Математический анализ Примеры

$(1 + \sin^{2} (x)) \frac{d y}{d x} = e^{- 2 y} \sin (2 x)$ , $y (0) = 1$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим каждый член $(1 + \sin^{2} (x)) \frac{d y}{d x} = e^{- 2 y} \sin (2 x)$ на $1 + \sin^{2} (x)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Разделим каждый член $(1 + \sin^{2} (x)) \frac{d y}{d x} = e^{- 2 y} \sin (2 x)$ на $1 + \sin^{2} (x)$ .

$\frac{(1 + \sin^{2} (x)) \frac{d y}{d x}}{1 + \sin^{2} (x)} = \frac{e^{- 2 y} \sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)}$

Этап 1.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Сократим общий множитель $1 + \sin^{2} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(1 + \sin^{2} (x)) \frac{d y}{d x}}{1 + \sin^{2} (x)} = \frac{e^{- 2 y} \sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)}$

Этап 1.1.2.1.2

Разделим $\frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{- 2 y} \sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)}$

Этап 1.2

Перегруппируем множители.

$\frac{d y}{d x} = e^{- 2 y} \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)}$

Этап 1.3

Умножим обе части на $\frac{1}{e^{- 2 y}}$ .

$\frac{1}{e^{- 2 y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- 2 y}} (e^{- 2 y} \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)})$

Этап 1.4

Сократим общий множитель $e^{- 2 y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{e^{- 2 y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- 2 y}} (e^{- 2 y} \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)})$

Этап 1.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{e^{- 2 y}} \frac{d y}{d x} = \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)}$

Этап 1.5

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{e^{- 2 y}} d y = \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{e^{- 2 y}} d y = \int \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)} d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Поменяем знак экспоненты $e^{- 2 y}$ и вынесем ее из знаменателя.

$\int 1 {(e^{- 2 y})}^{- 1} d y = \int \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)} d x$

Этап 2.2.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Перемножим экспоненты в ${(e^{- 2 y})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 1 e^{- 2 y \cdot - 1} d y = \int \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)} d x$

Этап 2.2.1.2.1.2

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$\int 1 e^{2 y} d y = \int \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)} d x$

Этап 2.2.1.2.2

Умножим $e^{2 y}$ на $1$ .

$\int e^{2 y} d y = \int \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)} d x$

Этап 2.2.2

Пусть $u_{1} = 2 y$ . Тогда $d u_{1} = 2 d y$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{1} = d y$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Пусть $u_{1} = 2 y$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Дифференцируем $2 y$ .

$\frac{d}{d y} [2 y]$

Этап 2.2.2.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $y$ , производная $2 y$ по $y$ равна $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y]$

Этап 2.2.2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 2.2.2.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 2.2.2.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$\int e^{u_{1}} \frac{1}{2} d u_{1} = \int \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)} d x$

Этап 2.2.3

Объединим $e^{u_{1}}$ и $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1} = \int \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)} d x$

Этап 2.2.4

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)} d x$

Этап 2.2.5

Интеграл $e^{u_{1}}$ по $u_{1}$ имеет вид $e^{u_{1}}$ .

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C_{1}) = \int \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)} d x$

Этап 2.2.6

Упростим.

$\frac{1}{2} e^{u_{1}} + C_{1} = \int \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)} d x$

Этап 2.2.7

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $2 y$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = \int \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Пусть $u_{3} = 1 + \sin^{2} (x)$ . Тогда $d u_{3} = \sin (2 x) d x$ , следовательно $\frac{1}{\sin (2 x)} d u_{3} = d x$ . Перепишем, используя $u_{3}$ и $d$ $u_{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Пусть $u_{3} = 1 + \sin^{2} (x)$ . Найдем $\frac{d u_{3}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.1

Дифференцируем $1 + \sin^{2} (x)$ .

$\frac{d}{d x} [1 + \sin^{2} (x)]$

Этап 2.3.1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.2.1

По правилу суммы производная $1 + \sin^{2} (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Этап 2.3.1.1.2.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Этап 2.3.1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $\sin (x)$ .

$0 + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 2.3.1.1.3.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$0 + 2 u_{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 2.3.1.1.3.1.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $\sin (x)$ .

$0 + 2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 2.3.1.1.3.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$0 + 2 \sin (x) \cos (x)$

Этап 2.3.1.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.4.1

Добавим $0$ и $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x)$

Этап 2.3.1.1.4.2

Изменим порядок множителей в $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$2 \cos (x) \sin (x)$

Этап 2.3.1.1.4.3

Изменим порядок $2 \cos (x)$ и $\sin (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos (x))$

Этап 2.3.1.1.4.4

Изменим порядок $\sin (x)$ и $2$ .

$2 \cdot \sin (x) \cos (x)$

Этап 2.3.1.1.4.5

Применим формулу двойного угла для синуса.

$\sin (2 x)$

Этап 2.3.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{3}$ и $d u_{3}$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = \int \frac{1}{u_{3}} d u_{3}$

Этап 2.3.2

Интеграл $\frac{1}{u_{3}}$ по $u_{3}$ имеет вид $\ln (| u_{3} |)$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = \ln (| u_{3} |) + C_{2}$

Этап 2.3.3

Заменим все вхождения $u_{3}$ на $1 + \sin^{2} (x)$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = \ln (| 1 + \sin^{2} (x) |) + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y} = \ln (| 1 + \sin^{2} (x) |) + C$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 (\frac{1}{2} e^{2 y}) = 2 (\ln (| 1 + \sin^{2} (x) |) + C)$

Этап 3.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Упростим $2 (\frac{1}{2} e^{2 y})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $e^{2 y}$ .

$2 \frac{e^{2 y}}{2} = 2 (\ln (| 1 + \sin^{2} (x) |) + C)$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{e^{2 y}}{2} = 2 (\ln (| 1 + \sin^{2} (x) |) + C)$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$e^{2 y} = 2 (\ln (| 1 + \sin^{2} (x) |) + C)$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$e^{2 y} = 2 \ln (| 1 + \sin^{2} (x) |) + 2 C$

Этап 3.3

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{2 y}) = \ln (\ln ({(1 + \sin^{2} (x))}^{2}) + 2 C)$

Этап 3.4

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Развернем $\ln (e^{2 y})$ , вынося $2 y$ из логарифма.

$2 y \ln (e) = \ln (\ln ({(1 + \sin^{2} (x))}^{2}) + 2 C)$

Этап 3.4.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$2 y \cdot 1 = \ln (\ln ({(1 + \sin^{2} (x))}^{2}) + 2 C)$

Этап 3.4.3

Умножим $2$ на $1$ .

$2 y = \ln (\ln ({(1 + \sin^{2} (x))}^{2}) + 2 C)$

Этап 3.5

Развернем $\ln ({(1 + \sin^{2} (x))}^{2})$ , вынося $2$ из логарифма.

$2 y = \ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + 2 C)$

Этап 3.6

Разделим каждый член $2 y = \ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + 2 C)$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Разделим каждый член $2 y = \ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + 2 C)$ на $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + 2 C)}{2}$

Этап 3.6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + 2 C)}{2}$

Этап 3.6.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + 2 C)}{2}$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \frac{\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + C)}{2}$

Этап 5

Используем начальное условие, чтобы найти значение $C$ , подставив $0$ вместо $x$ и $1$ вместо $y$ в $y = \frac{\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + C)}{2}$ .

$1 = \frac{\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (0)) + C)}{2}$

Этап 6

Решим относительно $C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (0)) + C)}{2} = 1$ .

$\frac{\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (0)) + C)}{2} = 1$

Этап 6.2

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 \frac{\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (0)) + C)}{2} = 2 \cdot 1$

Этап 6.3

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1

Упростим $2 \frac{\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (0)) + C)}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1.1.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (0)) + C)}{2} = 2 \cdot 1$

Этап 6.3.1.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (0)) + C) = 2 \cdot 1$

Этап 6.3.1.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1.2.1.1

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\ln (2 \ln (1 + 0^{2}) + C) = 2 \cdot 1$

Этап 6.3.1.1.2.1.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\ln (2 \ln (1 + 0) + C) = 2 \cdot 1$

Этап 6.3.1.1.2.2

Добавим $1$ и $0$ .

$\ln (2 \ln (1) + C) = 2 \cdot 1$

Этап 6.3.1.1.2.3

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$\ln (2 \cdot 0 + C) = 2 \cdot 1$

Этап 6.3.1.1.2.4

Умножим $2$ на $0$ .

$\ln (0 + C) = 2 \cdot 1$

Этап 6.3.1.1.3

Добавим $0$ и $C$ .

$\ln (C) = 2 \cdot 1$

Этап 6.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Умножим $2$ на $1$ .

$\ln (C) = 2$

Этап 6.4

Чтобы решить относительно $C$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (C)} = e^{2}$

Этап 6.5

Перепишем $\ln (C) = 2$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{2} = C$

Этап 6.6

Перепишем уравнение в виде $C = e^{2}$ .

$C = e^{2}$

Этап 7

Подставим $e^{2}$ вместо $C$ в $y = \frac{\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + C)}{2}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Подставим $e^{2}$ вместо $C$ .

$y = \frac{\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + e^{2})}{2}$

Этап 7.2

Перепишем $\frac{\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + e^{2})}{2}$ в виде $\frac{1}{2} \ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + e^{2})$ .

$y = \frac{1}{2} \ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + e^{2})$

Этап 7.3

Упростим $\frac{1}{2} \ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + e^{2})$ путем переноса $\frac{1}{2}$ под логарифм.

$y = \ln ({(2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + e^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Этап 7.4

Упростим $2 \ln (1 + \sin^{2} (x))$ путем переноса $2$ под логарифм.

$y = \ln ({(\ln ({(1 + \sin^{2} (x))}^{2}) + e^{2})}^{\frac{1}{2}})$