Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d t} = y^{2} - 8 y + 15$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $\frac{1}{y^{2} - 8 y + 15}$ .

$\frac{1}{y^{2} - 8 y + 15} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y^{2} - 8 y + 15} (y^{2} - 8 y + 15)$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $y^{2} - 8 y + 15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y^{2} - 8 y + 15} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y^{2} - 8 y + 15} (y^{2} - 8 y + 15)$

Этап 1.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y^{2} - 8 y + 15} \frac{d y}{d t} = 1$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{y^{2} - 8 y + 15} d y = 1 d t$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{y^{2} - 8 y + 15} d y = \int d t$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Запишем дробь, используя разложение на элементарные дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Разложим $y^{2} - 8 y + 15$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $15$ , а сумма — $- 8$ .

$- 5, - 3$

Этап 2.2.1.1.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{1}{(y - 5) (y - 3)}$

Этап 2.2.1.1.2

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $A$ .

$\frac{A}{y - 5}$

Этап 2.2.1.1.3

$\frac{A}{y - 5} + \frac{B}{y - 3}$

Этап 2.2.1.1.4

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен $(y - 5) (y - 3)$ .

$\frac{1 (y - 5) (y - 3)}{(y - 5) (y - 3)} = \frac{(A) (y - 5) (y - 3)}{y - 5} + \frac{(B) (y - 5) (y - 3)}{y - 3}$

Этап 2.2.1.1.5

Сократим общий множитель $y - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1 (y - 5) (y - 3)}{(y - 5) (y - 3)} = \frac{(A) (y - 5) (y - 3)}{y - 5} + \frac{(B) (y - 5) (y - 3)}{y - 3}$

Этап 2.2.1.1.5.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1 (y - 3)}{y - 3} = \frac{(A) (y - 5) (y - 3)}{y - 5} + \frac{(B) (y - 5) (y - 3)}{y - 3}$

Этап 2.2.1.1.6

Сократим общий множитель $y - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.6.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1 (y - 3)}{y - 3} = \frac{(A) (y - 5) (y - 3)}{y - 5} + \frac{(B) (y - 5) (y - 3)}{y - 3}$

Этап 2.2.1.1.6.2

Перепишем это выражение.

$1 = \frac{(A) (y - 5) (y - 3)}{y - 5} + \frac{(B) (y - 5) (y - 3)}{y - 3}$

Этап 2.2.1.1.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.7.1

Сократим общий множитель $y - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.7.1.1

Сократим общий множитель.

$1 = \frac{A (y - 5) (y - 3)}{y - 5} + \frac{(B) (y - 5) (y - 3)}{y - 3}$

Этап 2.2.1.1.7.1.2

Разделим $(A) (y - 3)$ на $1$ .

$1 = (A) (y - 3) + \frac{(B) (y - 5) (y - 3)}{y - 3}$

Этап 2.2.1.1.7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$1 = A y + A \cdot - 3 + \frac{(B) (y - 5) (y - 3)}{y - 3}$

Этап 2.2.1.1.7.3

Перенесем $- 3$ влево от $A$ .

$1 = A y - 3 \cdot A + \frac{(B) (y - 5) (y - 3)}{y - 3}$

Этап 2.2.1.1.7.4

Сократим общий множитель $y - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.7.4.1

Сократим общий множитель.

$1 = A y - 3 A + \frac{(B) (y - 5) (y - 3)}{y - 3}$

Этап 2.2.1.1.7.4.2

Разделим $(B) (y - 5)$ на $1$ .

$1 = A y - 3 A + (B) (y - 5)$

Этап 2.2.1.1.7.5

Применим свойство дистрибутивности.

$1 = A y - 3 A + B y + B \cdot - 5$

Этап 2.2.1.1.7.6

Перенесем $- 5$ влево от $B$ .

$1 = A y - 3 A + B y - 5 B$

Этап 2.2.1.1.8

Перенесем $- 3 A$ .

$1 = A y + B y - 3 A - 5 B$

Этап 2.2.1.2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $y$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$0 = A + B$

Этап 2.2.1.2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $y$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$1 = - 3 A - 5 B$

Этап 2.2.1.2.3

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$0 = A + B$

$1 = - 3 A - 5 B$

$0 = A + B$

$1 = - 3 A - 5 B$

Этап 2.2.1.3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.1

Решим относительно $A$ в $0 = A + B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.1.1

Перепишем уравнение в виде $A + B = 0$ .

$A + B = 0$

$1 = - 3 A - 5 B$

Этап 2.2.1.3.1.2

Вычтем $B$ из обеих частей уравнения.

$A = - B$

$1 = - 3 A - 5 B$

$A = - B$

$1 = - 3 A - 5 B$

Этап 2.2.1.3.2

Заменим все вхождения $A$ на $- B$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.2.1

Заменим все вхождения $A$ в $1 = - 3 A - 5 B$ на $- B$ .

$1 = - 3 (- B) - 5 B$

$A = - B$

Этап 2.2.1.3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.2.2.1

Упростим $- 3 (- B) - 5 B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.2.2.1.1

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$1 = 3 B - 5 B$

$A = - B$

Этап 2.2.1.3.2.2.1.2

Вычтем $5 B$ из $3 B$ .

$1 = - 2 B$

$A = - B$

$1 = - 2 B$

$A = - B$

$1 = - 2 B$

$A = - B$

$1 = - 2 B$

$A = - B$

Этап 2.2.1.3.3

Решим относительно $B$ в $1 = - 2 B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.3.1

Перепишем уравнение в виде $- 2 B = 1$ .

$- 2 B = 1$

$A = - B$

Этап 2.2.1.3.3.2

Разделим каждый член $- 2 B = 1$ на $- 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.3.2.1

Разделим каждый член $- 2 B = 1$ на $- 2$ .

$\frac{- 2 B}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

$A = - B$

Этап 2.2.1.3.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.3.2.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 B}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

$A = - B$

Этап 2.2.1.3.3.2.2.1.2

Разделим $B$ на $1$ .

$B = \frac{1}{- 2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{- 2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{- 2}$

$A = - B$

Этап 2.2.1.3.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.3.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$B = - \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = - \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = - \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = - \frac{1}{2}$

$A = - B$

Этап 2.2.1.3.4

Заменим все вхождения $B$ на $- \frac{1}{2}$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.4.1

Заменим все вхождения $B$ в $A = - B$ на $- \frac{1}{2}$ .

$A = - (- \frac{1}{2})$

$B = - \frac{1}{2}$

Этап 2.2.1.3.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.4.2.1

Умножим $- (- \frac{1}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.4.2.1.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$A = 1 (\frac{1}{2})$

$B = - \frac{1}{2}$

Этап 2.2.1.3.4.2.1.2

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$A = \frac{1}{2}$

$B = - \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$B = - \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$B = - \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$B = - \frac{1}{2}$

Этап 2.2.1.3.5

Перечислим все решения.

$A = \frac{1}{2}, B = - \frac{1}{2}$

Этап 2.2.1.4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{y - 5} + \frac{B}{y - 3}$ значениями, найденными для $A$ и $B$ .

$\frac{\frac{1}{2}}{y - 5} + \frac{- \frac{1}{2}}{y - 3}$

Этап 2.2.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.5.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y - 5} + \frac{- \frac{1}{2}}{y - 3}$

Этап 2.2.1.5.2

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{y - 5}$ .

$\frac{1}{2 (y - 5)} + \frac{- \frac{1}{2}}{y - 3}$

Этап 2.2.1.5.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{1}{2 (y - 5)} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y - 3}$

Этап 2.2.1.5.4

Умножим $\frac{1}{y - 3}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 (y - 5)} - \frac{1}{(y - 3) \cdot 2}$

Этап 2.2.1.5.5

Перенесем $2$ влево от $y - 3$ .

$\int \frac{1}{2 (y - 5)} - \frac{1}{2 (y - 3)} d y = \int d t$

Этап 2.2.2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \frac{1}{2 (y - 5)} d y + \int - \frac{1}{2 (y - 3)} d y = \int d t$

Этап 2.2.3

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{y - 5} d y + \int - \frac{1}{2 (y - 3)} d y = \int d t$

Этап 2.2.4

Пусть $u_{1} = y - 5$ . Тогда $d u_{1} = d y$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Пусть $u_{1} = y - 5$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1.1

Дифференцируем $y - 5$ .

$\frac{d}{d y} [y - 5]$

Этап 2.2.4.1.2

По правилу суммы производная $y - 5$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 5]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 5]$

Этап 2.2.4.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 5]$

Этап 2.2.4.1.4

Поскольку $- 5$ является константой относительно $y$ , производная $- 5$ относительно $y$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 2.2.4.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 2.2.4.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int - \frac{1}{2 (y - 3)} d y = \int d t$

Этап 2.2.5

Интеграл $\frac{1}{u_{1}}$ по $u_{1}$ имеет вид $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) + \int - \frac{1}{2 (y - 3)} d y = \int d t$

Этап 2.2.6

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) - \int \frac{1}{2 (y - 3)} d y = \int d t$

Этап 2.2.7

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{y - 3} d y) = \int d t$

Этап 2.2.8

Пусть $u_{2} = y - 3$ . Тогда $d u_{2} = d y$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.8.1

Пусть $u_{2} = y - 3$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.8.1.1

Дифференцируем $y - 3$ .

$\frac{d}{d y} [y - 3]$

Этап 2.2.8.1.2

По правилу суммы производная $y - 3$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 3]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 3]$

Этап 2.2.8.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 3]$

Этап 2.2.8.1.4

Поскольку $- 3$ является константой относительно $y$ , производная $- 3$ относительно $y$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 2.2.8.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 2.2.8.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int d t$

Этап 2.2.9

Интеграл $\frac{1}{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) - \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) = \int d t$

Этап 2.2.10

Упростим.

$\frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) - \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{3} = \int d t$

Этап 2.2.11

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.11.1

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $y - 5$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y - 5 |) - \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{3} = \int d t$

Этап 2.2.11.2

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $y - 3$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y - 5 |) - \frac{1}{2} \ln (| y - 3 |) + C_{3} = \int d t$

Этап 2.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{2} \ln (| y - 5 |) - \frac{1}{2} \ln (| y - 3 |) + C_{3} = t + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y - 5 |) - \frac{1}{2} \ln (| y - 3 |) = t + C$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\ln (| y - 5 |)$ .

$\frac{\ln (| y - 5 |)}{2} - \frac{1}{2} \ln (| y - 3 |) = t + C$

Этап 3.1.1.2

Объединим $\ln (| y - 3 |)$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\ln (| y - 5 |)}{2} - \frac{\ln (| y - 3 |)}{2} = t + C$

Этап 3.2

Каждый член в $\frac{\ln (| y - 5 |)}{2} - \frac{\ln (| y - 3 |)}{2} = t + C$ умножим на $2$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Умножим каждый член $\frac{\ln (| y - 5 |)}{2} - \frac{\ln (| y - 3 |)}{2} = t + C$ на $2$ .

$\frac{\ln (| y - 5 |)}{2} \cdot 2 - \frac{\ln (| y - 3 |)}{2} \cdot 2 = t \cdot 2 + C \cdot 2$

Этап 3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\ln (| y - 5 |)}{2} \cdot 2 - \frac{\ln (| y - 3 |)}{2} \cdot 2 = t \cdot 2 + C \cdot 2$

Этап 3.2.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\ln (| y - 5 |) - \frac{\ln (| y - 3 |)}{2} \cdot 2 = t \cdot 2 + C \cdot 2$

Этап 3.2.2.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\ln (| y - 3 |)}{2}$ в числитель.

$\ln (| y - 5 |) + \frac{- \ln (| y - 3 |)}{2} \cdot 2 = t \cdot 2 + C \cdot 2$

Этап 3.2.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\ln (| y - 5 |) + \frac{- \ln (| y - 3 |)}{2} \cdot 2 = t \cdot 2 + C \cdot 2$

Этап 3.2.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\ln (| y - 5 |) - \ln (| y - 3 |) = t \cdot 2 + C \cdot 2$

Этап 3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.1

Перенесем $2$ влево от $t$ .

$\ln (| y - 5 |) - \ln (| y - 3 |) = 2 \cdot t + C \cdot 2$

Этап 3.2.3.1.2

Перенесем $2$ влево от $C$ .

$\ln (| y - 5 |) - \ln (| y - 3 |) = 2 t + 2 C$

Этап 3.3

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y - 5 |}{| y - 3 |}) = 2 t + 2 C$

Этап 3.4

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (\frac{| y - 5 |}{| y - 3 |})} = e^{2 t + 2 C}$

Этап 3.5

Перепишем $\ln (\frac{| y - 5 |}{| y - 3 |}) = 2 t + 2 C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{2 t + 2 C} = \frac{| y - 5 |}{| y - 3 |}$

Этап 3.6

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{| y - 5 |}{| y - 3 |} = e^{2 t + 2 C}$ .

$\frac{| y - 5 |}{| y - 3 |} = e^{2 t + 2 C}$

Этап 3.6.2

Умножим обе части на $| y - 3 |$ .

$\frac{| y - 5 |}{| y - 3 |} | y - 3 | = e^{2 t + 2 C} | y - 3 |$

Этап 3.6.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.3.1

Сократим общий множитель $| y - 3 |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.3.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{| y - 5 |}{| y - 3 |} | y - 3 | = e^{2 t + 2 C} | y - 3 |$

Этап 3.6.3.1.2

Перепишем это выражение.

$| y - 5 | = e^{2 t + 2 C} | y - 3 |$

Этап 3.6.4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.1

Перепишем уравнение в виде $e^{2 t + 2 C} | y - 3 | = | y - 5 |$ .

$e^{2 t + 2 C} | y - 3 | = | y - 5 |$

Этап 3.6.4.2

Разделим каждый член $e^{2 t + 2 C} | y - 3 | = | y - 5 |$ на $e^{2 t + 2 C}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.2.1

Разделим каждый член $e^{2 t + 2 C} | y - 3 | = | y - 5 |$ на $e^{2 t + 2 C}$ .

$\frac{e^{2 t + 2 C} | y - 3 |}{e^{2 t + 2 C}} = \frac{| y - 5 |}{e^{2 t + 2 C}}$

Этап 3.6.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.2.2.1

Сократим общий множитель $e^{2 t + 2 C}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{2 t + 2 C} | y - 3 |}{e^{2 t + 2 C}} = \frac{| y - 5 |}{e^{2 t + 2 C}}$

Этап 3.6.4.2.2.1.2

Разделим $| y - 3 |$ на $1$ .

$| y - 3 | = \frac{| y - 5 |}{e^{2 t + 2 C}}$

Этап 3.6.4.3

Перепишем это уравнение абсолютного значения в виде четырех уравнений без знаков модуля.

$y - 3 = \frac{y - 5}{e^{2 t + 2 C}}$

$y - 3 = - \frac{y - 5}{e^{2 t + 2 C}}$

$- (y - 3) = \frac{y - 5}{e^{2 t + 2 C}}$

$- (y - 3) = - \frac{y - 5}{e^{2 t + 2 C}}$

Этап 3.6.4.4

После упрощения остается решить только два уникальных уравнения.

$y - 3 = \frac{y - 5}{e^{2 t + 2 C}}$

$y - 3 = - \frac{y - 5}{e^{2 t + 2 C}}$

Этап 3.6.4.5

Решим $y - 3 = \frac{y - 5}{e^{2 t + 2 C}}$ относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.5.1

Умножим обе части на $e^{2 t + 2 C}$ .

$(y - 3) e^{2 t + 2 C} = \frac{y - 5}{e^{2 t + 2 C}} e^{2 t + 2 C}$

Этап 3.6.4.5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.5.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.5.2.1.1

Упростим $(y - 3) e^{2 t + 2 C}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.5.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y e^{2 t + 2 C} - 3 e^{2 t + 2 C} = \frac{y - 5}{e^{2 t + 2 C}} e^{2 t + 2 C}$

Этап 3.6.4.5.2.1.1.2

Упростим, используя свойство коммутативности.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.5.2.1.1.2.1

Изменим порядок $2 t$ и $2 C$ .

$y e^{2 C + 2 t} - 3 e^{2 t + 2 C} = \frac{y - 5}{e^{2 t + 2 C}} e^{2 t + 2 C}$

Этап 3.6.4.5.2.1.1.2.2

Изменим порядок $2 t$ и $2 C$ .

$y e^{2 C + 2 t} - 3 e^{2 C + 2 t} = \frac{y - 5}{e^{2 t + 2 C}} e^{2 t + 2 C}$

Этап 3.6.4.5.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.5.2.2.1

Сократим общий множитель $e^{2 t + 2 C}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$y e^{2 C + 2 t} - 3 e^{2 C + 2 t} = \frac{y - 5}{e^{2 t + 2 C}} e^{2 t + 2 C}$

Этап 3.6.4.5.2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$y e^{2 C + 2 t} - 3 e^{2 C + 2 t} = y - 5$

Этап 3.6.4.5.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.5.3.1

Вычтем $y$ из обеих частей уравнения.

$y e^{2 C + 2 t} - 3 e^{2 C + 2 t} - y = - 5$

Этап 3.6.4.5.3.2

Добавим $3 e^{2 C + 2 t}$ к обеим частям уравнения.

$y e^{2 C + 2 t} - y = - 5 + 3 e^{2 C + 2 t}$

Этап 3.6.4.5.3.3

Вынесем множитель $y$ из $y e^{2 C + 2 t} - y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.5.3.3.1

Вынесем множитель $y$ из $y e^{2 C + 2 t}$ .

$y e^{2 C + 2 t} - y = - 5 + 3 e^{2 C + 2 t}$

Этап 3.6.4.5.3.3.2

Вынесем множитель $y$ из $- y$ .

$y e^{2 C + 2 t} + y \cdot - 1 = - 5 + 3 e^{2 C + 2 t}$

Этап 3.6.4.5.3.3.3

Вынесем множитель $y$ из $y e^{2 C + 2 t} + y \cdot - 1$ .

$y (e^{2 C + 2 t} - 1) = - 5 + 3 e^{2 C + 2 t}$

Этап 3.6.4.5.3.4

Перепишем $e^{2 C + 2 t}$ в виде ${(e^{C + t})}^{2}$ .

$y ({(e^{C + t})}^{2} - 1) = - 5 + 3 e^{2 C + 2 t}$

Этап 3.6.4.5.3.5

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$y ({(e^{C + t})}^{2} - 1^{2}) = - 5 + 3 e^{2 C + 2 t}$

Этап 3.6.4.5.3.6

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.5.3.6.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = e^{C + t}$ и $b = 1$ .

$y ((e^{C + t} + 1) (e^{C + t} - 1)) = - 5 + 3 e^{2 C + 2 t}$

Этап 3.6.4.5.3.6.2

Избавимся от ненужных скобок.

$y (e^{C + t} + 1) (e^{C + t} - 1) = - 5 + 3 e^{2 C + 2 t}$

Этап 3.6.4.5.3.7

Разделим каждый член $y (e^{C + t} + 1) (e^{C + t} - 1) = - 5 + 3 e^{2 C + 2 t}$ на $(e^{C + t} + 1) (e^{C + t} - 1)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.5.3.7.1

Разделим каждый член $y (e^{C + t} + 1) (e^{C + t} - 1) = - 5 + 3 e^{2 C + 2 t}$ на $(e^{C + t} + 1) (e^{C + t} - 1)$ .

$\frac{y (e^{C + t} + 1) (e^{C + t} - 1)}{(e^{C + t} + 1) (e^{C + t} - 1)} = \frac{- 5}{(e^{C + t} + 1) (e^{C + t} - 1)} + \frac{3 e^{2 C + 2 t}}{(e^{C + t} + 1) (e^{C + t} - 1)}$

Этап 3.6.4.5.3.7.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.5.3.7.2.1

Сократим общий множитель $e^{C + t} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.5.3.7.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y (e^{C + t} + 1) (e^{C + t} - 1)}{(e^{C + t} + 1) (e^{C + t} - 1)} = \frac{- 5}{(e^{C + t} + 1) (e^{C + t} - 1)} + \frac{3 e^{2 C + 2 t}}{(e^{C + t} + 1) (e^{C + t} - 1)}$

Этап 3.6.4.5.3.7.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y (e^{C + t} - 1)}{e^{C + t} - 1} = \frac{- 5}{(e^{C + t} + 1) (e^{C + t} - 1)} + \frac{3 e^{2 C + 2 t}}{(e^{C + t} + 1) (e^{C + t} - 1)}$

Этап 3.6.4.5.3.7.2.2

Сократим общий множитель $e^{C + t} - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.5.3.7.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y (e^{C + t} - 1)}{e^{C + t} - 1} = \frac{- 5}{(e^{C + t} + 1) (e^{C + t} - 1)} + \frac{3 e^{2 C + 2 t}}{(e^{C + t} + 1) (e^{C + t} - 1)}$

Этап 3.6.4.5.3.7.2.2.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{- 5}{(e^{C + t} + 1) (e^{C + t} - 1)} + \frac{3 e^{2 C + 2 t}}{(e^{C + t} + 1) (e^{C + t} - 1)}$

Этап 3.6.4.5.3.7.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.5.3.7.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{- 5 + 3 e^{2 C + 2 t}}{(e^{C + t} + 1) (e^{C + t} - 1)}$

Этап 3.6.4.5.3.7.3.2

Перепишем $- 5$ в виде $- 1 (5)$ .

$y = \frac{- 1 (5) + 3 e^{2 C + 2 t}}{(e^{C + t} + 1) (e^{C + t} - 1)}$

Этап 3.6.4.5.3.7.3.3

Вынесем множитель $- 1$ из $3 e^{2 C + 2 t}$ .

$y = \frac{- 1 (5) - (- 3 e^{2 C + 2 t})}{(e^{C + t} + 1) (e^{C + t} - 1)}$

Этап 3.6.4.5.3.7.3.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (5) - (- 3 e^{2 C + 2 t})$ .

$y = \frac{- 1 (5 - 3 e^{2 C + 2 t})}{(e^{C + t} + 1) (e^{C + t} - 1)}$

Этап 3.6.4.5.3.7.3.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{5 - 3 e^{2 C + 2 t}}{(e^{C + t} + 1) (e^{C + t} - 1)}$

Этап 3.6.4.6

Решим $y - 3 = - \frac{y - 5}{e^{2 t + 2 C}}$ относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.6.1

Умножим обе части на $e^{2 t + 2 C}$ .

$(y - 3) e^{2 t + 2 C} = - \frac{y - 5}{e^{2 t + 2 C}} e^{2 t + 2 C}$

Этап 3.6.4.6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.6.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.6.2.1.1

Упростим $(y - 3) e^{2 t + 2 C}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.6.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y e^{2 t + 2 C} - 3 e^{2 t + 2 C} = - \frac{y - 5}{e^{2 t + 2 C}} e^{2 t + 2 C}$

Этап 3.6.4.6.2.1.1.2

Упростим, используя свойство коммутативности.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.6.2.1.1.2.1

Изменим порядок $2 t$ и $2 C$ .

$y e^{2 C + 2 t} - 3 e^{2 t + 2 C} = - \frac{y - 5}{e^{2 t + 2 C}} e^{2 t + 2 C}$

Этап 3.6.4.6.2.1.1.2.2

Изменим порядок $2 t$ и $2 C$ .

$y e^{2 C + 2 t} - 3 e^{2 C + 2 t} = - \frac{y - 5}{e^{2 t + 2 C}} e^{2 t + 2 C}$

Этап 3.6.4.6.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.6.2.2.1

Упростим $- \frac{y - 5}{e^{2 t + 2 C}} e^{2 t + 2 C}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.6.2.2.1.1

Сократим общий множитель $e^{2 t + 2 C}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.6.2.2.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{y - 5}{e^{2 t + 2 C}}$ в числитель.

$y e^{2 C + 2 t} - 3 e^{2 C + 2 t} = \frac{- (y - 5)}{e^{2 t + 2 C}} e^{2 t + 2 C}$

Этап 3.6.4.6.2.2.1.1.2

Сократим общий множитель.

$y e^{2 C + 2 t} - 3 e^{2 C + 2 t} = \frac{- (y - 5)}{e^{2 t + 2 C}} e^{2 t + 2 C}$

Этап 3.6.4.6.2.2.1.1.3

Перепишем это выражение.

$y e^{2 C + 2 t} - 3 e^{2 C + 2 t} = - (y - 5)$

Этап 3.6.4.6.2.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y e^{2 C + 2 t} - 3 e^{2 C + 2 t} = - y - - 5$

Этап 3.6.4.6.2.2.1.3

Умножим $- 1$ на $- 5$ .

$y e^{2 C + 2 t} - 3 e^{2 C + 2 t} = - y + 5$

Этап 3.6.4.6.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.6.3.1

Добавим $y$ к обеим частям уравнения.

$y e^{2 C + 2 t} - 3 e^{2 C + 2 t} + y = 5$

Этап 3.6.4.6.3.2

Добавим $3 e^{2 C + 2 t}$ к обеим частям уравнения.

$y e^{2 C + 2 t} + y = 5 + 3 e^{2 C + 2 t}$

Этап 3.6.4.6.3.3

Вынесем множитель $y$ из $y e^{2 C + 2 t} + y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.6.3.3.1

Вынесем множитель $y$ из $y e^{2 C + 2 t}$ .

$y e^{2 C + 2 t} + y = 5 + 3 e^{2 C + 2 t}$

Этап 3.6.4.6.3.3.2

Возведем $y$ в степень $1$ .

$y e^{2 C + 2 t} + y = 5 + 3 e^{2 C + 2 t}$

Этап 3.6.4.6.3.3.3

Вынесем множитель $y$ из $y^{1}$ .

$y e^{2 C + 2 t} + y \cdot 1 = 5 + 3 e^{2 C + 2 t}$

Этап 3.6.4.6.3.3.4

Вынесем множитель $y$ из $y e^{2 C + 2 t} + y \cdot 1$ .

$y (e^{2 C + 2 t} + 1) = 5 + 3 e^{2 C + 2 t}$

Этап 3.6.4.6.3.4

Разделим каждый член $y (e^{2 C + 2 t} + 1) = 5 + 3 e^{2 C + 2 t}$ на $e^{2 C + 2 t} + 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.6.3.4.1

Разделим каждый член $y (e^{2 C + 2 t} + 1) = 5 + 3 e^{2 C + 2 t}$ на $e^{2 C + 2 t} + 1$ .

$\frac{y (e^{2 C + 2 t} + 1)}{e^{2 C + 2 t} + 1} = \frac{5}{e^{2 C + 2 t} + 1} + \frac{3 e^{2 C + 2 t}}{e^{2 C + 2 t} + 1}$

Этап 3.6.4.6.3.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.6.3.4.2.1

Сократим общий множитель $e^{2 C + 2 t} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.6.3.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y (e^{2 C + 2 t} + 1)}{e^{2 C + 2 t} + 1} = \frac{5}{e^{2 C + 2 t} + 1} + \frac{3 e^{2 C + 2 t}}{e^{2 C + 2 t} + 1}$

Этап 3.6.4.6.3.4.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{5}{e^{2 C + 2 t} + 1} + \frac{3 e^{2 C + 2 t}}{e^{2 C + 2 t} + 1}$

Этап 3.6.4.6.3.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.6.3.4.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{5 + 3 e^{2 C + 2 t}}{e^{2 C + 2 t} + 1}$

Этап 3.6.4.7

Перечислим все решения.

$y = - \frac{5 - 3 e^{2 C + 2 t}}{(e^{C + t} + 1) (e^{C + t} - 1)}$

$y = \frac{5 + 3 e^{2 C + 2 t}}{e^{2 C + 2 t} + 1}$

$y = - \frac{5 - 3 e^{2 C + 2 t}}{(e^{C + t} + 1) (e^{C + t} - 1)}$

$y = \frac{5 + 3 e^{2 C + 2 t}}{e^{2 C + 2 t} + 1}$

$y = - \frac{5 - 3 e^{2 C + 2 t}}{(e^{C + t} + 1) (e^{C + t} - 1)}$

$y = \frac{5 + 3 e^{2 C + 2 t}}{e^{2 C + 2 t} + 1}$

$y = - \frac{5 - 3 e^{2 C + 2 t}}{(e^{C + t} + 1) (e^{C + t} - 1)}$

$y = \frac{5 + 3 e^{2 C + 2 t}}{e^{2 C + 2 t} + 1}$

Этап 4

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим постоянную интегрирования.

$y = - \frac{5 - 3 e^{C + 2 t}}{(e^{C + t} + 1) (e^{C + t} - 1)}$

$y = \frac{5 + 3 e^{C + 2 t}}{e^{C + 2 t} + 1}$

Этап 4.2

Изменим порядок членов.

$y = - \frac{5 - 3 e^{2 t + C}}{(e^{C + t} + 1) (e^{C + t} - 1)}$

$y = \frac{5 + 3 e^{C + 2 t}}{e^{C + 2 t} + 1}$

Этап 4.3

Перепишем $e^{2 t + C}$ в виде $e^{2 t} e^{C}$ .

$y = - \frac{5 - 3 (e^{2 t} e^{C})}{(e^{C + t} + 1) (e^{C + t} - 1)}$

$y = \frac{5 + 3 e^{C + 2 t}}{e^{C + 2 t} + 1}$

Этап 4.4

Изменим порядок $e^{2 t}$ и $e^{C}$ .

$y = - \frac{5 - 3 (e^{C} e^{2 t})}{(e^{C + t} + 1) (e^{C + t} - 1)}$

$y = \frac{5 + 3 e^{C + 2 t}}{e^{C + 2 t} + 1}$

Этап 4.5

Изменим порядок членов.

$y = - \frac{5 - 3 (e^{C} e^{2 t})}{(e^{t + C} + 1) (e^{C + t} - 1)}$

$y = \frac{5 + 3 e^{C + 2 t}}{e^{C + 2 t} + 1}$

Этап 4.6

Перепишем $e^{t + C}$ в виде $e^{t} e^{C}$ .

$y = - \frac{5 - 3 (e^{C} e^{2 t})}{(e^{t} e^{C} + 1) (e^{C + t} - 1)}$

$y = \frac{5 + 3 e^{C + 2 t}}{e^{C + 2 t} + 1}$

Этап 4.7

Изменим порядок $e^{t}$ и $e^{C}$ .

$y = - \frac{5 - 3 (e^{C} e^{2 t})}{(e^{C} e^{t} + 1) (e^{C + t} - 1)}$

$y = \frac{5 + 3 e^{C + 2 t}}{e^{C + 2 t} + 1}$

Этап 4.8

Изменим порядок членов.

$y = - \frac{5 - 3 (e^{C} e^{2 t})}{(e^{C} e^{t} + 1) (e^{t + C} - 1)}$

$y = \frac{5 + 3 e^{C + 2 t}}{e^{C + 2 t} + 1}$

Этап 4.9

Перепишем $e^{t + C}$ в виде $e^{t} e^{C}$ .

$y = - \frac{5 - 3 (e^{C} e^{2 t})}{(e^{C} e^{t} + 1) (e^{t} e^{C} - 1)}$

$y = \frac{5 + 3 e^{C + 2 t}}{e^{C + 2 t} + 1}$

Этап 4.10

Изменим порядок $e^{t}$ и $e^{C}$ .

$y = - \frac{5 - 3 (e^{C} e^{2 t})}{(e^{C} e^{t} + 1) (e^{C} e^{t} - 1)}$

$y = \frac{5 + 3 e^{C + 2 t}}{e^{C + 2 t} + 1}$

Этап 4.11

Изменим порядок членов.

$y = - \frac{5 - 3 (e^{C} e^{2 t})}{(e^{C} e^{t} + 1) (e^{C} e^{t} - 1)}$

$y = \frac{5 + 3 e^{2 t + C}}{e^{C + 2 t} + 1}$

Этап 4.12

Перепишем $e^{2 t + C}$ в виде $e^{2 t} e^{C}$ .

$y = - \frac{5 - 3 (e^{C} e^{2 t})}{(e^{C} e^{t} + 1) (e^{C} e^{t} - 1)}$

$y = \frac{5 + 3 (e^{2 t} e^{C})}{e^{C + 2 t} + 1}$

Этап 4.13

Изменим порядок $e^{2 t}$ и $e^{C}$ .

$y = - \frac{5 - 3 (e^{C} e^{2 t})}{(e^{C} e^{t} + 1) (e^{C} e^{t} - 1)}$

$y = \frac{5 + 3 (e^{C} e^{2 t})}{e^{C + 2 t} + 1}$

Этап 4.14

Изменим порядок членов.

$y = - \frac{5 - 3 (e^{C} e^{2 t})}{(e^{C} e^{t} + 1) (e^{C} e^{t} - 1)}$

$y = \frac{5 + 3 (e^{C} e^{2 t})}{e^{2 t + C} + 1}$

Этап 4.15

Перепишем $e^{2 t + C}$ в виде $e^{2 t} e^{C}$ .

$y = - \frac{5 - 3 (e^{C} e^{2 t})}{(e^{C} e^{t} + 1) (e^{C} e^{t} - 1)}$

$y = \frac{5 + 3 (e^{C} e^{2 t})}{e^{2 t} e^{C} + 1}$

Этап 4.16

Изменим порядок $e^{2 t}$ и $e^{C}$ .

$y = - \frac{5 - 3 (e^{C} e^{2 t})}{(e^{C} e^{t} + 1) (e^{C} e^{t} - 1)}$

$y = \frac{5 + 3 (e^{C} e^{2 t})}{e^{C} e^{2 t} + 1}$

$y = - \frac{5 - 3 (e^{C} e^{2 t})}{(e^{C} e^{t} + 1) (e^{C} e^{t} - 1)}$

$y = \frac{5 + 3 (e^{C} e^{2 t})}{e^{C} e^{2 t} + 1}$