Математический анализ Примеры

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r^{2} + 2 r θ}{θ^{2}}$

Этап 1

Перепишем дифференциальное уравнение в виде функции от $\frac{r}{θ}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим $\frac{r^{2} + 2 r θ}{θ^{2}}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Разобьем дробь $\frac{r^{2} + 2 r θ}{θ^{2}}$ на две дроби.

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r^{2}}{θ^{2}} + \frac{2 r θ}{θ^{2}}$

Этап 1.1.2

Сократим общий множитель $θ$ и $θ^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Вынесем множитель $θ$ из $2 r θ$ .

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r^{2}}{θ^{2}} + \frac{θ (2 r)}{θ^{2}}$

Этап 1.1.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.1

Вынесем множитель $θ$ из $θ^{2}$ .

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r^{2}}{θ^{2}} + \frac{θ (2 r)}{θ \cdot θ}$

Этап 1.1.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r^{2}}{θ^{2}} + \frac{θ (2 r)}{θ \cdot θ}$

Этап 1.1.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r^{2}}{θ^{2}} + \frac{2 r}{θ}$

Этап 1.2

Перепишем $\frac{r^{2}}{θ^{2}}$ в виде ${(\frac{r}{θ})}^{2}$ .

$\frac{d r}{d θ} = {(\frac{r}{θ})}^{2} + \frac{2 r}{θ}$

Этап 1.3

Вынесем множитель $\frac{r}{θ}$ из $\frac{2 r}{θ}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Вынесем множитель $\frac{r}{θ}$ из $\frac{2 r}{θ}$ .

$\frac{d r}{d θ} = {(\frac{r}{θ})}^{2} + \frac{r}{θ} \cdot 2$

Этап 1.3.2

Изменим порядок $\frac{r}{θ}$ и $2$ .

$\frac{d r}{d θ} = {(\frac{r}{θ})}^{2} + 2 \cdot \frac{r}{θ}$

Этап 2

Пусть $V = \frac{r}{θ}$ . Подставим $V$ вместо $\frac{r}{θ}$ .

$\frac{d r}{d θ} = V^{2} + 2 \cdot V$

Этап 3

Решим $V = \frac{r}{θ}$ относительно $r$ .

$r = V θ$

Этап 4

Применим правило умножения, чтобы найти производную $r = V θ$ по $θ$ .

$\frac{d r}{d θ} = θ \frac{d V}{d θ} + V$

Этап 5

Подставим $θ \frac{d V}{d θ} + V$ вместо $\frac{d r}{d θ}$ .

$θ \frac{d V}{d θ} + V = V^{2} + 2 V$

Этап 6

Решим подставленное дифференциальное уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Решим относительно $\frac{d V}{d θ}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1

Перенесем все члены без $\frac{d V}{d θ}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1.1

Вычтем $V$ из обеих частей уравнения.

$θ \frac{d V}{d θ} = V^{2} + 2 V - V$

Этап 6.1.1.1.2

Вычтем $V$ из $2 V$ .

$θ \frac{d V}{d θ} = V^{2} + V$

Этап 6.1.1.2

Разделим каждый член $θ \frac{d V}{d θ} = V^{2} + V$ на $θ$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.2.1

Разделим каждый член $θ \frac{d V}{d θ} = V^{2} + V$ на $θ$ .

$\frac{θ \frac{d V}{d θ}}{θ} = \frac{V^{2}}{θ} + \frac{V}{θ}$

Этап 6.1.1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.2.2.1

Сократим общий множитель $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{θ \frac{d V}{d θ}}{θ} = \frac{V^{2}}{θ} + \frac{V}{θ}$

Этап 6.1.1.2.2.1.2

Разделим $\frac{d V}{d θ}$ на $1$ .

$\frac{d V}{d θ} = \frac{V^{2}}{θ} + \frac{V}{θ}$

Этап 6.1.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d V}{d θ} = \frac{V^{2} + V}{θ}$

Этап 6.1.2.2

Вынесем множитель $V$ из $V^{2} + V$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.2.1

Вынесем множитель $V$ из $V^{2}$ .

$\frac{d V}{d θ} = \frac{V \cdot V + V}{θ}$

Этап 6.1.2.2.2

Возведем $V$ в степень $1$ .

$\frac{d V}{d θ} = \frac{V \cdot V + V^{1}}{θ}$

Этап 6.1.2.2.3

Вынесем множитель $V$ из $V^{1}$ .

$\frac{d V}{d θ} = \frac{V \cdot V + V \cdot 1}{θ}$

Этап 6.1.2.2.4

Вынесем множитель $V$ из $V \cdot V + V \cdot 1$ .

$\frac{d V}{d θ} = \frac{V (V + 1)}{θ}$

Этап 6.1.3

Умножим обе части на $\frac{1}{V (V + 1)}$ .

$\frac{1}{V (V + 1)} \frac{d V}{d θ} = \frac{1}{V (V + 1)} \cdot \frac{V (V + 1)}{θ}$

Этап 6.1.4

Сократим общий множитель $V (V + 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{V (V + 1)} \frac{d V}{d θ} = \frac{1}{V (V + 1)} \cdot \frac{V (V + 1)}{θ}$

Этап 6.1.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{V (V + 1)} \frac{d V}{d θ} = \frac{1}{θ}$

Этап 6.1.5

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{V (V + 1)} d V = \frac{1}{θ} d θ$

Этап 6.2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{V (V + 1)} d V = \int \frac{1}{θ} d θ$

Этап 6.2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Запишем дробь, используя разложение на элементарные дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1.1

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $B$ .

$\frac{A}{V} + \frac{B}{V + 1}$

Этап 6.2.2.1.1.2

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен $V (V + 1)$ .

$\frac{1 (V (V + 1))}{V (V + 1)} = \frac{A (V (V + 1))}{V} + \frac{(B) (V (V + 1))}{V + 1}$

Этап 6.2.2.1.1.3

Сократим общий множитель $V$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1 (V (V + 1))}{V (V + 1)} = \frac{A (V (V + 1))}{V} + \frac{(B) (V (V + 1))}{V + 1}$

Этап 6.2.2.1.1.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1 (V + 1)}{V + 1} = \frac{A (V (V + 1))}{V} + \frac{(B) (V (V + 1))}{V + 1}$

Этап 6.2.2.1.1.4

Сократим общий множитель $V + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1 (V + 1)}{V + 1} = \frac{A (V (V + 1))}{V} + \frac{(B) (V (V + 1))}{V + 1}$

Этап 6.2.2.1.1.4.2

Перепишем это выражение.

$1 = \frac{A (V (V + 1))}{V} + \frac{(B) (V (V + 1))}{V + 1}$

Этап 6.2.2.1.1.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1.5.1

Сократим общий множитель $V$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1.5.1.1

Сократим общий множитель.

$1 = \frac{A (V (V + 1))}{V} + \frac{(B) (V (V + 1))}{V + 1}$

Этап 6.2.2.1.1.5.1.2

Разделим $A (V + 1)$ на $1$ .

$1 = A (V + 1) + \frac{(B) (V (V + 1))}{V + 1}$

Этап 6.2.2.1.1.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$1 = A V + A \cdot 1 + \frac{(B) (V (V + 1))}{V + 1}$

Этап 6.2.2.1.1.5.3

Умножим $A$ на $1$ .

$1 = A V + A + \frac{(B) (V (V + 1))}{V + 1}$

Этап 6.2.2.1.1.5.4

Сократим общий множитель $V + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1.5.4.1

Сократим общий множитель.

$1 = A V + A + \frac{B (V (V + 1))}{V + 1}$

Этап 6.2.2.1.1.5.4.2

Разделим $(B) (V)$ на $1$ .

$1 = A V + A + (B) (V)$

$1 = A V + A + B V$

Этап 6.2.2.1.1.6

Перенесем $A$ .

$1 = A V + B V + A$

Этап 6.2.2.1.2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $V$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$0 = A + B$

Этап 6.2.2.1.2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $V$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$1 = A$

Этап 6.2.2.1.2.3

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$0 = A + B$

$1 = A$

$0 = A + B$

$1 = A$

Этап 6.2.2.1.3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.3.1

Перепишем уравнение в виде $A = 1$ .

$A = 1$

$0 = A + B$

Этап 6.2.2.1.3.2

Заменим все вхождения $A$ на $1$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.3.2.1

Заменим все вхождения $A$ в $0 = A + B$ на $1$ .

$0 = (1) + B$

$A = 1$

Этап 6.2.2.1.3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.3.2.2.1

Избавимся от скобок.

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$0 = 1 + B$

$A = 1$

Этап 6.2.2.1.3.3

Решим относительно $B$ в $0 = 1 + B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.3.3.1

Перепишем уравнение в виде $1 + B = 0$ .

$1 + B = 0$

$A = 1$

Этап 6.2.2.1.3.3.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$B = - 1$

$A = 1$

$B = - 1$

$A = 1$

Этап 6.2.2.1.3.4

Решим систему уравнений.

$B = - 1 A = 1$

Этап 6.2.2.1.3.5

Перечислим все решения.

$B = - 1, A = 1$

Этап 6.2.2.1.4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{V} + \frac{B}{V + 1}$ значениями, найденными для $A$ и $B$ .

$\frac{1}{V} + \frac{- 1}{V + 1}$

Этап 6.2.2.1.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int \frac{1}{V} - \frac{1}{V + 1} d V = \int \frac{1}{θ} d θ$

Этап 6.2.2.2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \frac{1}{V} d V + \int - \frac{1}{V + 1} d V = \int \frac{1}{θ} d θ$

Этап 6.2.2.3

Интеграл $\frac{1}{V}$ по $V$ имеет вид $\ln (| V |)$ .

$\ln (| V |) + C_{1} + \int - \frac{1}{V + 1} d V = \int \frac{1}{θ} d θ$

Этап 6.2.2.4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $V$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\ln (| V |) + C_{1} - \int \frac{1}{V + 1} d V = \int \frac{1}{θ} d θ$

Этап 6.2.2.5

Пусть $u = V + 1$ . Тогда $d u = d V$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.5.1

Пусть $u = V + 1$ . Найдем $\frac{d u}{d V}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.5.1.1

Дифференцируем $V + 1$ .

$\frac{d}{d V} [V + 1]$

Этап 6.2.2.5.1.2

По правилу суммы производная $V + 1$ по $V$ имеет вид $\frac{d}{d V} [V] + \frac{d}{d V} [1]$ .

$\frac{d}{d V} [V] + \frac{d}{d V} [1]$

Этап 6.2.2.5.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ имеет вид $n V^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d V} [1]$

Этап 6.2.2.5.1.4

Поскольку $1$ является константой относительно $V$ , производная $1$ относительно $V$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 6.2.2.5.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 6.2.2.5.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\ln (| V |) + C_{1} - \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{θ} d θ$

Этап 6.2.2.6

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\ln (| V |) + C_{1} - (\ln (| u |) + C_{2}) = \int \frac{1}{θ} d θ$

Этап 6.2.2.7

Упростим.

$\ln (| V |) - \ln (| u |) + C_{3} = \int \frac{1}{θ} d θ$

Этап 6.2.2.8

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| V |}{| u |}) + C_{3} = \int \frac{1}{θ} d θ$

Этап 6.2.2.9

Заменим все вхождения $u$ на $V + 1$ .

$\ln (\frac{| V |}{| V + 1 |}) + C_{3} = \int \frac{1}{θ} d θ$

Этап 6.2.3

Интеграл $\frac{1}{θ}$ по $θ$ имеет вид $\ln (| θ |)$ .

$\ln (\frac{| V |}{| V + 1 |}) + C_{3} = \ln (| θ |) + C_{4}$

Этап 6.2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\ln (\frac{| V |}{| V + 1 |}) = \ln (| θ |) + C$

Этап 6.3

Решим относительно $V$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\ln (\frac{| V |}{| V + 1 |}) - \ln (| θ |) = C$

Этап 6.3.2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{\frac{| V |}{| V + 1 |}}{| θ |}) = C$

Этап 6.3.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\ln (\frac{| V |}{| V + 1 |} \cdot \frac{1}{| θ |}) = C$

Этап 6.3.4

Умножим $\frac{| V |}{| V + 1 |} \cdot \frac{1}{| θ |}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.4.1

Умножим $\frac{| V |}{| V + 1 |}$ на $\frac{1}{| θ |}$ .

$\ln (\frac{| V |}{| V + 1 | | θ |}) = C$

Этап 6.3.4.2

Для перемножения модулей следует перемножить члены внутри каждого модуля.

$\ln (\frac{| V |}{| (V + 1) θ |}) = C$

Этап 6.3.5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (\frac{| V |}{| V θ + 1 θ |}) = C$

Этап 6.3.5.2

Умножим $θ$ на $1$ .

$\ln (\frac{| V |}{| V θ + θ |}) = C$

Этап 6.3.5.3

Вынесем множитель $θ$ из $V θ + θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.5.3.1

Вынесем множитель $θ$ из $V θ$ .

$\ln (\frac{| V |}{| θ V + θ |}) = C$

Этап 6.3.5.3.2

Возведем $θ$ в степень $1$ .

$\ln (\frac{| V |}{| θ V + θ |}) = C$

Этап 6.3.5.3.3

Вынесем множитель $θ$ из $θ^{1}$ .

$\ln (\frac{| V |}{| θ V + θ \cdot 1 |}) = C$

Этап 6.3.5.3.4

Вынесем множитель $θ$ из $θ V + θ \cdot 1$ .

$\ln (\frac{| V |}{| θ (V + 1) |}) = C$

Этап 6.3.6

Чтобы решить относительно $V$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (\frac{| V |}{| θ (V + 1) |})} = e^{C}$

Этап 6.3.7

Перепишем $\ln (\frac{| V |}{| θ (V + 1) |}) = C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| V |}{| θ (V + 1) |}$

Этап 6.3.8

Решим относительно $V$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.8.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{| V |}{| θ (V + 1) |} = e^{C}$ .

$\frac{| V |}{| θ (V + 1) |} = e^{C}$

Этап 6.3.8.2

Умножим обе части на $| θ (V + 1) |$ .

$\frac{| V |}{| θ (V + 1) |} | θ (V + 1) | = e^{C} | θ (V + 1) |$

Этап 6.3.8.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.8.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.8.3.1.1

Сократим общий множитель $| θ (V + 1) |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.8.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{| V |}{| θ (V + 1) |} | θ (V + 1) | = e^{C} | θ (V + 1) |$

Этап 6.3.8.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$| V | = e^{C} | θ (V + 1) |$

Этап 6.3.8.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.8.3.2.1

Упростим $e^{C} | θ (V + 1) |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.8.3.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$| V | = e^{C} | θ V + θ \cdot 1 |$

Этап 6.3.8.3.2.1.2

Умножим $θ$ на $1$ .

$| V | = e^{C} | θ V + θ |$

Этап 6.3.8.4

Решим относительно $V$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.8.4.1

Перепишем уравнение в виде $e^{C} | θ V + θ | = | V |$ .

$e^{C} | θ V + θ | = | V |$

Этап 6.3.8.4.2

Разделим каждый член $e^{C} | θ V + θ | = | V |$ на $e^{C}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.8.4.2.1

Разделим каждый член $e^{C} | θ V + θ | = | V |$ на $e^{C}$ .

$\frac{e^{C} | θ V + θ |}{e^{C}} = \frac{| V |}{e^{C}}$

Этап 6.3.8.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.8.4.2.2.1

Сократим общий множитель $e^{C}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.8.4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{C} | θ V + θ |}{e^{C}} = \frac{| V |}{e^{C}}$

Этап 6.3.8.4.2.2.1.2

Разделим $| θ V + θ |$ на $1$ .

$| θ V + θ | = \frac{| V |}{e^{C}}$

Этап 6.3.8.4.3

Перепишем это уравнение абсолютного значения в виде четырех уравнений без знаков модуля.

$θ V + θ = \frac{V}{e^{C}}$

$θ V + θ = - \frac{V}{e^{C}}$

$- (θ V + θ) = \frac{V}{e^{C}}$

$- (θ V + θ) = - \frac{V}{e^{C}}$

Этап 6.3.8.4.4

После упрощения остается решить только два уникальных уравнения.

$θ V + θ = \frac{V}{e^{C}}$

$θ V + θ = - \frac{V}{e^{C}}$

Этап 6.3.8.4.5

Решим $θ V + θ = \frac{V}{e^{C}}$ относительно $V$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.8.4.5.1

Умножим обе части на $e^{C}$ .

$(θ V + θ) e^{C} = \frac{V}{e^{C}} e^{C}$

Этап 6.3.8.4.5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.8.4.5.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.8.4.5.2.1.1

Упростим $(θ V + θ) e^{C}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.8.4.5.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$θ V e^{C} + θ e^{C} = \frac{V}{e^{C}} e^{C}$

Этап 6.3.8.4.5.2.1.1.2

Изменим порядок $θ$ и $V$ .

$V θ e^{C} + θ e^{C} = \frac{V}{e^{C}} e^{C}$

Этап 6.3.8.4.5.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.8.4.5.2.2.1

Сократим общий множитель $e^{C}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.8.4.5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$V θ e^{C} + θ e^{C} = \frac{V}{e^{C}} e^{C}$

Этап 6.3.8.4.5.2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$V θ e^{C} + θ e^{C} = V$

Этап 6.3.8.4.5.3

Решим относительно $V$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.8.4.5.3.1

Вычтем $V$ из обеих частей уравнения.

$V θ e^{C} + θ e^{C} - V = 0$

Этап 6.3.8.4.5.3.2

Вычтем $θ e^{C}$ из обеих частей уравнения.

$V θ e^{C} - V = - θ e^{C}$

Этап 6.3.8.4.5.3.3

Вынесем множитель $V$ из $V θ e^{C} - V$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.8.4.5.3.3.1

Вынесем множитель $V$ из $V θ e^{C}$ .

$V (θ e^{C}) - V = - θ e^{C}$

Этап 6.3.8.4.5.3.3.2

Вынесем множитель $V$ из $- V$ .

$V (θ e^{C}) + V \cdot - 1 = - θ e^{C}$

Этап 6.3.8.4.5.3.3.3

Вынесем множитель $V$ из $V (θ e^{C}) + V \cdot - 1$ .

$V (θ e^{C} - 1) = - θ e^{C}$

Этап 6.3.8.4.5.3.4

Разделим каждый член $V (θ e^{C} - 1) = - θ e^{C}$ на $θ e^{C} - 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.8.4.5.3.4.1

Разделим каждый член $V (θ e^{C} - 1) = - θ e^{C}$ на $θ e^{C} - 1$ .

$\frac{V (θ e^{C} - 1)}{θ e^{C} - 1} = \frac{- θ e^{C}}{θ e^{C} - 1}$

Этап 6.3.8.4.5.3.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.8.4.5.3.4.2.1

Сократим общий множитель $θ e^{C} - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.8.4.5.3.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{V (θ e^{C} - 1)}{θ e^{C} - 1} = \frac{- θ e^{C}}{θ e^{C} - 1}$

Этап 6.3.8.4.5.3.4.2.1.2

Разделим $V$ на $1$ .

$V = \frac{- θ e^{C}}{θ e^{C} - 1}$

Этап 6.3.8.4.5.3.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.8.4.5.3.4.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$V = - \frac{θ e^{C}}{θ e^{C} - 1}$

Этап 6.3.8.4.6

Решим $θ V + θ = - \frac{V}{e^{C}}$ относительно $V$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.8.4.6.1

Умножим обе части на $e^{C}$ .

$(θ V + θ) e^{C} = - \frac{V}{e^{C}} e^{C}$

Этап 6.3.8.4.6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.8.4.6.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.8.4.6.2.1.1

Упростим $(θ V + θ) e^{C}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.8.4.6.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$θ V e^{C} + θ e^{C} = - \frac{V}{e^{C}} e^{C}$

Этап 6.3.8.4.6.2.1.1.2

Изменим порядок $θ$ и $V$ .

$V θ e^{C} + θ e^{C} = - \frac{V}{e^{C}} e^{C}$

Этап 6.3.8.4.6.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.8.4.6.2.2.1

Сократим общий множитель $e^{C}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.8.4.6.2.2.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{V}{e^{C}}$ в числитель.

$V θ e^{C} + θ e^{C} = \frac{- V}{e^{C}} e^{C}$

Этап 6.3.8.4.6.2.2.1.2

Сократим общий множитель.

$V θ e^{C} + θ e^{C} = \frac{- V}{e^{C}} e^{C}$

Этап 6.3.8.4.6.2.2.1.3

Перепишем это выражение.

$V θ e^{C} + θ e^{C} = - V$

Этап 6.3.8.4.6.3

Решим относительно $V$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.8.4.6.3.1

Добавим $V$ к обеим частям уравнения.

$V θ e^{C} + θ e^{C} + V = 0$

Этап 6.3.8.4.6.3.2

Вычтем $θ e^{C}$ из обеих частей уравнения.

$V θ e^{C} + V = - θ e^{C}$

Этап 6.3.8.4.6.3.3

Вынесем множитель $V$ из $V θ e^{C} + V$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.8.4.6.3.3.1

Вынесем множитель $V$ из $V θ e^{C}$ .

$V (θ e^{C}) + V = - θ e^{C}$

Этап 6.3.8.4.6.3.3.2

Возведем $V$ в степень $1$ .

$V (θ e^{C}) + V = - θ e^{C}$

Этап 6.3.8.4.6.3.3.3

Вынесем множитель $V$ из $V^{1}$ .

$V (θ e^{C}) + V \cdot 1 = - θ e^{C}$

Этап 6.3.8.4.6.3.3.4

Вынесем множитель $V$ из $V (θ e^{C}) + V \cdot 1$ .

$V (θ e^{C} + 1) = - θ e^{C}$

Этап 6.3.8.4.6.3.4

Разделим каждый член $V (θ e^{C} + 1) = - θ e^{C}$ на $θ e^{C} + 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.8.4.6.3.4.1

Разделим каждый член $V (θ e^{C} + 1) = - θ e^{C}$ на $θ e^{C} + 1$ .

$\frac{V (θ e^{C} + 1)}{θ e^{C} + 1} = \frac{- θ e^{C}}{θ e^{C} + 1}$

Этап 6.3.8.4.6.3.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.8.4.6.3.4.2.1

Сократим общий множитель $θ e^{C} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.8.4.6.3.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{V (θ e^{C} + 1)}{θ e^{C} + 1} = \frac{- θ e^{C}}{θ e^{C} + 1}$

Этап 6.3.8.4.6.3.4.2.1.2

Разделим $V$ на $1$ .

$V = \frac{- θ e^{C}}{θ e^{C} + 1}$

Этап 6.3.8.4.6.3.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.8.4.6.3.4.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$V = - \frac{θ e^{C}}{θ e^{C} + 1}$

Этап 6.3.8.4.7

Перечислим все решения.

$V = - \frac{θ e^{C}}{θ e^{C} - 1}$

$V = - \frac{θ e^{C}}{θ e^{C} + 1}$

$V = - \frac{θ e^{C}}{θ e^{C} - 1}$

$V = - \frac{θ e^{C}}{θ e^{C} + 1}$

$V = - \frac{θ e^{C}}{θ e^{C} - 1}$

$V = - \frac{θ e^{C}}{θ e^{C} + 1}$

$V = - \frac{θ e^{C}}{θ e^{C} - 1}$

$V = - \frac{θ e^{C}}{θ e^{C} + 1}$

Этап 6.4

Упростим постоянную интегрирования.

$V = - \frac{θ C}{θ C - 1}$

$V = - \frac{θ C}{θ C + 1}$

$V = - \frac{θ C}{θ C - 1}$

$V = - \frac{θ C}{θ C + 1}$

Этап 7

Подставим $\frac{r}{θ}$ вместо $V$ .

$\frac{r}{θ} = - \frac{θ C}{θ C - 1}, - \frac{θ C}{θ C + 1}$

Этап 8

Решим $\frac{r}{θ} = - \frac{θ C}{θ C - 1}$ относительно $r$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Перепишем.

$\frac{r}{θ} = - \frac{θ C}{θ C - 1}$

Этап 8.2

Умножим числитель первой дроби на знаменатель второй дроби. Приравняем результат к произведению знаменателя первой дроби и числителя второй дроби.

$r (θ C - 1) = θ (- θ C)$

Этап 8.3

Решим уравнение относительно $r$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1

Возведем $θ$ в степень $1$ .

$r (θ C - 1) = - (θ^{1} θ) C$

Этап 8.3.1.2

Возведем $θ$ в степень $1$ .

$r (θ C - 1) = - (θ^{1} θ^{1}) C$

Этап 8.3.1.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$r (θ C - 1) = - θ^{1 + 1} C$

Этап 8.3.1.4

Добавим $1$ и $1$ .

$r (θ C - 1) = - θ^{2} C$

Этап 8.3.2

Разделим каждый член $r (θ C - 1) = - θ^{2} C$ на $θ C - 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1

Разделим каждый член $r (θ C - 1) = - θ^{2} C$ на $θ C - 1$ .

$\frac{r (θ C - 1)}{θ C - 1} = \frac{- θ^{2} C}{θ C - 1}$

Этап 8.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.2.1

Сократим общий множитель $θ C - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{r (θ C - 1)}{θ C - 1} = \frac{- θ^{2} C}{θ C - 1}$

Этап 8.3.2.2.1.2

Разделим $r$ на $1$ .

$r = \frac{- θ^{2} C}{θ C - 1}$

Этап 8.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$r = - \frac{θ^{2} C}{θ C - 1}$

Этап 9

Решим $\frac{r}{θ} = - \frac{θ C}{θ C + 1}$ относительно $r$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Перепишем.

$\frac{r}{θ} = - \frac{θ C}{θ C + 1}$

Этап 9.2

$r (θ C + 1) = θ (- θ C)$

Этап 9.3

Решим уравнение относительно $r$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1.1

Возведем $θ$ в степень $1$ .

$r (θ C + 1) = - (θ^{1} θ) C$

Этап 9.3.1.2

Возведем $θ$ в степень $1$ .

$r (θ C + 1) = - (θ^{1} θ^{1}) C$

Этап 9.3.1.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$r (θ C + 1) = - θ^{1 + 1} C$

Этап 9.3.1.4

Добавим $1$ и $1$ .

$r (θ C + 1) = - θ^{2} C$

Этап 9.3.2

Разделим каждый член $r (θ C + 1) = - θ^{2} C$ на $θ C + 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.1

Разделим каждый член $r (θ C + 1) = - θ^{2} C$ на $θ C + 1$ .

$\frac{r (θ C + 1)}{θ C + 1} = \frac{- θ^{2} C}{θ C + 1}$

Этап 9.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.2.1

Сократим общий множитель $θ C + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{r (θ C + 1)}{θ C + 1} = \frac{- θ^{2} C}{θ C + 1}$

Этап 9.3.2.2.1.2

Разделим $r$ на $1$ .

$r = \frac{- θ^{2} C}{θ C + 1}$

Этап 9.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$r = - \frac{θ^{2} C}{θ C + 1}$

Этап 10

Перечислим решения.

$r = - \frac{θ^{2} C}{θ C - 1}, r = - \frac{θ^{2} C}{θ C + 1}$