Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \sin (2 x + π)$ , $y (0) = 6$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d y = \sin (2 x + π) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int \sin (2 x + π) d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int \sin (2 x + π) d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Пусть $u = 2 x + π$ . Тогда $d u = 2 d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Пусть $u = 2 x + π$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.1

Дифференцируем $2 x + π$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + π]$

Этап 2.3.1.1.2

По правилу суммы производная $2 x + π$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [π]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [π]$

Этап 2.3.1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [π]$

Этап 2.3.1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [π]$

Этап 2.3.1.1.3.3

Умножим $2$ на $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [π]$

Этап 2.3.1.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.4.1

Поскольку $π$ является константой относительно $x$ , производная $π$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 + 0$

Этап 2.3.1.1.4.2

Добавим $2$ и $0$ .

$2$

Этап 2.3.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$y + C_{1} = \int \sin (u) \frac{1}{2} d u$

Этап 2.3.2

Объединим $\sin (u)$ и $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{\sin (u)}{2} d u$

Этап 2.3.3

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \sin (u) d u$

Этап 2.3.4

Интеграл $\sin (u)$ по $u$ имеет вид $- \cos (u)$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (- \cos (u) + C_{2})$

Этап 2.3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Упростим.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (- \cos (u)) + C_{2}$

Этап 2.3.5.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\cos (u)$ .

$y + C_{1} = - \frac{\cos (u)}{2} + C_{2}$

Этап 2.3.6

Заменим все вхождения $u$ на $2 x + π$ .

$y + C_{1} = - \frac{\cos (2 x + π)}{2} + C_{2}$

Этап 2.3.7

Изменим порядок членов.

$y + C_{1} = - \frac{1}{2} \cos (2 x + π) + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$y = - \frac{1}{2} \cos (2 x + π) + K$

Этап 3

Используем начальное условие, чтобы найти значение $K$ , подставив $0$ вместо $x$ и $6$ вместо $y$ в $y = - \frac{1}{2} \cos (2 x + π) + K$ .

$6 = - \frac{1}{2} \cos (2 \cdot 0 + π) + K$

Этап 4

Решим относительно $K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $- \frac{1}{2} \cdot \cos (2 \cdot 0 + π) + K = 6$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \cos (2 \cdot 0 + π) + K = 6$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Умножим $2$ на $0$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \cos (0 + π) + K = 6$

Этап 4.2.1.2

Добавим $0$ и $π$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \cos (π) + K = 6$

Этап 4.2.1.3

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

$- \frac{1}{2} \cdot (- \cos (0)) + K = 6$

Этап 4.2.1.4

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot (- 1 \cdot 1) + K = 6$

Этап 4.2.1.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot - 1 + K = 6$

Этап 4.2.1.6

Умножим $- \frac{1}{2} \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.6.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 (\frac{1}{2}) + K = 6$

Этап 4.2.1.6.2

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$\frac{1}{2} + K = 6$

Этап 4.3

Перенесем все члены без $K$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Вычтем $\frac{1}{2}$ из обеих частей уравнения.

$K = 6 - \frac{1}{2}$

Этап 4.3.2

Чтобы записать $6$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$K = 6 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Этап 4.3.3

Объединим $6$ и $\frac{2}{2}$ .

$K = \frac{6 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

Этап 4.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$K = \frac{6 \cdot 2 - 1}{2}$

Этап 4.3.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.1

Умножим $6$ на $2$ .

$K = \frac{12 - 1}{2}$

Этап 4.3.5.2

Вычтем $1$ из $12$ .

$K = \frac{11}{2}$

Этап 5

Подставим $\frac{11}{2}$ вместо $K$ в $y = - \frac{1}{2} \cos (2 x + π) + K$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подставим $\frac{11}{2}$ вместо $K$ .

$y = - \frac{1}{2} \cos (2 x + π) + \frac{11}{2}$

Этап 5.2

Объединим $\cos (2 x + π)$ и $\frac{1}{2}$ .

$y = - \frac{\cos (2 x + π)}{2} + \frac{11}{2}$