Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = y (2 - y)$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $\frac{1}{y (2 - y)}$ .

$\frac{1}{y (2 - y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y (2 - y)} (y (2 - y))$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $y (2 - y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y (2 - y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y (2 - y)} (y (2 - y))$

Этап 1.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y (2 - y)} \frac{d y}{d x} = 1$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{y (2 - y)} d y = 1 d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{y (2 - y)} d y = \int d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Запишем дробь, используя разложение на элементарные дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $B$ .

$\frac{A}{y} + \frac{B}{2 - y}$

Этап 2.2.1.1.2

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен $y (2 - y)$ .

$\frac{1 (y (2 - y))}{y (2 - y)} = \frac{A (y (2 - y))}{y} + \frac{(B) (y (2 - y))}{2 - y}$

Этап 2.2.1.1.3

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1 (y (2 - y))}{y (2 - y)} = \frac{A (y (2 - y))}{y} + \frac{(B) (y (2 - y))}{2 - y}$

Этап 2.2.1.1.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1 (2 - y)}{2 - y} = \frac{A (y (2 - y))}{y} + \frac{(B) (y (2 - y))}{2 - y}$

Этап 2.2.1.1.4

Сократим общий множитель $2 - y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1 (2 - y)}{2 - y} = \frac{A (y (2 - y))}{y} + \frac{(B) (y (2 - y))}{2 - y}$

Этап 2.2.1.1.4.2

Перепишем это выражение.

$1 = \frac{A (y (2 - y))}{y} + \frac{(B) (y (2 - y))}{2 - y}$

Этап 2.2.1.1.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.5.1

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.5.1.1

Сократим общий множитель.

$1 = \frac{A (y (2 - y))}{y} + \frac{(B) (y (2 - y))}{2 - y}$

Этап 2.2.1.1.5.1.2

Разделим $A (2 - y)$ на $1$ .

$1 = A (2 - y) + \frac{(B) (y (2 - y))}{2 - y}$

Этап 2.2.1.1.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$1 = A \cdot 2 + A (- y) + \frac{(B) (y (2 - y))}{2 - y}$

Этап 2.2.1.1.5.3

Перенесем $2$ влево от $A$ .

$1 = 2 \cdot A + A (- y) + \frac{(B) (y (2 - y))}{2 - y}$

Этап 2.2.1.1.5.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$1 = 2 \cdot A - A y + \frac{(B) (y (2 - y))}{2 - y}$

Этап 2.2.1.1.5.5

Сократим общий множитель $2 - y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.5.5.1

Сократим общий множитель.

$1 = 2 A - A y + \frac{B (y (2 - y))}{2 - y}$

Этап 2.2.1.1.5.5.2

Разделим $(B) (y)$ на $1$ .

$1 = 2 A - A y + (B) (y)$

$1 = 2 A - A y + B y$

Этап 2.2.1.1.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.6.1

Перенесем $A$ .

$1 = 2 A - y A + B y$

Этап 2.2.1.1.6.2

Изменим порядок $B$ и $y$ .

$1 = 2 A - y A + B y$

Этап 2.2.1.1.6.3

Перенесем $2 A$ .

$1 = - y A + B y + 2 A$

Этап 2.2.1.2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $y$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$0 = - 1 A + B$

Этап 2.2.1.2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $y$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$1 = 2 A$

Этап 2.2.1.2.3

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$0 = - 1 A + B$

$1 = 2 A$

$0 = - 1 A + B$

$1 = 2 A$

Этап 2.2.1.3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.1

Решим относительно $A$ в $1 = 2 A$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.1.1

Перепишем уравнение в виде $2 A = 1$ .

$2 A = 1$

$0 = - 1 A + B$

Этап 2.2.1.3.1.2

Разделим каждый член $2 A = 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.1.2.1

Разделим каждый член $2 A = 1$ на $2$ .

$\frac{2 A}{2} = \frac{1}{2}$

$0 = - 1 A + B$

Этап 2.2.1.3.1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.1.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.1.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 A}{2} = \frac{1}{2}$

$0 = - 1 A + B$

Этап 2.2.1.3.1.2.2.1.2

Разделим $A$ на $1$ .

$A = \frac{1}{2}$

$0 = - 1 A + B$

$A = \frac{1}{2}$

$0 = - 1 A + B$

$A = \frac{1}{2}$

$0 = - 1 A + B$

$A = \frac{1}{2}$

$0 = - 1 A + B$

$A = \frac{1}{2}$

$0 = - 1 A + B$

Этап 2.2.1.3.2

Заменим все вхождения $A$ на $\frac{1}{2}$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.2.1

Заменим все вхождения $A$ в $0 = - 1 A + B$ на $\frac{1}{2}$ .

$0 = - 1 (\frac{1}{2}) + B$

$A = \frac{1}{2}$

Этап 2.2.1.3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.2.2.1

Перепишем $- 1 (\frac{1}{2})$ в виде $- (\frac{1}{2})$ .

$0 = - \frac{1}{2} + B$

$A = \frac{1}{2}$

$0 = - \frac{1}{2} + B$

$A = \frac{1}{2}$

$0 = - \frac{1}{2} + B$

$A = \frac{1}{2}$

Этап 2.2.1.3.3

Решим относительно $B$ в $0 = - \frac{1}{2} + B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.3.1

Перепишем уравнение в виде $- \frac{1}{2} + B = 0$ .

$- \frac{1}{2} + B = 0$

$A = \frac{1}{2}$

Этап 2.2.1.3.3.2

Добавим $\frac{1}{2}$ к обеим частям уравнения.

$B = \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

Этап 2.2.1.3.4

Решим систему уравнений.

$B = \frac{1}{2} A = \frac{1}{2}$

Этап 2.2.1.3.5

Перечислим все решения.

$B = \frac{1}{2}, A = \frac{1}{2}$

Этап 2.2.1.4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{y} + \frac{B}{2 - y}$ значениями, найденными для $A$ и $B$ .

$\frac{\frac{1}{2}}{y} + \frac{\frac{1}{2}}{2 - y}$

Этап 2.2.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.5.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y} + \frac{\frac{1}{2}}{2 - y}$

Этап 2.2.1.5.2

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{2 y} + \frac{\frac{1}{2}}{2 - y}$

Этап 2.2.1.5.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{1}{2 y} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2 - y}$

Этап 2.2.1.5.4

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{2 - y}$ .

$\int \frac{1}{2 y} + \frac{1}{2 (2 - y)} d y = \int d x$

Этап 2.2.2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \frac{1}{2 y} d y + \int \frac{1}{2 (2 - y)} d y = \int d x$

Этап 2.2.3

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{y} d y + \int \frac{1}{2 (2 - y)} d y = \int d x$

Этап 2.2.4

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| y |) + C_{1}) + \int \frac{1}{2 (2 - y)} d y = \int d x$

Этап 2.2.5

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} (\ln (| y |) + C_{1}) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{2 - y} d y = \int d x$

Этап 2.2.6

Пусть $u = 2 - y$ . Тогда $d u = - d y$ , следовательно $- d u = d y$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.1

Пусть $u = 2 - y$ . Найдем $\frac{d u}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.1.1

Перепишем.

$\frac{- 1}{1}$

Этап 2.2.6.1.2

Разделим $- 1$ на $1$ .

$- 1$

Этап 2.2.6.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| y |) + C_{1}) + \frac{1}{2} \int \frac{- 1}{u} d u = \int d x$

Этап 2.2.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} (\ln (| y |) + C_{1}) + \frac{1}{2} \int - \frac{1}{u} d u = \int d x$

Этап 2.2.8

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} (\ln (| y |) + C_{1}) + \frac{1}{2} (- \int \frac{1}{u} d u) = \int d x$

Этап 2.2.9

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| y |) + C_{1}) + \frac{1}{2} (- (\ln (| u |) + C_{2})) = \int d x$

Этап 2.2.10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.10.1

Упростим.

$\frac{1}{2} \ln (| y |) + \frac{1}{2} (- \ln (| u |)) + C_{3} = \int d x$

Этап 2.2.10.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y |) - \frac{\ln (| u |)}{2} + C_{3} = \int d x$

Этап 2.2.11

Заменим все вхождения $u$ на $2 - y$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y |) - \frac{\ln (| 2 - y |)}{2} + C_{3} = \int d x$

Этап 2.2.12

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{2} \ln (| y |) - \frac{1}{2} \ln (| 2 - y |) + C_{3} = \int d x$

Этап 2.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{2} \ln (| y |) - \frac{1}{2} \ln (| 2 - y |) + C_{3} = x + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y |) - \frac{1}{2} \ln (| 2 - y |) = x + C$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\ln (| y |)$ .

$\frac{\ln (| y |)}{2} - \frac{1}{2} \ln (| 2 - y |) = x + C$

Этап 3.1.1.2

Объединим $\ln (| 2 - y |)$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\ln (| y |)}{2} - \frac{\ln (| 2 - y |)}{2} = x + C$

Этап 3.2

Каждый член в $\frac{\ln (| y |)}{2} - \frac{\ln (| 2 - y |)}{2} = x + C$ умножим на $2$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Умножим каждый член $\frac{\ln (| y |)}{2} - \frac{\ln (| 2 - y |)}{2} = x + C$ на $2$ .

$\frac{\ln (| y |)}{2} \cdot 2 - \frac{\ln (| 2 - y |)}{2} \cdot 2 = x \cdot 2 + C \cdot 2$

Этап 3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\ln (| y |)}{2} \cdot 2 - \frac{\ln (| 2 - y |)}{2} \cdot 2 = x \cdot 2 + C \cdot 2$

Этап 3.2.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| 2 - y |)}{2} \cdot 2 = x \cdot 2 + C \cdot 2$

Этап 3.2.2.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\ln (| 2 - y |)}{2}$ в числитель.

$\ln (| y |) + \frac{- \ln (| 2 - y |)}{2} \cdot 2 = x \cdot 2 + C \cdot 2$

Этап 3.2.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\ln (| y |) + \frac{- \ln (| 2 - y |)}{2} \cdot 2 = x \cdot 2 + C \cdot 2$

Этап 3.2.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\ln (| y |) - \ln (| 2 - y |) = x \cdot 2 + C \cdot 2$

Этап 3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.1

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$\ln (| y |) - \ln (| 2 - y |) = 2 \cdot x + C \cdot 2$

Этап 3.2.3.1.2

Перенесем $2$ влево от $C$ .

$\ln (| y |) - \ln (| 2 - y |) = 2 x + 2 C$

Этап 3.3

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{| 2 - y |}) = 2 x + 2 C$

Этап 3.4

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (\frac{| y |}{| 2 - y |})} = e^{2 x + 2 C}$

Этап 3.5

Перепишем $\ln (\frac{| y |}{| 2 - y |}) = 2 x + 2 C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{2 x + 2 C} = \frac{| y |}{| 2 - y |}$

Этап 3.6

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{| y |}{| 2 - y |} = e^{2 x + 2 C}$ .

$\frac{| y |}{| 2 - y |} = e^{2 x + 2 C}$

Этап 3.6.2

Умножим обе части на $| 2 - y |$ .

$\frac{| y |}{| 2 - y |} | 2 - y | = e^{2 x + 2 C} | 2 - y |$

Этап 3.6.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.3.1

Сократим общий множитель $| 2 - y |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.3.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{| y |}{| 2 - y |} | 2 - y | = e^{2 x + 2 C} | 2 - y |$

Этап 3.6.3.1.2

Перепишем это выражение.

$| y | = e^{2 x + 2 C} | 2 - y |$

Этап 3.6.4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.1

Перепишем уравнение в виде $e^{2 x + 2 C} | 2 - y | = | y |$ .

$e^{2 x + 2 C} | 2 - y | = | y |$

Этап 3.6.4.2

Разделим каждый член $e^{2 x + 2 C} | 2 - y | = | y |$ на $e^{2 x + 2 C}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.2.1

Разделим каждый член $e^{2 x + 2 C} | 2 - y | = | y |$ на $e^{2 x + 2 C}$ .

$\frac{e^{2 x + 2 C} | 2 - y |}{e^{2 x + 2 C}} = \frac{| y |}{e^{2 x + 2 C}}$

Этап 3.6.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.2.2.1

Сократим общий множитель $e^{2 x + 2 C}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{2 x + 2 C} | 2 - y |}{e^{2 x + 2 C}} = \frac{| y |}{e^{2 x + 2 C}}$

Этап 3.6.4.2.2.1.2

Разделим $| 2 - y |$ на $1$ .

$| 2 - y | = \frac{| y |}{e^{2 x + 2 C}}$

Этап 3.6.4.3

Перепишем это уравнение абсолютного значения в виде четырех уравнений без знаков модуля.

$2 - y = \frac{y}{e^{2 x + 2 C}}$

$2 - y = - \frac{y}{e^{2 x + 2 C}}$

$- (2 - y) = \frac{y}{e^{2 x + 2 C}}$

$- (2 - y) = - \frac{y}{e^{2 x + 2 C}}$

Этап 3.6.4.4

После упрощения остается решить только два уникальных уравнения.

$2 - y = \frac{y}{e^{2 x + 2 C}}$

$2 - y = - \frac{y}{e^{2 x + 2 C}}$

Этап 3.6.4.5

Решим $2 - y = \frac{y}{e^{2 x + 2 C}}$ относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.5.1

Умножим обе части на $e^{2 x + 2 C}$ .

$(2 - y) e^{2 x + 2 C} = \frac{y}{e^{2 x + 2 C}} e^{2 x + 2 C}$

Этап 3.6.4.5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.5.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.5.2.1.1

Упростим $(2 - y) e^{2 x + 2 C}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.5.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 e^{2 x + 2 C} - y e^{2 x + 2 C} = \frac{y}{e^{2 x + 2 C}} e^{2 x + 2 C}$

Этап 3.6.4.5.2.1.1.2

Упростим, используя свойство коммутативности.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.5.2.1.1.2.1

Изменим порядок $2 x$ и $2 C$ .

$2 e^{2 C + 2 x} - y e^{2 x + 2 C} = \frac{y}{e^{2 x + 2 C}} e^{2 x + 2 C}$

Этап 3.6.4.5.2.1.1.2.2

Изменим порядок $2 x$ и $2 C$ .

$2 e^{2 C + 2 x} - y e^{2 C + 2 x} = \frac{y}{e^{2 x + 2 C}} e^{2 x + 2 C}$

Этап 3.6.4.5.2.1.1.2.3

Изменим порядок $2 e^{2 C + 2 x}$ и $- y e^{2 C + 2 x}$ .

$- y e^{2 C + 2 x} + 2 e^{2 C + 2 x} = \frac{y}{e^{2 x + 2 C}} e^{2 x + 2 C}$

Этап 3.6.4.5.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.5.2.2.1

Сократим общий множитель $e^{2 x + 2 C}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$- y e^{2 C + 2 x} + 2 e^{2 C + 2 x} = \frac{y}{e^{2 x + 2 C}} e^{2 x + 2 C}$

Этап 3.6.4.5.2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$- y e^{2 C + 2 x} + 2 e^{2 C + 2 x} = y$

Этап 3.6.4.5.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.5.3.1

Вычтем $y$ из обеих частей уравнения.

$- y e^{2 C + 2 x} + 2 e^{2 C + 2 x} - y = 0$

Этап 3.6.4.5.3.2

Вычтем $2 e^{2 C + 2 x}$ из обеих частей уравнения.

$- y e^{2 C + 2 x} - y = - 2 e^{2 C + 2 x}$

Этап 3.6.4.5.3.3

Вынесем множитель $y$ из $- y e^{2 C + 2 x} - y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.5.3.3.1

Вынесем множитель $y$ из $- y e^{2 C + 2 x}$ .

$y (- 1 e^{2 C + 2 x}) - y = - 2 e^{2 C + 2 x}$

Этап 3.6.4.5.3.3.2

Вынесем множитель $y$ из $- y$ .

$y (- 1 e^{2 C + 2 x}) + y \cdot - 1 = - 2 e^{2 C + 2 x}$

Этап 3.6.4.5.3.3.3

Вынесем множитель $y$ из $y (- 1 e^{2 C + 2 x}) + y \cdot - 1$ .

$y (- 1 e^{2 C + 2 x} - 1) = - 2 e^{2 C + 2 x}$

Этап 3.6.4.5.3.4

Перепишем $- 1 e^{2 C + 2 x}$ в виде $- e^{2 C + 2 x}$ .

$y (- e^{2 C + 2 x} - 1) = - 2 e^{2 C + 2 x}$

Этап 3.6.4.5.3.5

Разделим каждый член $y (- e^{2 C + 2 x} - 1) = - 2 e^{2 C + 2 x}$ на $- e^{2 C + 2 x} - 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.5.3.5.1

Разделим каждый член $y (- e^{2 C + 2 x} - 1) = - 2 e^{2 C + 2 x}$ на $- e^{2 C + 2 x} - 1$ .

$\frac{y (- e^{2 C + 2 x} - 1)}{- e^{2 C + 2 x} - 1} = \frac{- 2 e^{2 C + 2 x}}{- e^{2 C + 2 x} - 1}$

Этап 3.6.4.5.3.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.5.3.5.2.1

Сократим общий множитель $- e^{2 C + 2 x} - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.5.3.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y (- e^{2 C + 2 x} - 1)}{- e^{2 C + 2 x} - 1} = \frac{- 2 e^{2 C + 2 x}}{- e^{2 C + 2 x} - 1}$

Этап 3.6.4.5.3.5.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{- 2 e^{2 C + 2 x}}{- e^{2 C + 2 x} - 1}$

Этап 3.6.4.5.3.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.5.3.5.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{2 e^{2 C + 2 x}}{- e^{2 C + 2 x} - 1}$

Этап 3.6.4.5.3.5.3.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- e^{2 C + 2 x}$ .

$y = - \frac{2 e^{2 C + 2 x}}{- e^{2 C + 2 x} - 1}$

Этап 3.6.4.5.3.5.3.3

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$y = - \frac{2 e^{2 C + 2 x}}{- e^{2 C + 2 x} - 1 (1)}$

Этап 3.6.4.5.3.5.3.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- e^{2 C + 2 x} - 1 (1)$ .

$y = - \frac{2 e^{2 C + 2 x}}{- (e^{2 C + 2 x} + 1)}$

Этап 3.6.4.5.3.5.3.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.5.3.5.3.5.1

Перепишем $- (e^{2 C + 2 x} + 1)$ в виде $- 1 (e^{2 C + 2 x} + 1)$ .

$y = - \frac{2 e^{2 C + 2 x}}{- 1 (e^{2 C + 2 x} + 1)}$

Этап 3.6.4.5.3.5.3.5.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - - \frac{2 e^{2 C + 2 x}}{e^{2 C + 2 x} + 1}$

Этап 3.6.4.5.3.5.3.5.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y = 1 \frac{2 e^{2 C + 2 x}}{e^{2 C + 2 x} + 1}$

Этап 3.6.4.5.3.5.3.5.4

Умножим $\frac{2 e^{2 C + 2 x}}{e^{2 C + 2 x} + 1}$ на $1$ .

$y = \frac{2 e^{2 C + 2 x}}{e^{2 C + 2 x} + 1}$

Этап 3.6.4.6

Решим $2 - y = - \frac{y}{e^{2 x + 2 C}}$ относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.6.1

Умножим обе части на $e^{2 x + 2 C}$ .

$(2 - y) e^{2 x + 2 C} = - \frac{y}{e^{2 x + 2 C}} e^{2 x + 2 C}$

Этап 3.6.4.6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.6.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.6.2.1.1

Упростим $(2 - y) e^{2 x + 2 C}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.6.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 e^{2 x + 2 C} - y e^{2 x + 2 C} = - \frac{y}{e^{2 x + 2 C}} e^{2 x + 2 C}$

Этап 3.6.4.6.2.1.1.2

Упростим, используя свойство коммутативности.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.6.2.1.1.2.1

Изменим порядок $2 x$ и $2 C$ .

$2 e^{2 C + 2 x} - y e^{2 x + 2 C} = - \frac{y}{e^{2 x + 2 C}} e^{2 x + 2 C}$

Этап 3.6.4.6.2.1.1.2.2

Изменим порядок $2 x$ и $2 C$ .

$2 e^{2 C + 2 x} - y e^{2 C + 2 x} = - \frac{y}{e^{2 x + 2 C}} e^{2 x + 2 C}$

Этап 3.6.4.6.2.1.1.2.3

Изменим порядок $2 e^{2 C + 2 x}$ и $- y e^{2 C + 2 x}$ .

$- y e^{2 C + 2 x} + 2 e^{2 C + 2 x} = - \frac{y}{e^{2 x + 2 C}} e^{2 x + 2 C}$

Этап 3.6.4.6.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.6.2.2.1

Сократим общий множитель $e^{2 x + 2 C}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.6.2.2.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{y}{e^{2 x + 2 C}}$ в числитель.

$- y e^{2 C + 2 x} + 2 e^{2 C + 2 x} = \frac{- y}{e^{2 x + 2 C}} e^{2 x + 2 C}$

Этап 3.6.4.6.2.2.1.2

Сократим общий множитель.

$- y e^{2 C + 2 x} + 2 e^{2 C + 2 x} = \frac{- y}{e^{2 x + 2 C}} e^{2 x + 2 C}$

Этап 3.6.4.6.2.2.1.3

Перепишем это выражение.

$- y e^{2 C + 2 x} + 2 e^{2 C + 2 x} = - y$

Этап 3.6.4.6.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.6.3.1

Добавим $y$ к обеим частям уравнения.

$- y e^{2 C + 2 x} + 2 e^{2 C + 2 x} + y = 0$

Этап 3.6.4.6.3.2

Вычтем $2 e^{2 C + 2 x}$ из обеих частей уравнения.

$- y e^{2 C + 2 x} + y = - 2 e^{2 C + 2 x}$

Этап 3.6.4.6.3.3

Вынесем множитель $y$ из $- y e^{2 C + 2 x} + y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.6.3.3.1

Вынесем множитель $y$ из $- y e^{2 C + 2 x}$ .

$y (- 1 e^{2 C + 2 x}) + y = - 2 e^{2 C + 2 x}$

Этап 3.6.4.6.3.3.2

Возведем $y$ в степень $1$ .

$y (- 1 e^{2 C + 2 x}) + y = - 2 e^{2 C + 2 x}$

Этап 3.6.4.6.3.3.3

Вынесем множитель $y$ из $y^{1}$ .

$y (- 1 e^{2 C + 2 x}) + y \cdot 1 = - 2 e^{2 C + 2 x}$

Этап 3.6.4.6.3.3.4

Вынесем множитель $y$ из $y (- 1 e^{2 C + 2 x}) + y \cdot 1$ .

$y (- 1 e^{2 C + 2 x} + 1) = - 2 e^{2 C + 2 x}$

Этап 3.6.4.6.3.4

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$y (- 1 e^{2 C + 2 x} + 1^{2}) = - 2 e^{2 C + 2 x}$

Этап 3.6.4.6.3.5

Перепишем $e^{2 C + 2 x}$ в виде ${(e^{C + x})}^{2}$ .

$y (- {(e^{C + x})}^{2} + 1^{2}) = - 2 e^{2 C + 2 x}$

Этап 3.6.4.6.3.6

Изменим порядок $- {(e^{C + x})}^{2}$ и $1^{2}$ .

$y (1^{2} - {(e^{C + x})}^{2}) = - 2 e^{2 C + 2 x}$

Этап 3.6.4.6.3.7

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.6.3.7.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 1$ и $b = e^{C + x}$ .

$y ((1 + e^{C + x}) (1 - e^{C + x})) = - 2 e^{2 C + 2 x}$

Этап 3.6.4.6.3.7.2

Избавимся от ненужных скобок.

$y (1 + e^{C + x}) (1 - e^{C + x}) = - 2 e^{2 C + 2 x}$

Этап 3.6.4.6.3.8

Разделим каждый член $y (1 + e^{C + x}) (1 - e^{C + x}) = - 2 e^{2 C + 2 x}$ на $(1 + e^{C + x}) (1 - e^{C + x})$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.6.3.8.1

Разделим каждый член $y (1 + e^{C + x}) (1 - e^{C + x}) = - 2 e^{2 C + 2 x}$ на $(1 + e^{C + x}) (1 - e^{C + x})$ .

$\frac{y (1 + e^{C + x}) (1 - e^{C + x})}{(1 + e^{C + x}) (1 - e^{C + x})} = \frac{- 2 e^{2 C + 2 x}}{(1 + e^{C + x}) (1 - e^{C + x})}$

Этап 3.6.4.6.3.8.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.6.3.8.2.1

Сократим общий множитель $1 + e^{C + x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.6.3.8.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y (1 + e^{C + x}) (1 - e^{C + x})}{(1 + e^{C + x}) (1 - e^{C + x})} = \frac{- 2 e^{2 C + 2 x}}{(1 + e^{C + x}) (1 - e^{C + x})}$

Этап 3.6.4.6.3.8.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y (1 - e^{C + x})}{1 - e^{C + x}} = \frac{- 2 e^{2 C + 2 x}}{(1 + e^{C + x}) (1 - e^{C + x})}$

Этап 3.6.4.6.3.8.2.2

Сократим общий множитель $1 - e^{C + x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.6.3.8.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y (1 - e^{C + x})}{1 - e^{C + x}} = \frac{- 2 e^{2 C + 2 x}}{(1 + e^{C + x}) (1 - e^{C + x})}$

Этап 3.6.4.6.3.8.2.2.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{- 2 e^{2 C + 2 x}}{(1 + e^{C + x}) (1 - e^{C + x})}$

Этап 3.6.4.6.3.8.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.6.3.8.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{2 e^{2 C + 2 x}}{(1 + e^{C + x}) (1 - e^{C + x})}$

Этап 3.6.4.7

Перечислим все решения.

$y = \frac{2 e^{2 C + 2 x}}{e^{2 C + 2 x} + 1}$

$y = - \frac{2 e^{2 C + 2 x}}{(1 + e^{C + x}) (1 - e^{C + x})}$

$y = \frac{2 e^{2 C + 2 x}}{e^{2 C + 2 x} + 1}$

$y = - \frac{2 e^{2 C + 2 x}}{(1 + e^{C + x}) (1 - e^{C + x})}$

$y = \frac{2 e^{2 C + 2 x}}{e^{2 C + 2 x} + 1}$

$y = - \frac{2 e^{2 C + 2 x}}{(1 + e^{C + x}) (1 - e^{C + x})}$

$y = \frac{2 e^{2 C + 2 x}}{e^{2 C + 2 x} + 1}$

$y = - \frac{2 e^{2 C + 2 x}}{(1 + e^{C + x}) (1 - e^{C + x})}$

Этап 4

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \frac{2 e^{C + 2 x}}{e^{C + 2 x} + 1}$

$y = - \frac{2 e^{C + 2 x}}{(1 + e^{C + x}) (1 - e^{C + x})}$

Этап 4.2

Изменим порядок членов.

$y = \frac{2 e^{2 x + C}}{e^{C + 2 x} + 1}$

$y = - \frac{2 e^{C + 2 x}}{(1 + e^{C + x}) (1 - e^{C + x})}$

Этап 4.3

Перепишем $e^{2 x + C}$ в виде $e^{2 x} e^{C}$ .

$y = \frac{2 (e^{2 x} e^{C})}{e^{C + 2 x} + 1}$

$y = - \frac{2 e^{C + 2 x}}{(1 + e^{C + x}) (1 - e^{C + x})}$

Этап 4.4

Изменим порядок $e^{2 x}$ и $e^{C}$ .

$y = \frac{2 (e^{C} e^{2 x})}{e^{C + 2 x} + 1}$

$y = - \frac{2 e^{C + 2 x}}{(1 + e^{C + x}) (1 - e^{C + x})}$

Этап 4.5

Изменим порядок членов.

$y = \frac{2 (e^{C} e^{2 x})}{e^{2 x + C} + 1}$

$y = - \frac{2 e^{C + 2 x}}{(1 + e^{C + x}) (1 - e^{C + x})}$

Этап 4.6

Перепишем $e^{2 x + C}$ в виде $e^{2 x} e^{C}$ .

$y = \frac{2 (e^{C} e^{2 x})}{e^{2 x} e^{C} + 1}$

$y = - \frac{2 e^{C + 2 x}}{(1 + e^{C + x}) (1 - e^{C + x})}$

Этап 4.7

Изменим порядок $e^{2 x}$ и $e^{C}$ .

$y = \frac{2 (e^{C} e^{2 x})}{e^{C} e^{2 x} + 1}$

$y = - \frac{2 e^{C + 2 x}}{(1 + e^{C + x}) (1 - e^{C + x})}$

Этап 4.8

Изменим порядок членов.

$y = \frac{2 (e^{C} e^{2 x})}{e^{C} e^{2 x} + 1}$

$y = - \frac{2 e^{2 x + C}}{(1 + e^{C + x}) (1 - e^{C + x})}$

Этап 4.9

Перепишем $e^{2 x + C}$ в виде $e^{2 x} e^{C}$ .

$y = \frac{2 (e^{C} e^{2 x})}{e^{C} e^{2 x} + 1}$

$y = - \frac{2 (e^{2 x} e^{C})}{(1 + e^{C + x}) (1 - e^{C + x})}$

Этап 4.10

Изменим порядок $e^{2 x}$ и $e^{C}$ .

$y = \frac{2 (e^{C} e^{2 x})}{e^{C} e^{2 x} + 1}$

$y = - \frac{2 (e^{C} e^{2 x})}{(1 + e^{C + x}) (1 - e^{C + x})}$

Этап 4.11

Изменим порядок членов.

$y = \frac{2 (e^{C} e^{2 x})}{e^{C} e^{2 x} + 1}$

$y = - \frac{2 (e^{C} e^{2 x})}{(1 + e^{x + C}) (1 - e^{C + x})}$

Этап 4.12

Перепишем $e^{x + C}$ в виде $e^{x} e^{C}$ .

$y = \frac{2 (e^{C} e^{2 x})}{e^{C} e^{2 x} + 1}$

$y = - \frac{2 (e^{C} e^{2 x})}{(1 + e^{x} e^{C}) (1 - e^{C + x})}$

Этап 4.13

Изменим порядок $e^{x}$ и $e^{C}$ .

$y = \frac{2 (e^{C} e^{2 x})}{e^{C} e^{2 x} + 1}$

$y = - \frac{2 (e^{C} e^{2 x})}{(1 + e^{C} e^{x}) (1 - e^{C + x})}$

Этап 4.14

Изменим порядок членов.

$y = \frac{2 (e^{C} e^{2 x})}{e^{C} e^{2 x} + 1}$

$y = - \frac{2 (e^{C} e^{2 x})}{(1 + e^{C} e^{x}) (1 - e^{x + C})}$

Этап 4.15

Перепишем $e^{x + C}$ в виде $e^{x} e^{C}$ .

$y = \frac{2 (e^{C} e^{2 x})}{e^{C} e^{2 x} + 1}$

$y = - \frac{2 (e^{C} e^{2 x})}{(1 + e^{C} e^{x}) (1 - (e^{x} e^{C}))}$

Этап 4.16

Изменим порядок $e^{x}$ и $e^{C}$ .

$y = \frac{2 (e^{C} e^{2 x})}{e^{C} e^{2 x} + 1}$

$y = - \frac{2 (e^{C} e^{2 x})}{(1 + e^{C} e^{x}) (1 - (e^{C} e^{x}))}$

$y = \frac{2 (e^{C} e^{2 x})}{e^{C} e^{2 x} + 1}$

$y = - \frac{2 (e^{C} e^{2 x})}{(1 + e^{C} e^{x}) (1 - (e^{C} e^{x}))}$