Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = 2 (2 x - y)$

Этап 1

Перепишем дифференциальное уравнение в виде $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем уравнение в виде $M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d y}{d x} = 2 (2 x) + 2 (- y)$

Этап 1.1.2

Вычтем $2 (- y)$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d y}{d x} - 2 (- y) = 2 (2 x)$

Этап 1.1.3

Изменим порядок членов.

$\frac{d y}{d x} - 2 \cdot - 1 y = 2 (2 x)$

Этап 1.2

Перепишем уравнение с изолированными коэффициентами.

$\frac{d y}{d x} - 2 \cdot - 1 y = 2 \cdot 2 x$

Этап 2

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (x) d x}$ , где $P (x) = - 2 \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int - 2 \cdot - 1 d x}$

Этап 2.2

Проинтегрируем $- 2 \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$e^{\int 2 d x}$

Этап 2.2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$e^{2 x + C}$

Этап 2.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{2 x}$

Этап 3

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $e^{2 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член на $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + e^{2 x} (- 2 \cdot - 1 y) = e^{2 x} (2 \cdot 2 x)$

Этап 3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} - 2 \cdot - 1 e^{2 x} y = e^{2 x} (2 \cdot 2 x)$

Этап 3.2.2

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = e^{2 x} (2 \cdot 2 x)$

Этап 3.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = 2 \cdot 2 e^{2 x} x$

Этап 3.4

Умножим $2$ на $2$ .

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = 4 e^{2 x} x$

Этап 3.5

Изменим порядок множителей в $e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = 4 e^{2 x} x$ .

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 y e^{2 x} = 4 x e^{2 x}$

Этап 4

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [e^{2 x} y] = 4 x e^{2 x}$

Этап 5

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [e^{2 x} y] d x = \int 4 x e^{2 x} d x$

Этап 6

Проинтегрируем левую часть.

$e^{2 x} y = \int 4 x e^{2 x} d x$

Этап 7

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$e^{2 x} y = 4 \int x e^{2 x} d x$

Этап 7.2

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x$ и $d v = e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = 4 (x (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

Этап 7.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = 4 (x \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

Этап 7.3.2

Объединим $x$ и $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$e^{2 x} y = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

Этап 7.3.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{e^{2 x}}{2} d x)$

Этап 7.4

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$e^{2 x} y = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} d x))$

Этап 7.5

Пусть $u = 2 x$ . Тогда $d u = 2 d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Пусть $u = 2 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1.1

Дифференцируем $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 7.5.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 7.5.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 7.5.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 7.5.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$e^{2 x} y = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{2} d u)$

Этап 7.6

Объединим $e^{u}$ и $\frac{1}{2}$ .

$e^{2 x} y = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{e^{u}}{2} d u)$

Этап 7.7

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$e^{2 x} y = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u} d u))$

Этап 7.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.8.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$e^{2 x} y = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u)$

Этап 7.8.2

Умножим $2$ на $2$ .

$e^{2 x} y = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u)$

Этап 7.9

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$e^{2 x} y = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$

Этап 7.10

Перепишем $4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$ в виде $4 (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$ .

$e^{2 x} y = 4 (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

Этап 7.11

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$e^{2 x} y = 4 (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x}) + C$

Этап 7.12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.12.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.12.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x$ .

$e^{2 x} y = 4 (\frac{x}{2} e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x}) + C$

Этап 7.12.1.2

Объединим $\frac{x}{2}$ и $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} e^{2 x}) + C$

Этап 7.12.1.3

Объединим $e^{2 x}$ и $\frac{1}{4}$ .

$e^{2 x} y = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{2 x}}{4}) + C$

Этап 7.12.2

Применим свойство дистрибутивности.

$e^{2 x} y = 4 \frac{x e^{2 x}}{2} + 4 (- \frac{e^{2 x}}{4}) + C$

Этап 7.12.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.12.3.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$e^{2 x} y = 2 (2) \frac{x e^{2 x}}{2} + 4 (- \frac{e^{2 x}}{4}) + C$

Этап 7.12.3.2

Сократим общий множитель.

$e^{2 x} y = 2 \cdot 2 \frac{x e^{2 x}}{2} + 4 (- \frac{e^{2 x}}{4}) + C$

Этап 7.12.3.3

Перепишем это выражение.

$e^{2 x} y = 2 (x e^{2 x}) + 4 (- \frac{e^{2 x}}{4}) + C$

Этап 7.12.4

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.12.4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{e^{2 x}}{4}$ в числитель.

$e^{2 x} y = 2 (x e^{2 x}) + 4 \frac{- e^{2 x}}{4} + C$

Этап 7.12.4.2

Сократим общий множитель.

$e^{2 x} y = 2 (x e^{2 x}) + 4 \frac{- e^{2 x}}{4} + C$

Этап 7.12.4.3

Перепишем это выражение.

$e^{2 x} y = 2 (x e^{2 x}) - e^{2 x} + C$

$e^{2 x} y = 2 x e^{2 x} - e^{2 x} + C$

Этап 8

Разделим каждый член $e^{2 x} y = 2 x e^{2 x} - e^{2 x} + C$ на $e^{2 x}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Разделим каждый член $e^{2 x} y = 2 x e^{2 x} - e^{2 x} + C$ на $e^{2 x}$ .

$\frac{e^{2 x} y}{e^{2 x}} = \frac{2 x e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{- e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Этап 8.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Сократим общий множитель $e^{2 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{2 x} y}{e^{2 x}} = \frac{2 x e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{- e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Этап 8.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{2 x e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{- e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Этап 8.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1

Сократим общий множитель $e^{2 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$y = \frac{2 x e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{- e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Этап 8.3.1.1.2

Разделим $2 x$ на $1$ .

$y = 2 x + \frac{- e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Этап 8.3.1.2

Сократим общий множитель $e^{2 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.2.1

Сократим общий множитель.

$y = 2 x + \frac{- e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Этап 8.3.1.2.2

Разделим $- 1$ на $1$ .

$y = 2 x - 1 + \frac{C}{e^{2 x}}$