Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} + 1}{x^{2} - 1}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $\frac{1}{y^{2} + 1}$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} \cdot \frac{y^{2} + 1}{x^{2} - 1}$

Этап 1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель $y^{2} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} \cdot \frac{y^{2} + 1}{x^{2} - 1}$

Этап 1.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x^{2} - 1}$

Этап 1.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x^{2} - 1^{2}}$

Этап 1.2.2.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{(x + 1) (x - 1)}$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{y^{2} + 1} d y = \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{y^{2} + 1} d y = \int \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Изменим порядок $y^{2}$ и $1$ .

$\int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Этап 2.2.1.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Этап 2.2.2

Интеграл $\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ по $y$ имеет вид $\arctan (y) + C_{1}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Запишем дробь, используя разложение на элементарные дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.1

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $A$ .

$\frac{A}{x + 1}$

Этап 2.3.1.1.2

$\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x - 1}$

Этап 2.3.1.1.3

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен $(x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{1 (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Этап 2.3.1.1.4

Сократим общий множитель $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1 (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Этап 2.3.1.1.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1 (x - 1)}{x - 1} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Этап 2.3.1.1.5

Сократим общий множитель $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1 (x - 1)}{x - 1} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Этап 2.3.1.1.5.2

Перепишем это выражение.

$1 = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Этап 2.3.1.1.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.6.1

Сократим общий множитель $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.6.1.1

Сократим общий множитель.

$1 = \frac{A (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Этап 2.3.1.1.6.1.2

Разделим $(A) (x - 1)$ на $1$ .

$1 = (A) (x - 1) + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Этап 2.3.1.1.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$1 = A x + A \cdot - 1 + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Этап 2.3.1.1.6.3

Перенесем $- 1$ влево от $A$ .

$1 = A x - 1 \cdot A + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Этап 2.3.1.1.6.4

Перепишем $- 1 A$ в виде $- A$ .

$1 = A x - A + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Этап 2.3.1.1.6.5

Сократим общий множитель $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.6.5.1

Сократим общий множитель.

$1 = A x - A + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Этап 2.3.1.1.6.5.2

Разделим $(B) (x + 1)$ на $1$ .

$1 = A x - A + (B) (x + 1)$

Этап 2.3.1.1.6.6

Применим свойство дистрибутивности.

$1 = A x - A + B x + B \cdot 1$

Этап 2.3.1.1.6.7

Умножим $B$ на $1$ .

$1 = A x - A + B x + B$

Этап 2.3.1.1.7

Перенесем $- A$ .

$1 = A x + B x - A + B$

Этап 2.3.1.2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$0 = A + B$

Этап 2.3.1.2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $x$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$1 = - 1 A + B$

Этап 2.3.1.2.3

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$0 = A + B$

$1 = - 1 A + B$

$0 = A + B$

$1 = - 1 A + B$

Этап 2.3.1.3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1

Решим относительно $A$ в $0 = A + B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1.1

Перепишем уравнение в виде $A + B = 0$ .

$A + B = 0$

$1 = - 1 A + B$

Этап 2.3.1.3.1.2

Вычтем $B$ из обеих частей уравнения.

$A = - B$

$1 = - 1 A + B$

$A = - B$

$1 = - 1 A + B$

Этап 2.3.1.3.2

Заменим все вхождения $A$ на $- B$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.2.1

Заменим все вхождения $A$ в $1 = - 1 A + B$ на $- B$ .

$1 = - 1 (- B) + B$

$A = - B$

Этап 2.3.1.3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.2.2.1

Упростим $- 1 (- B) + B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.2.2.1.1

Умножим $- 1 (- B)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.2.2.1.1.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 = 1 B + B$

$A = - B$

Этап 2.3.1.3.2.2.1.1.2

Умножим $B$ на $1$ .

$1 = B + B$

$A = - B$

$1 = B + B$

$A = - B$

Этап 2.3.1.3.2.2.1.2

Добавим $B$ и $B$ .

$1 = 2 B$

$A = - B$

$1 = 2 B$

$A = - B$

$1 = 2 B$

$A = - B$

$1 = 2 B$

$A = - B$

Этап 2.3.1.3.3

Решим относительно $B$ в $1 = 2 B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.3.1

Перепишем уравнение в виде $2 B = 1$ .

$2 B = 1$

$A = - B$

Этап 2.3.1.3.3.2

Разделим каждый член $2 B = 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.3.2.1

Разделим каждый член $2 B = 1$ на $2$ .

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

$A = - B$

Этап 2.3.1.3.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.3.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

$A = - B$

Этап 2.3.1.3.3.2.2.1.2

Разделим $B$ на $1$ .

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

Этап 2.3.1.3.4

Заменим все вхождения $B$ на $\frac{1}{2}$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.4.1

Заменим все вхождения $B$ в $A = - B$ на $\frac{1}{2}$ .

$A = - (\frac{1}{2})$

$B = \frac{1}{2}$

Этап 2.3.1.3.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.4.2.1

Умножим $- 1$ на $\frac{1}{2}$ .

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

Этап 2.3.1.3.5

Перечислим все решения.

$A = - \frac{1}{2}, B = \frac{1}{2}$

Этап 2.3.1.4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x - 1}$ значениями, найденными для $A$ и $B$ .

$\frac{- \frac{1}{2}}{x + 1} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

Этап 2.3.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.5.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x + 1} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

Этап 2.3.1.5.2

Умножим $\frac{1}{x + 1}$ на $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{(x + 1) \cdot 2} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

Этап 2.3.1.5.3

Перенесем $2$ влево от $x + 1$ .

$- \frac{1}{2 (x + 1)} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

Этап 2.3.1.5.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$- \frac{1}{2 (x + 1)} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x - 1}$

Этап 2.3.1.5.5

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{x - 1}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int - \frac{1}{2 (x + 1)} + \frac{1}{2 (x - 1)} d x$

Этап 2.3.2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\arctan (y) + C_{1} = \int - \frac{1}{2 (x + 1)} d x + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x$

Этап 2.3.3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\arctan (y) + C_{1} = - \int \frac{1}{2 (x + 1)} d x + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x$

Этап 2.3.4

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\arctan (y) + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{x + 1} d x) + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x$

Этап 2.3.5

Пусть $u_{1} = x + 1$ . Тогда $d u_{1} = d x$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Пусть $u_{1} = x + 1$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1.1

Дифференцируем $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Этап 2.3.5.1.2

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.3.5.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.3.5.1.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 2.3.5.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 2.3.5.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x$

Этап 2.3.6

Интеграл $\frac{1}{u_{1}}$ по $u_{1}$ имеет вид $\ln (| u_{1} |)$ .

$\arctan (y) + C_{1} = - \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x$

Этап 2.3.7

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\arctan (y) + C_{1} = - \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{x - 1} d x$

Этап 2.3.8

Пусть $u_{2} = x - 1$ . Тогда $d u_{2} = d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.8.1

Пусть $u_{2} = x - 1$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.8.1.1

Дифференцируем $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Этап 2.3.8.1.2

По правилу суммы производная $x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.3.8.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.3.8.1.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 2.3.8.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 2.3.8.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = - \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 2.3.9

Интеграл $\frac{1}{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $\ln (| u_{2} |)$ .

$\arctan (y) + C_{1} = - \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) + \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{3})$

Этап 2.3.10

Упростим.

$\arctan (y) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{4}$

Этап 2.3.11

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.11.1

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x + 1$ .

$\arctan (y) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| x + 1 |) + \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{4}$

Этап 2.3.11.2

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x - 1$ .

$\arctan (y) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| x + 1 |) + \frac{1}{2} \ln (| x - 1 |) + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\arctan (y) = - \frac{1}{2} \ln (| x + 1 |) + \frac{1}{2} \ln (| x - 1 |) + C$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Объединим $\ln (| x + 1 |)$ и $\frac{1}{2}$ .

$\arctan (y) = - \frac{\ln (| x + 1 |)}{2} + \frac{1}{2} \ln (| x - 1 |) + C$

Этап 3.1.1.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\ln (| x - 1 |)$ .

$\arctan (y) = - \frac{\ln (| x + 1 |)}{2} + \frac{\ln (| x - 1 |)}{2} + C$

Этап 3.2

Каждый член в $\arctan (y) = - \frac{\ln (| x + 1 |)}{2} + \frac{\ln (| x - 1 |)}{2} + C$ умножим на $2$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Умножим каждый член $\arctan (y) = - \frac{\ln (| x + 1 |)}{2} + \frac{\ln (| x - 1 |)}{2} + C$ на $2$ .

$\arctan (y) \cdot 2 = - \frac{\ln (| x + 1 |)}{2} \cdot 2 + \frac{\ln (| x - 1 |)}{2} \cdot 2 + C \cdot 2$

Этап 3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Перенесем $2$ влево от $\arctan (y)$ .

$2 \arctan (y) = - \frac{\ln (| x + 1 |)}{2} \cdot 2 + \frac{\ln (| x - 1 |)}{2} \cdot 2 + C \cdot 2$

Этап 3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\ln (| x + 1 |)}{2}$ в числитель.

$2 \arctan (y) = \frac{- \ln (| x + 1 |)}{2} \cdot 2 + \frac{\ln (| x - 1 |)}{2} \cdot 2 + C \cdot 2$

Этап 3.2.3.1.1.2

Сократим общий множитель.

$2 \arctan (y) = \frac{- \ln (| x + 1 |)}{2} \cdot 2 + \frac{\ln (| x - 1 |)}{2} \cdot 2 + C \cdot 2$

Этап 3.2.3.1.1.3

Перепишем это выражение.

$2 \arctan (y) = - \ln (| x + 1 |) + \frac{\ln (| x - 1 |)}{2} \cdot 2 + C \cdot 2$

Этап 3.2.3.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.2.1

Сократим общий множитель.

$2 \arctan (y) = - \ln (| x + 1 |) + \frac{\ln (| x - 1 |)}{2} \cdot 2 + C \cdot 2$

Этап 3.2.3.1.2.2

Перепишем это выражение.

$2 \arctan (y) = - \ln (| x + 1 |) + \ln (| x - 1 |) + C \cdot 2$

Этап 3.2.3.1.3

Перенесем $2$ влево от $C$ .

$2 \arctan (y) = - \ln (| x + 1 |) + \ln (| x - 1 |) + 2 C$

Этап 3.3

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\ln (| x + 1 |) - \ln (| x - 1 |) = - 2 \arctan (y) + 2 C$

Этап 3.4

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| x + 1 |}{| x - 1 |}) = - 2 \arctan (y) + 2 C$

Этап 3.5

Поскольку $y$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$- 2 \arctan (y) + 2 C = \ln (\frac{| x + 1 |}{| x - 1 |})$

Этап 3.6

Вычтем $2 C$ из обеих частей уравнения.

$- 2 \arctan (y) = \ln (\frac{| x + 1 |}{| x - 1 |}) - 2 C$

Этап 3.7

Разделим каждый член $- 2 \arctan (y) = \ln (\frac{| x + 1 |}{| x - 1 |}) - 2 C$ на $- 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Разделим каждый член $- 2 \arctan (y) = \ln (\frac{| x + 1 |}{| x - 1 |}) - 2 C$ на $- 2$ .

$\frac{- 2 \arctan (y)}{- 2} = \frac{\ln (\frac{| x + 1 |}{| x - 1 |})}{- 2} + \frac{- 2 C}{- 2}$

Этап 3.7.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 \arctan (y)}{- 2} = \frac{\ln (\frac{| x + 1 |}{| x - 1 |})}{- 2} + \frac{- 2 C}{- 2}$

Этап 3.7.2.1.2

Разделим $\arctan (y)$ на $1$ .

$\arctan (y) = \frac{\ln (\frac{| x + 1 |}{| x - 1 |})}{- 2} + \frac{- 2 C}{- 2}$

Этап 3.7.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.3.1.1

Перепишем $\frac{\ln (\frac{| x + 1 |}{| x - 1 |})}{- 2}$ в виде $\frac{1}{- 2} \ln (\frac{| x + 1 |}{| x - 1 |})$ .

$\arctan (y) = \frac{1}{- 2} \ln (\frac{| x + 1 |}{| x - 1 |}) + \frac{- 2 C}{- 2}$

Этап 3.7.3.1.2

Упростим $\frac{1}{- 2} \ln (\frac{| x + 1 |}{| x - 1 |})$ путем переноса $- \frac{1}{- 2}$ под логарифм.

$\arctan (y) = - \ln ({(\frac{| x + 1 |}{| x - 1 |})}^{- \frac{1}{- 2}}) + \frac{- 2 C}{- 2}$

Этап 3.7.3.1.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\arctan (y) = - \ln ({(\frac{| x + 1 |}{| x - 1 |})}^{- - \frac{1}{2}}) + \frac{- 2 C}{- 2}$

Этап 3.7.3.1.4

Умножим $- - \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.3.1.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\arctan (y) = - \ln ({(\frac{| x + 1 |}{| x - 1 |})}^{1 (\frac{1}{2})}) + \frac{- 2 C}{- 2}$

Этап 3.7.3.1.4.2

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$\arctan (y) = - \ln ({(\frac{| x + 1 |}{| x - 1 |})}^{\frac{1}{2}}) + \frac{- 2 C}{- 2}$

Этап 3.7.3.1.5

Применим правило умножения к $\frac{| x + 1 |}{| x - 1 |}$ .

$\arctan (y) = - \ln (\frac{{| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}}{{| x - 1 |}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{- 2 C}{- 2}$

Этап 3.7.3.1.6

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.3.1.6.1

Сократим общий множитель.

$\arctan (y) = - \ln (\frac{{| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}}{{| x - 1 |}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{- 2 C}{- 2}$

Этап 3.7.3.1.6.2

Разделим $C$ на $1$ .

$\arctan (y) = - \ln (\frac{{| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}}{{| x - 1 |}^{\frac{1}{2}}}) + C$

Этап 3.8

Возьмем обратную арктангенса обеих частей уравнения, чтобы извлечь $y$ из арктангенса.

$y = \tan (- \ln (\frac{{| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}}{{| x - 1 |}^{\frac{1}{2}}}) + C)$