этап 1.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{1 + y} \frac{d y}{d t} = \frac{t}{1 + t^{2}}$

Этап 1.5

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{1 + y} d y = \frac{t}{1 + t^{2}} d t$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{1 + y} d y = \int \frac{t}{1 + t^{2}} d t$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Пусть $u_{1} = 1 + y$ . Тогда $d u_{1} = d y$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Пусть $u_{1} = 1 + y$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Дифференцируем $1 + y$ .

$\frac{d}{d y} [1 + y]$

Этап 2.2.1.1.2

По правилу суммы производная $1 + y$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y]$

Этап 2.2.1.1.3

Поскольку $1$ является константой относительно $y$ , производная $1$ относительно $y$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y]$

Этап 2.2.1.1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 + 1$

Этап 2.2.1.1.5

Добавим $0$ и $1$ .

$1$

Этап 2.2.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{t}{1 + t^{2}} d t$

Этап 2.2.2

Интеграл $\frac{1}{u_{1}}$ по $u_{1}$ имеет вид $\ln (| u_{1} |)$ .

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{t}{1 + t^{2}} d t$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $1 + y$ .

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = \int \frac{t}{1 + t^{2}} d t$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Пусть $u_{2} = 1 + t^{2}$ . Тогда $d u_{2} = 2 t d t$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{2} = t d t$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Пусть $u_{2} = 1 + t^{2}$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.1

Дифференцируем $1 + t^{2}$ .

$\frac{d}{d t} [1 + t^{2}]$

Этап 2.3.1.1.2

По правилу суммы производная $1 + t^{2}$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Этап 2.3.1.1.3

Поскольку $1$ является константой относительно $t$ , производная $1$ относительно $t$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Этап 2.3.1.1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$0 + 2 t$

Этап 2.3.1.1.5

Добавим $0$ и $2 t$ .

$2 t$

Этап 2.3.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Этап 2.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Умножим $\frac{1}{u_{2}}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Этап 2.3.2.2

Перенесем $2$ влево от $u_{2}$ .

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Этап 2.3.3

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 2.3.4

Интеграл $\frac{1}{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Этап 2.3.5

Упростим.

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Этап 2.3.6

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $1 + t^{2}$ .

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| 1 + t^{2} |) + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\ln (| 1 + y |) = \frac{1}{2} \ln (| 1 + t^{2} |) + C$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\ln (| 1 + t^{2} |)$ .

$\ln (| 1 + y |) = \frac{\ln (| 1 + t^{2} |)}{2} + C$

Этап 3.2

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\ln (| 1 + y |) - \frac{\ln (| 1 + t^{2} |)}{2} = C$

Этап 3.3

Чтобы записать $\ln (| 1 + y |)$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| 1 + y |) \cdot \frac{2}{2} - \frac{\ln (| 1 + t^{2} |)}{2} = C$

Этап 3.4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Объединим $\ln (| 1 + y |)$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (| 1 + y |) \cdot 2}{2} - \frac{\ln (| 1 + t^{2} |)}{2} = C$

Этап 3.4.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\ln (| 1 + y |) \cdot 2 - \ln (| 1 + t^{2} |)}{2} = C$

Этап 3.5

Перенесем $2$ влево от $\ln (| 1 + y |)$ .

$\frac{2 \ln (| 1 + y |) - \ln (| 1 + t^{2} |)}{2} = C$

Этап 3.6

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Упростим $\frac{2 \ln (| 1 + y |) - \ln (| 1 + t^{2} |)}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.1.1

Упростим $2 \ln (| 1 + y |)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\frac{\ln ({| 1 + y |}^{2}) - \ln (| 1 + t^{2} |)}{2} = C$

Этап 3.6.1.1.2

Уберем знак модуля в ${| 1 + y |}^{2}$ , поскольку любое число в четной степени всегда положительное.

$\frac{\ln ({(1 + y)}^{2}) - \ln (| 1 + t^{2} |)}{2} = C$

Этап 3.6.1.1.3

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\ln (\frac{{(1 + y)}^{2}}{| 1 + t^{2} |})}{2} = C$

Этап 3.6.1.2

Перепишем $\frac{\ln (\frac{{(1 + y)}^{2}}{| 1 + t^{2} |})}{2}$ в виде $\frac{1}{2} \ln (\frac{{(1 + y)}^{2}}{| 1 + t^{2} |})$ .

$\frac{1}{2} \ln (\frac{{(1 + y)}^{2}}{| 1 + t^{2} |}) = C$

Этап 3.6.1.3

Упростим $\frac{1}{2} \ln (\frac{{(1 + y)}^{2}}{| 1 + t^{2} |})$ путем переноса $\frac{1}{2}$ под логарифм.

$\ln ({(\frac{{(1 + y)}^{2}}{| 1 + t^{2} |})}^{\frac{1}{2}}) = C$

Этап 3.6.1.4

Применим правило умножения к $\frac{{(1 + y)}^{2}}{| 1 + t^{2} |}$ .

$\ln (\frac{{({(1 + y)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{| 1 + t^{2} |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Этап 3.6.1.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.5.1

Перемножим экспоненты в ${({(1 + y)}^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.5.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (\frac{{(1 + y)}^{2 (\frac{1}{2})}}{{| 1 + t^{2} |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Этап 3.6.1.5.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.5.1.2.1

Сократим общий множитель.

$\ln (\frac{{(1 + y)}^{2 (\frac{1}{2})}}{{| 1 + t^{2} |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Этап 3.6.1.5.1.2.2

Перепишем это выражение.

$\ln (\frac{{(1 + y)}^{1}}{{| 1 + t^{2} |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Этап 3.6.1.5.2

Упростим.

$\ln (\frac{1 + y}{{| 1 + t^{2} |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Этап 3.7

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (\frac{1 + y}{{| 1 + t^{2} |}^{\frac{1}{2}}})} = e^{C}$

Этап 3.8

Перепишем $\ln (\frac{1 + y}{{| 1 + t^{2} |}^{\frac{1}{2}}}) = C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{1 + y}{{| 1 + t^{2} |}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 3.9

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{1 + y}{{| 1 + t^{2} |}^{\frac{1}{2}}} = e^{C}$ .

$\frac{1 + y}{{| 1 + t^{2} |}^{\frac{1}{2}}} = e^{C}$

Этап 3.9.2

Умножим обе части на ${| 1 + t^{2} |}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1 + y}{{| 1 + t^{2} |}^{\frac{1}{2}}} {| 1 + t^{2} |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} {| 1 + t^{2} |}^{\frac{1}{2}}$

Этап 3.9.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.3.1

Упростим $\frac{1 + y}{{| 1 + t^{2} |}^{\frac{1}{2}}} {| 1 + t^{2} |}^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.3.1.1

Сократим общий множитель ${| 1 + t^{2} |}^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1 + y}{{| 1 + t^{2} |}^{\frac{1}{2}}} {| 1 + t^{2} |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} {| 1 + t^{2} |}^{\frac{1}{2}}$

Этап 3.9.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$1 + y = e^{C} {| 1 + t^{2} |}^{\frac{1}{2}}$

Этап 3.9.3.1.2

Изменим порядок $1$ и $y$ .

$y + 1 = e^{C} {| 1 + t^{2} |}^{\frac{1}{2}}$

Этап 3.9.4

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$y = e^{C} {| 1 + t^{2} |}^{\frac{1}{2}} - 1$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = C {| 1 + t^{2} |}^{\frac{1}{2}} - 1$