Математический анализ Примеры

$\frac{d P}{d t} = P^{2} - 7 P + 12$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $\frac{1}{P^{2} - 7 P + 12}$ .

$\frac{1}{P^{2} - 7 P + 12} \frac{d P}{d t} = \frac{1}{P^{2} - 7 P + 12} (P^{2} - 7 P + 12)$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $P^{2} - 7 P + 12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{P^{2} - 7 P + 12} \frac{d P}{d t} = \frac{1}{P^{2} - 7 P + 12} (P^{2} - 7 P + 12)$

Этап 1.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{P^{2} - 7 P + 12} \frac{d P}{d t} = 1$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{P^{2} - 7 P + 12} d P = 1 d t$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{P^{2} - 7 P + 12} d P = \int d t$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Запишем дробь, используя разложение на элементарные дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Разложим $P^{2} - 7 P + 12$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $12$ , а сумма — $- 7$ .

$- 4, - 3$

Этап 2.2.1.1.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{1}{(P - 4) (P - 3)}$

Этап 2.2.1.1.2

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $A$ .

$\frac{A}{P - 4}$

Этап 2.2.1.1.3

$\frac{A}{P - 4} + \frac{B}{P - 3}$

Этап 2.2.1.1.4

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен $(P - 4) (P - 3)$ .

$\frac{1 (P - 4) (P - 3)}{(P - 4) (P - 3)} = \frac{(A) (P - 4) (P - 3)}{P - 4} + \frac{(B) (P - 4) (P - 3)}{P - 3}$

Этап 2.2.1.1.5

Сократим общий множитель $P - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1 (P - 4) (P - 3)}{(P - 4) (P - 3)} = \frac{(A) (P - 4) (P - 3)}{P - 4} + \frac{(B) (P - 4) (P - 3)}{P - 3}$

Этап 2.2.1.1.5.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1 (P - 3)}{P - 3} = \frac{(A) (P - 4) (P - 3)}{P - 4} + \frac{(B) (P - 4) (P - 3)}{P - 3}$

Этап 2.2.1.1.6

Сократим общий множитель $P - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.6.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1 (P - 3)}{P - 3} = \frac{(A) (P - 4) (P - 3)}{P - 4} + \frac{(B) (P - 4) (P - 3)}{P - 3}$

Этап 2.2.1.1.6.2

Перепишем это выражение.

$1 = \frac{(A) (P - 4) (P - 3)}{P - 4} + \frac{(B) (P - 4) (P - 3)}{P - 3}$

Этап 2.2.1.1.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.7.1

Сократим общий множитель $P - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.7.1.1

Сократим общий множитель.

$1 = \frac{A (P - 4) (P - 3)}{P - 4} + \frac{(B) (P - 4) (P - 3)}{P - 3}$

Этап 2.2.1.1.7.1.2

Разделим $(A) (P - 3)$ на $1$ .

$1 = (A) (P - 3) + \frac{(B) (P - 4) (P - 3)}{P - 3}$

Этап 2.2.1.1.7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$1 = A P + A \cdot - 3 + \frac{(B) (P - 4) (P - 3)}{P - 3}$

Этап 2.2.1.1.7.3

Перенесем $- 3$ влево от $A$ .

$1 = A P - 3 \cdot A + \frac{(B) (P - 4) (P - 3)}{P - 3}$

Этап 2.2.1.1.7.4

Сократим общий множитель $P - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.7.4.1

Сократим общий множитель.

$1 = A P - 3 A + \frac{(B) (P - 4) (P - 3)}{P - 3}$

Этап 2.2.1.1.7.4.2

Разделим $(B) (P - 4)$ на $1$ .

$1 = A P - 3 A + (B) (P - 4)$

Этап 2.2.1.1.7.5

Применим свойство дистрибутивности.

$1 = A P - 3 A + B P + B \cdot - 4$

Этап 2.2.1.1.7.6

Перенесем $- 4$ влево от $B$ .

$1 = A P - 3 A + B P - 4 B$

Этап 2.2.1.1.8

Перенесем $- 3 A$ .

$1 = A P + B P - 3 A - 4 B$

Этап 2.2.1.2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $P$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$0 = A + B$

Этап 2.2.1.2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $P$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$1 = - 3 A - 4 B$

Этап 2.2.1.2.3

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$0 = A + B$

$1 = - 3 A - 4 B$

$0 = A + B$

$1 = - 3 A - 4 B$

Этап 2.2.1.3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.1

Решим относительно $A$ в $0 = A + B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.1.1

Перепишем уравнение в виде $A + B = 0$ .

$A + B = 0$

$1 = - 3 A - 4 B$

Этап 2.2.1.3.1.2

Вычтем $B$ из обеих частей уравнения.

$A = - B$

$1 = - 3 A - 4 B$

$A = - B$

$1 = - 3 A - 4 B$

Этап 2.2.1.3.2

Заменим все вхождения $A$ на $- B$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.2.1

Заменим все вхождения $A$ в $1 = - 3 A - 4 B$ на $- B$ .

$1 = - 3 (- B) - 4 B$

$A = - B$

Этап 2.2.1.3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.2.2.1

Упростим $- 3 (- B) - 4 B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.2.2.1.1

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$1 = 3 B - 4 B$

$A = - B$

Этап 2.2.1.3.2.2.1.2

Вычтем $4 B$ из $3 B$ .

$1 = - B$

$A = - B$

$1 = - B$

$A = - B$

$1 = - B$

$A = - B$

$1 = - B$

$A = - B$

Этап 2.2.1.3.3

Решим относительно $B$ в $1 = - B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.3.1

Перепишем уравнение в виде $- B = 1$ .

$- B = 1$

$A = - B$

Этап 2.2.1.3.3.2

Разделим каждый член $- B = 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.3.2.1

Разделим каждый член $- B = 1$ на $- 1$ .

$\frac{- B}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

$A = - B$

Этап 2.2.1.3.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.3.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{B}{1} = \frac{1}{- 1}$

$A = - B$

Этап 2.2.1.3.3.2.2.2

Разделим $B$ на $1$ .

$B = \frac{1}{- 1}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{- 1}$

$A = - B$

Этап 2.2.1.3.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.3.2.3.1

Разделим $1$ на $- 1$ .

$B = - 1$

$A = - B$

$B = - 1$

$A = - B$

$B = - 1$

$A = - B$

$B = - 1$

$A = - B$

Этап 2.2.1.3.4

Заменим все вхождения $B$ на $- 1$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.4.1

Заменим все вхождения $B$ в $A = - B$ на $- 1$ .

$A = - (- 1)$

$B = - 1$

Этап 2.2.1.3.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.4.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$A = 1$

$B = - 1$

$A = 1$

$B = - 1$

$A = 1$

$B = - 1$

Этап 2.2.1.3.5

Перечислим все решения.

$A = 1, B = - 1$

Этап 2.2.1.4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{P - 4} + \frac{B}{P - 3}$ значениями, найденными для $A$ и $B$ .

$\frac{1}{P - 4} + \frac{- 1}{P - 3}$

Этап 2.2.1.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int \frac{1}{P - 4} - \frac{1}{P - 3} d P = \int d t$

Этап 2.2.2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \frac{1}{P - 4} d P + \int - \frac{1}{P - 3} d P = \int d t$

Этап 2.2.3

Пусть $u_{1} = P - 4$ . Тогда $d u_{1} = d P$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Пусть $u_{1} = P - 4$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d P}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1.1

Дифференцируем $P - 4$ .

$\frac{d}{d P} [P - 4]$

Этап 2.2.3.1.2

По правилу суммы производная $P - 4$ по $P$ имеет вид $\frac{d}{d P} [P] + \frac{d}{d P} [- 4]$ .

$\frac{d}{d P} [P] + \frac{d}{d P} [- 4]$

Этап 2.2.3.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d P} [P^{n}]$ имеет вид $n P^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d P} [- 4]$

Этап 2.2.3.1.4

Поскольку $- 4$ является константой относительно $P$ , производная $- 4$ относительно $P$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 2.2.3.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 2.2.3.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int - \frac{1}{P - 3} d P = \int d t$

Этап 2.2.4

Интеграл $\frac{1}{u_{1}}$ по $u_{1}$ имеет вид $\ln (| u_{1} |)$ .

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} + \int - \frac{1}{P - 3} d P = \int d t$

Этап 2.2.5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $P$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} - \int \frac{1}{P - 3} d P = \int d t$

Этап 2.2.6

Пусть $u_{2} = P - 3$ . Тогда $d u_{2} = d P$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.1

Пусть $u_{2} = P - 3$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d P}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.1.1

Дифференцируем $P - 3$ .

$\frac{d}{d P} [P - 3]$

Этап 2.2.6.1.2

По правилу суммы производная $P - 3$ по $P$ имеет вид $\frac{d}{d P} [P] + \frac{d}{d P} [- 3]$ .

$\frac{d}{d P} [P] + \frac{d}{d P} [- 3]$

Этап 2.2.6.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d P} [P^{n}]$ имеет вид $n P^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d P} [- 3]$

Этап 2.2.6.1.4

Поскольку $- 3$ является константой относительно $P$ , производная $- 3$ относительно $P$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 2.2.6.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 2.2.6.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} - \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int d t$

Этап 2.2.7

Интеграл $\frac{1}{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} - (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) = \int d t$

Этап 2.2.8

Упростим.

$\ln (| u_{1} |) - \ln (| u_{2} |) + C_{3} = \int d t$

Этап 2.2.9

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| u_{1} |}{| u_{2} |}) + C_{3} = \int d t$

Этап 2.2.10

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.10.1

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $P - 4$ .

$\ln (\frac{| P - 4 |}{| u_{2} |}) + C_{3} = \int d t$

Этап 2.2.10.2

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $P - 3$ .

$\ln (\frac{| P - 4 |}{| P - 3 |}) + C_{3} = \int d t$

Этап 2.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\ln (\frac{| P - 4 |}{| P - 3 |}) + C_{3} = t + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\ln (\frac{| P - 4 |}{| P - 3 |}) = t + C$

Этап 3

Решим относительно $P$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы решить относительно $P$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (\frac{| P - 4 |}{| P - 3 |})} = e^{t + C}$

Этап 3.2

Перепишем $\ln (\frac{| P - 4 |}{| P - 3 |}) = t + C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{t + C} = \frac{| P - 4 |}{| P - 3 |}$

Этап 3.3

Решим относительно $P$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{| P - 4 |}{| P - 3 |} = e^{t + C}$ .

$\frac{| P - 4 |}{| P - 3 |} = e^{t + C}$

Этап 3.3.2

Умножим обе части на $| P - 3 |$ .

$\frac{| P - 4 |}{| P - 3 |} | P - 3 | = e^{t + C} | P - 3 |$

Этап 3.3.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Сократим общий множитель $| P - 3 |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{| P - 4 |}{| P - 3 |} | P - 3 | = e^{t + C} | P - 3 |$

Этап 3.3.3.1.2

Перепишем это выражение.

$| P - 4 | = e^{t + C} | P - 3 |$

Этап 3.3.4

Решим относительно $P$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.1

Перепишем уравнение в виде $e^{t + C} | P - 3 | = | P - 4 |$ .

$e^{t + C} | P - 3 | = | P - 4 |$

Этап 3.3.4.2

Разделим каждый член $e^{t + C} | P - 3 | = | P - 4 |$ на $e^{t + C}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.2.1

Разделим каждый член $e^{t + C} | P - 3 | = | P - 4 |$ на $e^{t + C}$ .

$\frac{e^{t + C} | P - 3 |}{e^{t + C}} = \frac{| P - 4 |}{e^{t + C}}$

Этап 3.3.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.2.2.1

Сократим общий множитель $e^{t + C}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{t + C} | P - 3 |}{e^{t + C}} = \frac{| P - 4 |}{e^{t + C}}$

Этап 3.3.4.2.2.1.2

Разделим $| P - 3 |$ на $1$ .

$| P - 3 | = \frac{| P - 4 |}{e^{t + C}}$

Этап 3.3.4.3

Перепишем это уравнение абсолютного значения в виде четырех уравнений без знаков модуля.

$P - 3 = \frac{P - 4}{e^{t + C}}$

$P - 3 = - \frac{P - 4}{e^{t + C}}$

$- (P - 3) = \frac{P - 4}{e^{t + C}}$

$- (P - 3) = - \frac{P - 4}{e^{t + C}}$

Этап 3.3.4.4

После упрощения остается решить только два уникальных уравнения.

$P - 3 = \frac{P - 4}{e^{t + C}}$

$P - 3 = - \frac{P - 4}{e^{t + C}}$

Этап 3.3.4.5

Решим $P - 3 = \frac{P - 4}{e^{t + C}}$ относительно $P$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.5.1

Умножим обе части на $e^{t + C}$ .

$(P - 3) e^{t + C} = \frac{P - 4}{e^{t + C}} e^{t + C}$

Этап 3.3.4.5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.5.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.5.2.1.1

Упростим $(P - 3) e^{t + C}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.5.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$P e^{t + C} - 3 e^{t + C} = \frac{P - 4}{e^{t + C}} e^{t + C}$

Этап 3.3.4.5.2.1.1.2

Упростим, используя свойство коммутативности.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.5.2.1.1.2.1

Изменим порядок $t$ и $C$ .

$P e^{C + t} - 3 e^{t + C} = \frac{P - 4}{e^{t + C}} e^{t + C}$

Этап 3.3.4.5.2.1.1.2.2

Изменим порядок $t$ и $C$ .

$P e^{C + t} - 3 e^{C + t} = \frac{P - 4}{e^{t + C}} e^{t + C}$

Этап 3.3.4.5.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.5.2.2.1

Сократим общий множитель $e^{t + C}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$P e^{C + t} - 3 e^{C + t} = \frac{P - 4}{e^{t + C}} e^{t + C}$

Этап 3.3.4.5.2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$P e^{C + t} - 3 e^{C + t} = P - 4$

Этап 3.3.4.5.3

Решим относительно $P$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.5.3.1

Вычтем $P$ из обеих частей уравнения.

$P e^{C + t} - 3 e^{C + t} - P = - 4$

Этап 3.3.4.5.3.2

Добавим $3 e^{C + t}$ к обеим частям уравнения.

$P e^{C + t} - P = - 4 + 3 e^{C + t}$

Этап 3.3.4.5.3.3

Вынесем множитель $P$ из $P e^{C + t} - P$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.5.3.3.1

Вынесем множитель $P$ из $P e^{C + t}$ .

$P e^{C + t} - P = - 4 + 3 e^{C + t}$

Этап 3.3.4.5.3.3.2

Вынесем множитель $P$ из $- P$ .

$P e^{C + t} + P \cdot - 1 = - 4 + 3 e^{C + t}$

Этап 3.3.4.5.3.3.3

Вынесем множитель $P$ из $P e^{C + t} + P \cdot - 1$ .

$P (e^{C + t} - 1) = - 4 + 3 e^{C + t}$

Этап 3.3.4.5.3.4

Разделим каждый член $P (e^{C + t} - 1) = - 4 + 3 e^{C + t}$ на $e^{C + t} - 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.5.3.4.1

Разделим каждый член $P (e^{C + t} - 1) = - 4 + 3 e^{C + t}$ на $e^{C + t} - 1$ .

$\frac{P (e^{C + t} - 1)}{e^{C + t} - 1} = \frac{- 4}{e^{C + t} - 1} + \frac{3 e^{C + t}}{e^{C + t} - 1}$

Этап 3.3.4.5.3.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.5.3.4.2.1

Сократим общий множитель $e^{C + t} - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.5.3.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{P (e^{C + t} - 1)}{e^{C + t} - 1} = \frac{- 4}{e^{C + t} - 1} + \frac{3 e^{C + t}}{e^{C + t} - 1}$

Этап 3.3.4.5.3.4.2.1.2

Разделим $P$ на $1$ .

$P = \frac{- 4}{e^{C + t} - 1} + \frac{3 e^{C + t}}{e^{C + t} - 1}$

Этап 3.3.4.5.3.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.5.3.4.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$P = \frac{- 4 + 3 e^{C + t}}{e^{C + t} - 1}$

Этап 3.3.4.5.3.4.3.2

Перепишем $- 4$ в виде $- 1 (4)$ .

$P = \frac{- 1 (4) + 3 e^{C + t}}{e^{C + t} - 1}$

Этап 3.3.4.5.3.4.3.3

Вынесем множитель $- 1$ из $3 e^{C + t}$ .

$P = \frac{- 1 (4) - (- 3 e^{C + t})}{e^{C + t} - 1}$

Этап 3.3.4.5.3.4.3.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (4) - (- 3 e^{C + t})$ .

$P = \frac{- 1 (4 - 3 e^{C + t})}{e^{C + t} - 1}$

Этап 3.3.4.5.3.4.3.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$P = - \frac{4 - 3 e^{C + t}}{e^{C + t} - 1}$

Этап 3.3.4.6

Решим $P - 3 = - \frac{P - 4}{e^{t + C}}$ относительно $P$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.6.1

Умножим обе части на $e^{t + C}$ .

$(P - 3) e^{t + C} = - \frac{P - 4}{e^{t + C}} e^{t + C}$

Этап 3.3.4.6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.6.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.6.2.1.1

Упростим $(P - 3) e^{t + C}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.6.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$P e^{t + C} - 3 e^{t + C} = - \frac{P - 4}{e^{t + C}} e^{t + C}$

Этап 3.3.4.6.2.1.1.2

Упростим, используя свойство коммутативности.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.6.2.1.1.2.1

Изменим порядок $t$ и $C$ .

$P e^{C + t} - 3 e^{t + C} = - \frac{P - 4}{e^{t + C}} e^{t + C}$

Этап 3.3.4.6.2.1.1.2.2

Изменим порядок $t$ и $C$ .

$P e^{C + t} - 3 e^{C + t} = - \frac{P - 4}{e^{t + C}} e^{t + C}$

Этап 3.3.4.6.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.6.2.2.1

Упростим $- \frac{P - 4}{e^{t + C}} e^{t + C}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.6.2.2.1.1

Сократим общий множитель $e^{t + C}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.6.2.2.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{P - 4}{e^{t + C}}$ в числитель.

$P e^{C + t} - 3 e^{C + t} = \frac{- (P - 4)}{e^{t + C}} e^{t + C}$

Этап 3.3.4.6.2.2.1.1.2

Сократим общий множитель.

$P e^{C + t} - 3 e^{C + t} = \frac{- (P - 4)}{e^{t + C}} e^{t + C}$

Этап 3.3.4.6.2.2.1.1.3

Перепишем это выражение.

$P e^{C + t} - 3 e^{C + t} = - (P - 4)$

Этап 3.3.4.6.2.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$P e^{C + t} - 3 e^{C + t} = - P - - 4$

Этап 3.3.4.6.2.2.1.3

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$P e^{C + t} - 3 e^{C + t} = - P + 4$

Этап 3.3.4.6.3

Решим относительно $P$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.6.3.1

Добавим $P$ к обеим частям уравнения.

$P e^{C + t} - 3 e^{C + t} + P = 4$

Этап 3.3.4.6.3.2

Добавим $3 e^{C + t}$ к обеим частям уравнения.

$P e^{C + t} + P = 4 + 3 e^{C + t}$

Этап 3.3.4.6.3.3

Вынесем множитель $P$ из $P e^{C + t} + P$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.6.3.3.1

Вынесем множитель $P$ из $P e^{C + t}$ .

$P e^{C + t} + P = 4 + 3 e^{C + t}$

Этап 3.3.4.6.3.3.2

Возведем $P$ в степень $1$ .

$P e^{C + t} + P = 4 + 3 e^{C + t}$

Этап 3.3.4.6.3.3.3

Вынесем множитель $P$ из $P^{1}$ .

$P e^{C + t} + P \cdot 1 = 4 + 3 e^{C + t}$

Этап 3.3.4.6.3.3.4

Вынесем множитель $P$ из $P e^{C + t} + P \cdot 1$ .

$P (e^{C + t} + 1) = 4 + 3 e^{C + t}$

Этап 3.3.4.6.3.4

Разделим каждый член $P (e^{C + t} + 1) = 4 + 3 e^{C + t}$ на $e^{C + t} + 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.6.3.4.1

Разделим каждый член $P (e^{C + t} + 1) = 4 + 3 e^{C + t}$ на $e^{C + t} + 1$ .

$\frac{P (e^{C + t} + 1)}{e^{C + t} + 1} = \frac{4}{e^{C + t} + 1} + \frac{3 e^{C + t}}{e^{C + t} + 1}$

Этап 3.3.4.6.3.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.6.3.4.2.1

Сократим общий множитель $e^{C + t} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.6.3.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{P (e^{C + t} + 1)}{e^{C + t} + 1} = \frac{4}{e^{C + t} + 1} + \frac{3 e^{C + t}}{e^{C + t} + 1}$

Этап 3.3.4.6.3.4.2.1.2

Разделим $P$ на $1$ .

$P = \frac{4}{e^{C + t} + 1} + \frac{3 e^{C + t}}{e^{C + t} + 1}$

Этап 3.3.4.6.3.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.6.3.4.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$P = \frac{4 + 3 e^{C + t}}{e^{C + t} + 1}$

Этап 3.3.4.7

Перечислим все решения.

$P = - \frac{4 - 3 e^{C + t}}{e^{C + t} - 1}$

$P = \frac{4 + 3 e^{C + t}}{e^{C + t} + 1}$

$P = - \frac{4 - 3 e^{C + t}}{e^{C + t} - 1}$

$P = \frac{4 + 3 e^{C + t}}{e^{C + t} + 1}$

$P = - \frac{4 - 3 e^{C + t}}{e^{C + t} - 1}$

$P = \frac{4 + 3 e^{C + t}}{e^{C + t} + 1}$

$P = - \frac{4 - 3 e^{C + t}}{e^{C + t} - 1}$

$P = \frac{4 + 3 e^{C + t}}{e^{C + t} + 1}$

Этап 4

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Изменим порядок членов.

$P = - \frac{4 - 3 e^{t + C}}{e^{C + t} - 1}$

$P = \frac{4 + 3 e^{C + t}}{e^{C + t} + 1}$

Этап 4.2

Перепишем $e^{t + C}$ в виде $e^{t} e^{C}$ .

$P = - \frac{4 - 3 (e^{t} e^{C})}{e^{C + t} - 1}$

$P = \frac{4 + 3 e^{C + t}}{e^{C + t} + 1}$

Этап 4.3

Изменим порядок $e^{t}$ и $e^{C}$ .

$P = - \frac{4 - 3 (e^{C} e^{t})}{e^{C + t} - 1}$

$P = \frac{4 + 3 e^{C + t}}{e^{C + t} + 1}$

Этап 4.4

Изменим порядок членов.

$P = - \frac{4 - 3 (e^{C} e^{t})}{e^{t + C} - 1}$

$P = \frac{4 + 3 e^{C + t}}{e^{C + t} + 1}$

Этап 4.5

Перепишем $e^{t + C}$ в виде $e^{t} e^{C}$ .

$P = - \frac{4 - 3 (e^{C} e^{t})}{e^{t} e^{C} - 1}$

$P = \frac{4 + 3 e^{C + t}}{e^{C + t} + 1}$

Этап 4.6

Изменим порядок $e^{t}$ и $e^{C}$ .

$P = - \frac{4 - 3 (e^{C} e^{t})}{e^{C} e^{t} - 1}$

$P = \frac{4 + 3 e^{C + t}}{e^{C + t} + 1}$

Этап 4.7

Изменим порядок членов.

$P = - \frac{4 - 3 (e^{C} e^{t})}{e^{C} e^{t} - 1}$

$P = \frac{4 + 3 e^{t + C}}{e^{C + t} + 1}$

Этап 4.8

Перепишем $e^{t + C}$ в виде $e^{t} e^{C}$ .

$P = - \frac{4 - 3 (e^{C} e^{t})}{e^{C} e^{t} - 1}$

$P = \frac{4 + 3 (e^{t} e^{C})}{e^{C + t} + 1}$

Этап 4.9

Изменим порядок $e^{t}$ и $e^{C}$ .

$P = - \frac{4 - 3 (e^{C} e^{t})}{e^{C} e^{t} - 1}$

$P = \frac{4 + 3 (e^{C} e^{t})}{e^{C + t} + 1}$

Этап 4.10

Изменим порядок членов.

$P = - \frac{4 - 3 (e^{C} e^{t})}{e^{C} e^{t} - 1}$

$P = \frac{4 + 3 (e^{C} e^{t})}{e^{t + C} + 1}$

Этап 4.11

Перепишем $e^{t + C}$ в виде $e^{t} e^{C}$ .

$P = - \frac{4 - 3 (e^{C} e^{t})}{e^{C} e^{t} - 1}$

$P = \frac{4 + 3 (e^{C} e^{t})}{e^{t} e^{C} + 1}$

Этап 4.12

Изменим порядок $e^{t}$ и $e^{C}$ .

$P = - \frac{4 - 3 (e^{C} e^{t})}{e^{C} e^{t} - 1}$

$P = \frac{4 + 3 (e^{C} e^{t})}{e^{C} e^{t} + 1}$

$P = - \frac{4 - 3 (e^{C} e^{t})}{e^{C} e^{t} - 1}$

$P = \frac{4 + 3 (e^{C} e^{t})}{e^{C} e^{t} + 1}$