Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{3}}{y^{2}}$ , $y (2) = \sqrt[3]{15}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{x^{3}}{y^{2}}$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{x^{3}}{y^{2}}$

Этап 1.2.2

Перепишем это выражение.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = x^{3}$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$y^{2} d y = x^{3} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int y^{2} d y = \int x^{3} d x$

Этап 2.2

По правилу степени интеграл $y^{2}$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int x^{3} d x$

Этап 2.3

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$\frac{1}{3} y^{3} = \frac{1}{4} x^{4} + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим обе части уравнения на $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (\frac{1}{4} x^{4} + K)$

Этап 3.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Упростим $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{1}{4} x^{4} + K)$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{1}{4} x^{4} + K)$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y^{3} = 3 (\frac{1}{4} x^{4} + K)$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим $3 (\frac{1}{4} x^{4} + K)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Объединим $\frac{1}{4}$ и $x^{4}$ .

$y^{3} = 3 (\frac{x^{4}}{4} + K)$

Этап 3.2.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{3} = 3 \frac{x^{4}}{4} + 3 K$

Этап 3.2.2.1.3

Объединим $3$ и $\frac{x^{4}}{4}$ .

$y^{3} = \frac{3 x^{4}}{4} + 3 K$

Этап 3.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \sqrt[3]{\frac{3 x^{4}}{4} + 3 K}$

Этап 3.4

Упростим $\sqrt[3]{\frac{3 x^{4}}{4} + 3 K}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вынесем множитель $3$ из $\frac{3 x^{4}}{4} + 3 K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1

Вынесем множитель $3$ из $\frac{3 x^{4}}{4}$ .

$y = \sqrt[3]{3 \frac{x^{4}}{4} + 3 K}$

Этап 3.4.1.2

Вынесем множитель $3$ из $3 K$ .

$y = \sqrt[3]{3 \frac{x^{4}}{4} + 3 K}$

Этап 3.4.1.3

Вынесем множитель $3$ из $3 \frac{x^{4}}{4} + 3 K$ .

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{x^{4}}{4} + K)}$

Этап 3.4.2

Чтобы записать $K$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{x^{4}}{4} + K \cdot \frac{4}{4})}$

Этап 3.4.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Объединим $K$ и $\frac{4}{4}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{x^{4}}{4} + \frac{K \cdot 4}{4})}$

Этап 3.4.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \sqrt[3]{3 \frac{x^{4} + K \cdot 4}{4}}$

Этап 3.4.4

Перенесем $4$ влево от $K$ .

$y = \sqrt[3]{3 \frac{x^{4} + 4 K}{4}}$

Этап 3.4.5

Объединим $3$ и $\frac{x^{4} + 4 K}{4}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{3 (x^{4} + 4 K)}{4}}$

Этап 3.4.6

Перепишем $\sqrt[3]{\frac{3 (x^{4} + 4 K)}{4}}$ в виде $\frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)}}{\sqrt[3]{4}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)}}{\sqrt[3]{4}}$

Этап 3.4.7

Умножим $\frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)}}{\sqrt[3]{4}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)}}{\sqrt[3]{4}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Этап 3.4.8

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.8.1

Умножим $\frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)}}{\sqrt[3]{4}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Этап 3.4.8.2

Возведем $\sqrt[3]{4}$ в степень $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Этап 3.4.8.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1 + 2}}$

Этап 3.4.8.4

Добавим $1$ и $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{3}}$

Этап 3.4.8.5

Перепишем ${\sqrt[3]{4}}^{3}$ в виде $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.8.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{4}$ в виде $4^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{(4^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Этап 3.4.8.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Этап 3.4.8.5.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

Этап 3.4.8.5.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.8.5.4.1

Сократим общий множитель.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

Этап 3.4.8.5.4.2

Перепишем это выражение.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{1}}$

Этап 3.4.8.5.5

Найдем экспоненту.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4}$

Этап 3.4.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.9.1

Перепишем ${\sqrt[3]{4}}^{2}$ в виде $\sqrt[3]{4^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} \sqrt[3]{4^{2}}}{4}$

Этап 3.4.9.2

Возведем $4$ в степень $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} \sqrt[3]{16}}{4}$

Этап 3.4.9.3

Перепишем $16$ в виде $2^{3} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.9.3.1

Вынесем множитель $8$ из $16$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} \sqrt[3]{8 (2)}}{4}$

Этап 3.4.9.3.2

Перепишем $8$ в виде $2^{3}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} \sqrt[3]{2^{3} \cdot 2}}{4}$

Этап 3.4.9.4

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} \cdot 2 \sqrt[3]{2}}{4}$

Этап 3.4.9.5

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.9.5.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$y = \frac{2 \sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K) \cdot 2}}{4}$

Этап 3.4.9.5.2

Умножим $2$ на $3$ .

$y = \frac{2 \sqrt[3]{6 (x^{4} + 4 K)}}{4}$

Этап 3.4.10

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.10.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$y = \frac{2 \sqrt[3]{6 (x^{4} + 4 K)}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.4.10.2

Сократим общий множитель.

$y = \frac{2 \sqrt[3]{6 (x^{4} + 4 K)}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.4.10.3

Перепишем это выражение.

$y = \frac{\sqrt[3]{6 (x^{4} + 4 K)}}{2}$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \frac{\sqrt[3]{6 (x^{4} + K)}}{2}$

Этап 5

Используем начальное условие, чтобы найти значение $K$ , подставив $2$ вместо $x$ и $\sqrt[3]{15}$ вместо $y$ в $y = \frac{\sqrt[3]{6 (x^{4} + K)}}{2}$ .

$\sqrt[3]{15} = \frac{\sqrt[3]{6 (2^{4} + K)}}{2}$

Этап 6

Решим относительно $K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{\sqrt[3]{6 (2^{4} + K)}}{2} = \sqrt[3]{15}$ .

$\frac{\sqrt[3]{6 (2^{4} + K)}}{2} = \sqrt[3]{15}$

Этап 6.2

Умножим обе части на $2$ .

$\frac{\sqrt[3]{6 (2^{4} + K)}}{2} \cdot 2 = \sqrt[3]{15} \cdot 2$

Этап 6.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1

Упростим $\frac{\sqrt[3]{6 (2^{4} + K)}}{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1.1

Возведем $2$ в степень $4$ .

$\frac{\sqrt[3]{6 (16 + K)}}{2} \cdot 2 = \sqrt[3]{15} \cdot 2$

Этап 6.3.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt[3]{6 (16 + K)}}{2} \cdot 2 = \sqrt[3]{15} \cdot 2$

Этап 6.3.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt[3]{6 (16 + K)} = \sqrt[3]{15} \cdot 2$

Этап 6.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Перенесем $2$ влево от $\sqrt[3]{15}$ .

$\sqrt[3]{6 (16 + K)} = 2 \sqrt[3]{15}$

Этап 6.4

Решим относительно $K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в куб.

${\sqrt[3]{6 (16 + K)}}^{3} = {(2 \sqrt[3]{15})}^{3}$

Этап 6.4.2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{6 (16 + K)}$ в виде ${(6 (16 + K))}^{\frac{1}{3}}$ .

${({(6 (16 + K))}^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(2 \sqrt[3]{15})}^{3}$

Этап 6.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.2.1

Упростим ${({(6 (16 + K))}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(6 (16 + K))}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(6 (16 + K))}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(2 \sqrt[3]{15})}^{3}$

Этап 6.4.2.2.1.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(6 (16 + K))}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(2 \sqrt[3]{15})}^{3}$

Этап 6.4.2.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(6 (16 + K))}^{1} = {(2 \sqrt[3]{15})}^{3}$

Этап 6.4.2.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

${(6 \cdot 16 + 6 K)}^{1} = {(2 \sqrt[3]{15})}^{3}$

Этап 6.4.2.2.1.3

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.2.1.3.1

Умножим $6$ на $16$ .

${(96 + 6 K)}^{1} = {(2 \sqrt[3]{15})}^{3}$

Этап 6.4.2.2.1.3.2

Упростим.

$96 + 6 K = {(2 \sqrt[3]{15})}^{3}$

Этап 6.4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.3.1

Упростим ${(2 \sqrt[3]{15})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.3.1.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.3.1.1.1

Применим правило умножения к $2 \sqrt[3]{15}$ .

$96 + 6 K = 2^{3} {\sqrt[3]{15}}^{3}$

Этап 6.4.2.3.1.1.2

Возведем $2$ в степень $3$ .

$96 + 6 K = 8 {\sqrt[3]{15}}^{3}$

Этап 6.4.2.3.1.2

Перепишем ${\sqrt[3]{15}}^{3}$ в виде $15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.3.1.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{15}$ в виде $15^{\frac{1}{3}}$ .

$96 + 6 K = 8 {(15^{\frac{1}{3}})}^{3}$

Этап 6.4.2.3.1.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$96 + 6 K = 8 \cdot 15^{\frac{1}{3} \cdot 3}$

Этап 6.4.2.3.1.2.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $3$ .

$96 + 6 K = 8 \cdot 15^{\frac{3}{3}}$

Этап 6.4.2.3.1.2.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.3.1.2.4.1

Сократим общий множитель.

$96 + 6 K = 8 \cdot 15^{\frac{3}{3}}$

Этап 6.4.2.3.1.2.4.2

Перепишем это выражение.

$96 + 6 K = 8 \cdot 15^{1}$

Этап 6.4.2.3.1.2.5

Найдем экспоненту.

$96 + 6 K = 8 \cdot 15$

Этап 6.4.2.3.1.3

Умножим $8$ на $15$ .

$96 + 6 K = 120$

Этап 6.4.3

Решим относительно $K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.3.1

Перенесем все члены без $K$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.3.1.1

Вычтем $96$ из обеих частей уравнения.

$6 K = 120 - 96$

Этап 6.4.3.1.2

Вычтем $96$ из $120$ .

$6 K = 24$

Этап 6.4.3.2

Разделим каждый член $6 K = 24$ на $6$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.3.2.1

Разделим каждый член $6 K = 24$ на $6$ .

$\frac{6 K}{6} = \frac{24}{6}$

Этап 6.4.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.3.2.2.1

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{6 K}{6} = \frac{24}{6}$

Этап 6.4.3.2.2.1.2

Разделим $K$ на $1$ .

$K = \frac{24}{6}$

Этап 6.4.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.3.2.3.1

Разделим $24$ на $6$ .

$K = 4$

Этап 7

Подставим $4$ вместо $K$ в $y = \frac{\sqrt[3]{6 (x^{4} + K)}}{2}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Подставим $4$ вместо $K$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{6 (x^{4} + 4)}}{2}$