Математический анализ Примеры

$(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} + 4 x y = x$ ; , $y (2) = 1$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Решим относительно $\frac{d y}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 1 \frac{d y}{d x} + 4 x y = x$

Этап 1.1.1.2

Умножим $\frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 4 x y = x$

Этап 1.1.2

Вычтем $4 x y$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} = x - 4 x y$

Этап 1.1.3

Вынесем множитель $\frac{d y}{d x}$ из $x^{2} \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Вынесем множитель $\frac{d y}{d x}$ из $x^{2} \frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} = x - 4 x y$

Этап 1.1.3.2

Возведем $\frac{d y}{d x}$ в степень $1$ .

$\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} = x - 4 x y$

Этап 1.1.3.3

Вынесем множитель $\frac{d y}{d x}$ из ${(\frac{d y}{d x})}^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} \cdot 1 = x - 4 x y$

Этап 1.1.3.4

Вынесем множитель $\frac{d y}{d x}$ из $\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} \cdot 1$ .

$\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1) = x - 4 x y$

Этап 1.1.4

Разделим каждый член $\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1) = x - 4 x y$ на $x^{2} + 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Разделим каждый член $\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1) = x - 4 x y$ на $x^{2} + 1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{x}{x^{2} + 1} + \frac{- 4 x y}{x^{2} + 1}$

Этап 1.1.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.2.1

Сократим общий множитель $x^{2} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{x}{x^{2} + 1} + \frac{- 4 x y}{x^{2} + 1}$

Этап 1.1.4.2.1.2

Разделим $\frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{x^{2} + 1} + \frac{- 4 x y}{x^{2} + 1}$

Этап 1.1.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x - 4 x y}{x^{2} + 1}$

Этап 1.1.4.3.2

Вынесем множитель $x$ из $x - 4 x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.3.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{1} - 4 x y}{x^{2} + 1}$

Этап 1.1.4.3.2.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 1 - 4 x y}{x^{2} + 1}$

Этап 1.1.4.3.2.3

Вынесем множитель $x$ из $- 4 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 1 + x (- 4 y)}{x^{2} + 1}$

Этап 1.1.4.3.2.4

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot 1 + x (- 4 y)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (1 - 4 y)}{x^{2} + 1}$

Этап 1.2

Перегруппируем множители.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{x^{2} + 1} (1 - 4 y)$

Этап 1.3

Умножим обе части на $\frac{1}{1 - 4 y}$ .

$\frac{1}{1 - 4 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 - 4 y} (\frac{x}{x^{2} + 1} (1 - 4 y))$

Этап 1.4

Сократим общий множитель $1 - 4 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Вынесем множитель $1 - 4 y$ из $\frac{x}{x^{2} + 1} (1 - 4 y)$ .

$\frac{1}{1 - 4 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 - 4 y} ((1 - 4 y) \frac{x}{x^{2} + 1})$

Этап 1.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{1 - 4 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 - 4 y} ((1 - 4 y) \frac{x}{x^{2} + 1})$

Этап 1.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{1 - 4 y} \frac{d y}{d x} = \frac{x}{x^{2} + 1}$

Этап 1.5

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{1 - 4 y} d y = \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{1 - 4 y} d y = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Пусть $u_{1} = 1 - 4 y$ . Тогда $d u_{1} = - 4 d y$ , следовательно $- \frac{1}{4} d u_{1} = d y$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Пусть $u_{1} = 1 - 4 y$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Дифференцируем $1 - 4 y$ .

$\frac{d}{d y} [1 - 4 y]$

Этап 2.2.1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.2.1

По правилу суммы производная $1 - 4 y$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- 4 y]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- 4 y]$

Этап 2.2.1.1.2.2

Поскольку $1$ является константой относительно $y$ , производная $1$ относительно $y$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [- 4 y]$

Этап 2.2.1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [- 4 y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.3.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $y$ , производная $- 4 y$ по $y$ равна $- 4 \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 - 4 \frac{d}{d y} [y]$

Этап 2.2.1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 - 4 \cdot 1$

Этап 2.2.1.1.3.3

Умножим $- 4$ на $1$ .

$0 - 4$

Этап 2.2.1.1.4

Вычтем $4$ из $0$ .

$- 4$

Этап 2.2.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{- 4} d u_{1} = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Этап 2.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int \frac{1}{u_{1}} (- \frac{1}{4}) d u_{1} = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Этап 2.2.2.2

Умножим $\frac{1}{u_{1}}$ на $\frac{1}{4}$ .

$\int - \frac{1}{u_{1} \cdot 4} d u_{1} = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Этап 2.2.2.3

Перенесем $4$ влево от $u_{1}$ .

$\int - \frac{1}{4 u_{1}} d u_{1} = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Этап 2.2.3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int \frac{1}{4 u_{1}} d u_{1} = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Этап 2.2.4

Поскольку $\frac{1}{4}$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$- (\frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1}) = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Этап 2.2.5

Интеграл $\frac{1}{u_{1}}$ по $u_{1}$ имеет вид $\ln (| u_{1} |)$ .

$- \frac{1}{4} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Этап 2.2.6

Упростим.

$- \frac{1}{4} \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Этап 2.2.7

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $1 - 4 y$ .

$- \frac{1}{4} \ln (| 1 - 4 y |) + C_{1} = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Пусть $u_{2} = x^{2} + 1$ . Тогда $d u_{2} = 2 x d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Пусть $u_{2} = x^{2} + 1$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.1

Дифференцируем $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Этап 2.3.1.1.2

По правилу суммы производная $x^{2} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.3.1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.3.1.1.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 x + 0$

Этап 2.3.1.1.5

Добавим $2 x$ и $0$ .

$2 x$

Этап 2.3.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$- \frac{1}{4} \ln (| 1 - 4 y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Этап 2.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Умножим $\frac{1}{u_{2}}$ на $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{4} \ln (| 1 - 4 y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Этап 2.3.2.2

Перенесем $2$ влево от $u_{2}$ .

$- \frac{1}{4} \ln (| 1 - 4 y |) + C_{1} = \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Этап 2.3.3

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$- \frac{1}{4} \ln (| 1 - 4 y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 2.3.4

Интеграл $\frac{1}{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $\ln (| u_{2} |)$ .

$- \frac{1}{4} \ln (| 1 - 4 y |) + C_{1} = \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Этап 2.3.5

Упростим.

$- \frac{1}{4} \ln (| 1 - 4 y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Этап 2.3.6

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x^{2} + 1$ .

$- \frac{1}{4} \ln (| 1 - 4 y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$- \frac{1}{4} \ln (| 1 - 4 y |) = \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим обе части уравнения на $- 4$ .

$- 4 (- \frac{1}{4} \ln (| 1 - 4 y |)) = - 4 (\frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C)$

Этап 3.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Упростим $- 4 (- \frac{1}{4} \ln (| 1 - 4 y |))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Объединим $\ln (| 1 - 4 y |)$ и $\frac{1}{4}$ .

$- 4 (- \frac{\ln (| 1 - 4 y |)}{4}) = - 4 (\frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C)$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\ln (| 1 - 4 y |)}{4}$ в числитель.

$- 4 \frac{- \ln (| 1 - 4 y |)}{4} = - 4 (\frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C)$

Этап 3.2.1.1.2.2

Вынесем множитель $4$ из $- 4$ .

$4 (- 1) \frac{- \ln (| 1 - 4 y |)}{4} = - 4 (\frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C)$

Этап 3.2.1.1.2.3

Сократим общий множитель.

$4 \cdot - 1 \frac{- \ln (| 1 - 4 y |)}{4} = - 4 (\frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C)$

Этап 3.2.1.1.2.4

Перепишем это выражение.

$- - \ln (| 1 - 4 y |) = - 4 (\frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C)$

Этап 3.2.1.1.3

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 \ln (| 1 - 4 y |) = - 4 (\frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C)$

Этап 3.2.1.1.3.2

Умножим $\ln (| 1 - 4 y |)$ на $1$ .

$\ln (| 1 - 4 y |) = - 4 (\frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C)$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим $- 4 (\frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\ln (| x^{2} + 1 |)$ .

$\ln (| 1 - 4 y |) = - 4 (\frac{\ln (| x^{2} + 1 |)}{2} + C)$

Этап 3.2.2.1.2

Чтобы записать $C$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| 1 - 4 y |) = - 4 (\frac{\ln (| x^{2} + 1 |)}{2} + C \cdot \frac{2}{2})$

Этап 3.2.2.1.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.3.1

Объединим $C$ и $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| 1 - 4 y |) = - 4 (\frac{\ln (| x^{2} + 1 |)}{2} + \frac{C \cdot 2}{2})$

Этап 3.2.2.1.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\ln (| 1 - 4 y |) = - 4 \frac{\ln (| x^{2} + 1 |) + C \cdot 2}{2}$

Этап 3.2.2.1.3.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.3.3.1

Вынесем множитель $2$ из $- 4$ .

$\ln (| 1 - 4 y |) = 2 (- 2) \frac{\ln (| x^{2} + 1 |) + C \cdot 2}{2}$

Этап 3.2.2.1.3.3.2

Сократим общий множитель.

$\ln (| 1 - 4 y |) = 2 \cdot - 2 \frac{\ln (| x^{2} + 1 |) + C \cdot 2}{2}$

Этап 3.2.2.1.3.3.3

Перепишем это выражение.

$\ln (| 1 - 4 y |) = - 2 (\ln (| x^{2} + 1 |) + C \cdot 2)$

Этап 3.2.2.1.4

Перенесем $2$ влево от $C$ .

$\ln (| 1 - 4 y |) = - 2 (\ln (| x^{2} + 1 |) + 2 C)$

Этап 3.2.2.1.5

Упростим путем перемножения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (| 1 - 4 y |) = - 2 \ln (| x^{2} + 1 |) - 2 (2 C)$

Этап 3.2.2.1.5.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$\ln (| 1 - 4 y |) = - 2 \ln (| x^{2} + 1 |) - 4 C$

Этап 3.3

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\ln (| 1 - 4 y |) + 2 \ln (| x^{2} + 1 |) = - 4 C$

Этап 3.4

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Упростим $\ln (| 1 - 4 y |) + 2 \ln (| x^{2} + 1 |)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1.1

Упростим $2 \ln (| x^{2} + 1 |)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\ln (| 1 - 4 y |) + \ln ({| x^{2} + 1 |}^{2}) = - 4 C$

Этап 3.4.1.1.2

Уберем знак модуля в ${| x^{2} + 1 |}^{2}$ , поскольку любое число в четной степени всегда положительное.

$\ln (| 1 - 4 y |) + \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) = - 4 C$

Этап 3.4.1.2

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| 1 - 4 y | {(x^{2} + 1)}^{2}) = - 4 C$

Этап 3.5

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (| 1 - 4 y | {(x^{2} + 1)}^{2})} = e^{- 4 C}$

Этап 3.6

Перепишем $\ln (| 1 - 4 y | {(x^{2} + 1)}^{2}) = - 4 C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{- 4 C} = | 1 - 4 y | {(x^{2} + 1)}^{2}$

Этап 3.7

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Перепишем уравнение в виде $| 1 - 4 y | {(x^{2} + 1)}^{2} = e^{- 4 C}$ .

$| 1 - 4 y | {(x^{2} + 1)}^{2} = e^{- 4 C}$

Этап 3.7.2

Разделим каждый член $| 1 - 4 y | {(x^{2} + 1)}^{2} = e^{- 4 C}$ на ${(x^{2} + 1)}^{2}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.1

Разделим каждый член $| 1 - 4 y | {(x^{2} + 1)}^{2} = e^{- 4 C}$ на ${(x^{2} + 1)}^{2}$ .

$\frac{| 1 - 4 y | {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = \frac{e^{- 4 C}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 3.7.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.2.1

Сократим общий множитель ${(x^{2} + 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{| 1 - 4 y | {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = \frac{e^{- 4 C}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 3.7.2.2.1.2

Разделим $| 1 - 4 y |$ на $1$ .

$| 1 - 4 y | = \frac{e^{- 4 C}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 3.7.3

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$1 - 4 y = \pm \frac{e^{- 4 C}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 3.7.4

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- 4 y = \pm \frac{e^{- 4 C}}{{(x^{2} + 1)}^{2}} - 1$

Этап 3.7.5

Разделим каждый член $- 4 y = \pm \frac{e^{- 4 C}}{{(x^{2} + 1)}^{2}} - 1$ на $- 4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.5.1

Разделим каждый член $- 4 y = \pm \frac{e^{- 4 C}}{{(x^{2} + 1)}^{2}} - 1$ на $- 4$ .

$\frac{- 4 y}{- 4} = \frac{\pm \frac{e^{- 4 C}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}{- 4} + \frac{- 1}{- 4}$

Этап 3.7.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.5.2.1

Сократим общий множитель $- 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 4 y}{- 4} = \frac{\pm \frac{e^{- 4 C}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}{- 4} + \frac{- 1}{- 4}$

Этап 3.7.5.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\pm \frac{e^{- 4 C}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}{- 4} + \frac{- 1}{- 4}$

Этап 3.7.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.5.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.5.3.1.1

Упростим $\frac{\pm \frac{e^{- 4 C}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}{- 4}$ .

$y = \frac{\pm \frac{e^{- 4 C}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}{4} + \frac{- 1}{- 4}$

Этап 3.7.5.3.1.2

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$y = \frac{\pm \frac{e^{- 4 C}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}{4} + \frac{1}{4}$

Этап 3.7.5.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{\pm \frac{e^{- 4 C}}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + 1}{4}$

Этап 4

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \frac{\pm \frac{C}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + 1}{4}$

Этап 4.2

Объединим константы с плюсом или минусом.

$y = \frac{C \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + 1}{4}$

Этап 5

Используем начальное условие, чтобы найти значение $C$ , подставив $2$ вместо $x$ и $1$ вместо $y$ в $y = \frac{C \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + 1}{4}$ .

$1 = \frac{C \frac{1}{{(2^{2} + 1)}^{2}} + 1}{4}$

Этап 6

Решим относительно $C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{C (\frac{1}{{(2^{2} + 1)}^{2}}) + 1}{4} = 1$ .

$\frac{C (\frac{1}{{(2^{2} + 1)}^{2}}) + 1}{4} = 1$

Этап 6.2

Умножим обе части на $4$ .

$\frac{C (\frac{1}{{(2^{2} + 1)}^{2}}) + 1}{4} \cdot 4 = 1 \cdot 4$

Этап 6.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1

Упростим $\frac{C (\frac{1}{{(2^{2} + 1)}^{2}}) + 1}{4} \cdot 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{C \frac{1}{{(4 + 1)}^{2}} + 1}{4} \cdot 4 = 1 \cdot 4$

Этап 6.3.1.1.1.2

Добавим $4$ и $1$ .

$\frac{C \frac{1}{5^{2}} + 1}{4} \cdot 4 = 1 \cdot 4$

Этап 6.3.1.1.1.3

Возведем $5$ в степень $2$ .

$\frac{C \frac{1}{25} + 1}{4} \cdot 4 = 1 \cdot 4$

Этап 6.3.1.1.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1.2.1

Объединим $C$ и $\frac{1}{25}$ .

$\frac{\frac{C}{25} + 1}{4} \cdot 4 = 1 \cdot 4$

Этап 6.3.1.1.2.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{\frac{C}{25} + \frac{25}{25}}{4} \cdot 4 = 1 \cdot 4$

Этап 6.3.1.1.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{C + 25}{25}}{4} \cdot 4 = 1 \cdot 4$

Этап 6.3.1.1.3

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{C + 25}{25}}{4} \cdot 4 = 1 \cdot 4$

Этап 6.3.1.1.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{C + 25}{25} = 1 \cdot 4$

Этап 6.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Умножим $4$ на $1$ .

$\frac{C + 25}{25} = 4$

Этап 6.4

Решим относительно $C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Умножим обе части уравнения на $25$ .

$25 \frac{C + 25}{25} = 25 \cdot 4$

Этап 6.4.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1.1

Сократим общий множитель $25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$25 \frac{C + 25}{25} = 25 \cdot 4$

Этап 6.4.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$C + 25 = 25 \cdot 4$

Этап 6.4.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.2.1

Умножим $25$ на $4$ .

$C + 25 = 100$

Этап 6.4.3

Перенесем все члены без $C$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.3.1

Вычтем $25$ из обеих частей уравнения.

$C = 100 - 25$

Этап 6.4.3.2

Вычтем $25$ из $100$ .

$C = 75$

Этап 7

Подставим $75$ вместо $C$ в $y = \frac{C \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + 1}{4}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Подставим $75$ вместо $C$ .

$y = \frac{75 \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + 1}{4}$

Этап 7.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Объединим $75$ и $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$y = \frac{\frac{75}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + 1}{4}$

Этап 7.2.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$y = \frac{\frac{75}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}{4}$

Этап 7.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{\frac{75 + {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}{4}$

Этап 7.2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.4.1

Перепишем ${(x^{2} + 1)}^{2}$ в виде $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ .

$y = \frac{\frac{75 + (x^{2} + 1) (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}{4}$

Этап 7.2.4.2

Развернем $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.4.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{\frac{75 + x^{2} (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}{4}$

Этап 7.2.4.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{\frac{75 + x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}{4}$

Этап 7.2.4.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{\frac{75 + x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}{4}$

Этап 7.2.4.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.4.3.1.1

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.4.3.1.1.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = \frac{\frac{75 + x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}{4}$

Этап 7.2.4.3.1.1.2

Добавим $2$ и $2$ .

$y = \frac{\frac{75 + x^{4} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}{4}$

Этап 7.2.4.3.1.2

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$y = \frac{\frac{75 + x^{4} + x^{2} + 1 x^{2} + 1 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}{4}$

Этап 7.2.4.3.1.3

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$y = \frac{\frac{75 + x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}{4}$

Этап 7.2.4.3.1.4

Умножим $1$ на $1$ .

$y = \frac{\frac{75 + x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}{4}$

Этап 7.2.4.3.2

Добавим $x^{2}$ и $x^{2}$ .

$y = \frac{\frac{75 + x^{4} + 2 x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}{4}$

Этап 7.2.4.4

Добавим $75$ и $1$ .

$y = \frac{\frac{x^{4} + 2 x^{2} + 76}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}{4}$

Этап 7.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$y = \frac{x^{4} + 2 x^{2} + 76}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{1}{4}$

Этап 7.4

Умножим $\frac{x^{4} + 2 x^{2} + 76}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ на $\frac{1}{4}$ .

$y = \frac{x^{4} + 2 x^{2} + 76}{{(x^{2} + 1)}^{2} \cdot 4}$

Этап 7.5

Перенесем $4$ влево от ${(x^{2} + 1)}^{2}$ .

$y = \frac{x^{4} + 2 x^{2} + 76}{4 {(x^{2} + 1)}^{2}}$