Математический анализ Примеры

$x \frac{d^{2} y}{d x^{2}} + \frac{d y}{d x} = 0$

Этап 1

Пусть $v = \frac{d y}{d x}$ . Тогда $\frac{d v}{d x} = \frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ . Подставим $v$ вместо $\frac{d y}{d x}$ и $\frac{d v}{d x}$ вместо $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ , чтобы получить дифференциальное уравнение с зависимой переменной $v$ и независимой переменной $x$ .

$x \frac{d v}{d x} + v = 0$

Этап 2

Проверим, является ли левая часть уравнения результатом дифференцирования члена $x v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = v$ .

$x \frac{d}{d x} [v] + v \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [v]$ в виде $v'$ .

$x v' + v \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x v' + v \cdot 1$

Этап 2.4

Подставим $\frac{d v}{d x}$ вместо $v'$ .

$x \frac{d v}{d x} + v \cdot 1$

Этап 2.5

Изменим порядок $v$ и $1$ .

$x \frac{d v}{d x} + 1 \cdot v$

Этап 2.6

Умножим $v$ на $1$ .

$x \frac{d v}{d x} + v$

Этап 3

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [x v] = 0$

Этап 4

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [x v] d x = \int 0 d x$

Этап 5

Проинтегрируем левую часть.

$x v = \int 0 d x$

Этап 6

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Интеграл $0$ по $x$ имеет вид $0$ .

$x v = 0 + C_{1}$

Этап 6.2

Добавим $0$ и $C_{1}$ .

$x v = C_{1}$

Этап 7

Разделим каждый член $x v = C_{1}$ на $x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разделим каждый член $x v = C_{1}$ на $x$ .

$\frac{x v}{x} = \frac{C_{1}}{x}$

Этап 7.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x v}{x} = \frac{C_{1}}{x}$

Этап 7.2.1.2

Разделим $v$ на $1$ .

$v = \frac{C_{1}}{x}$

Этап 8

Заменим все вхождения $v$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{C_{1}}{x}$

Этап 9

Перепишем уравнение.

$d y = \frac{C_{1}}{x} d x$

Этап 10

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int \frac{C_{1}}{x} d x$

Этап 10.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{2} = \int \frac{C_{1}}{x} d x$

Этап 10.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Поскольку $C_{1}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $C_{1}$ из-под знака интеграла.

$y + C_{2} = C_{1} \int \frac{1}{x} d x$

Этап 10.3.2

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$y + C_{2} = C_{1} (\ln (| x |) + C_{3})$

Этап 10.3.3

Упростим.

$y + C_{2} = C_{1} \ln (| x |) + C_{4}$

Этап 10.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $D$ .

$y = C \ln (| x |) + D$