Математический анализ Примеры

$(2 x y - 3 x^{2} y^{2}) d x + (x^{2} - 2 x^{3} y) d y = 0$

Этап 1

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = 2 x y - 3 x^{2} y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y - 3 x^{2} y^{2}]$

Этап 1.2

По правилу суммы производная $2 x y - 3 x^{2} y^{2}$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [- 3 x^{2} y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [- 3 x^{2} y^{2}]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [2 x y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $2 x$ является константой относительно $y$ , производная $2 x y$ по $y$ равна $2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 3 x^{2} y^{2}]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 3 x^{2} y^{2}]$

Этап 1.3.3

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + \frac{d}{d y} [- 3 x^{2} y^{2}]$

Этап 1.4

Найдем значение $\frac{d}{d y} [- 3 x^{2} y^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $- 3 x^{2}$ является константой относительно $y$ , производная $- 3 x^{2} y^{2}$ по $y$ равна $- 3 x^{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x - 3 x^{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Этап 1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x - 3 x^{2} (2 y)$

Этап 1.4.3

Умножим $2$ на $- 3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x - 6 x^{2} y$

Этап 1.5

Изменим порядок членов.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 6 x^{2} y + 2 x$

Этап 2

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = x^{2} - 2 x^{3} y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x^{3} y]$

Этап 2.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

По правилу суммы производная $x^{2} - 2 x^{3} y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3} y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3} y]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3} y]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3} y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 2 y$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x^{3} y$ по $x$ равна $- 2 y \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x - 2 y \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x - 2 y (3 x^{2})$

Этап 2.3.3

Умножим $3$ на $- 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x - 6 y x^{2}$

Этап 2.4

Изменим порядок членов.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 6 x^{2} y + 2 x$

Этап 3

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $- 6 x^{2} y + 2 x$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $- 6 x^{2} y + 2 x$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 6 x^{2} y + 2 x = - 6 x^{2} y + 2 x$

Этап 3.2

Так как обе части демонстрируют эквивалентность, уравнение является тождеством.

$- 6 x^{2} y + 2 x = - 6 x^{2} y + 2 x$ является тождеством.

Этап 4

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 2 x y - 3 x^{2} y^{2} d x$

Этап 5

Проинтегрируем $M (x, y) = 2 x y - 3 x^{2} y^{2}$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$f (x, y) = \int 2 x y d x + \int - 3 x^{2} y^{2} d x$

Этап 5.2

Поскольку $2 y$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2 y$ из-под знака интеграла.

$f (x, y) = 2 y \int x d x + \int - 3 x^{2} y^{2} d x$

Этап 5.3

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = 2 y (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - 3 x^{2} y^{2} d x$

Этап 5.4

Поскольку $- 3 y^{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 3 y^{2}$ из-под знака интеграла.

$f (x, y) = 2 y (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 3 y^{2} \int x^{2} d x$

Этап 5.5

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$f (x, y) = 2 y (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 3 y^{2} (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Этап 5.6

Упростим.

$f (x, y) = 2 \cdot \frac{1}{2} y x^{2} - 3 y^{2} (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

Этап 5.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{2}{2} y x^{2} - 3 y^{2} (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

Этап 5.7.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.2.1

Сократим общий множитель.

$f (x, y) = \frac{2}{2} y x^{2} - 3 y^{2} (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

Этап 5.7.2.2

Перепишем это выражение.

$f (x, y) = 1 y x^{2} - 3 y^{2} (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

Этап 5.7.3

Умножим $y$ на $1$ .

$f (x, y) = y x^{2} - 3 y^{2} (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

Этап 5.7.4

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$f (x, y) = y x^{2} - 3 y^{2} \frac{x^{3}}{3} + C$

Этап 5.7.5

Объединим $- 3$ и $\frac{x^{3}}{3}$ .

$f (x, y) = y x^{2} + y^{2} \frac{- 3 x^{3}}{3} + C$

Этап 5.7.6

Объединим $y^{2}$ и $\frac{- 3 x^{3}}{3}$ .

$f (x, y) = y x^{2} + \frac{y^{2} (- 3 x^{3})}{3} + C$

Этап 5.7.7

Сократим общий множитель $- 3$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.7.1

Вынесем множитель $3$ из $y^{2} (- 3 x^{3})$ .

$f (x, y) = y x^{2} + \frac{3 (y^{2} (- x^{3}))}{3} + C$

Этап 5.7.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.7.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$f (x, y) = y x^{2} + \frac{3 (y^{2} (- x^{3}))}{3 (1)} + C$

Этап 5.7.7.2.2

Сократим общий множитель.

$f (x, y) = y x^{2} + \frac{3 (y^{2} (- x^{3}))}{3 \cdot 1} + C$

Этап 5.7.7.2.3

Перепишем это выражение.

$f (x, y) = y x^{2} + \frac{y^{2} (- x^{3})}{1} + C$

Этап 5.7.7.2.4

Разделим $y^{2} (- x^{3})$ на $1$ .

$f (x, y) = y x^{2} + y^{2} (- x^{3}) + C$

Этап 6

Так как интеграл $g (y)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (y)$ .

$f (x, y) = y x^{2} + y^{2} (- x^{3}) + g (y)$

Этап 7

Зададим $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = x^{2} - 2 x^{3} y$

Этап 8

Найдем $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Продифференцируем $f$ по $y$ .

$\frac{d}{d y} [y x^{2} + y^{2} (- x^{3}) + g (y)] = x^{2} - 2 x^{3} y$

Этап 8.2

По правилу суммы производная $y x^{2} + y^{2} (- x^{3}) + g (y)$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [y x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2} (- x^{3})] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [y x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2} (- x^{3})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} - 2 x^{3} y$

Этап 8.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [y x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Поскольку $x^{2}$ является константой относительно $y$ , производная $y x^{2}$ по $y$ равна $x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ .

$x^{2} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{2} (- x^{3})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} - 2 x^{3} y$

Этап 8.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [y^{2} (- x^{3})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} - 2 x^{3} y$

Этап 8.3.3

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} + \frac{d}{d y} [y^{2} (- x^{3})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} - 2 x^{3} y$

Этап 8.4

Найдем значение $\frac{d}{d y} [y^{2} (- x^{3})]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1

Поскольку $- x^{3}$ является константой относительно $y$ , производная $y^{2} (- x^{3})$ по $y$ равна $- x^{3} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$x^{2} - x^{3} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} - 2 x^{3} y$

Этап 8.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$x^{2} - x^{3} (2 y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} - 2 x^{3} y$

Этап 8.4.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$x^{2} - 2 x^{3} y + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} - 2 x^{3} y$

Этап 8.5

Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от $g (y)$ равна $\frac{d g}{d y}$ .

$x^{2} - 2 x^{3} y + \frac{d g}{d y} = x^{2} - 2 x^{3} y$

Этап 8.6

Изменим порядок членов.

$\frac{d g}{d y} + x^{2} - 2 x^{3} y = x^{2} - 2 x^{3} y$

Этап 9

Решим относительно $\frac{d g}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Перенесем все члены без $\frac{d g}{d y}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Вычтем $x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d g}{d y} - 2 x^{3} y = x^{2} - 2 x^{3} y - x^{2}$

Этап 9.1.2

Добавим $2 x^{3} y$ к обеим частям уравнения.

$\frac{d g}{d y} = x^{2} - 2 x^{3} y - x^{2} + 2 x^{3} y$

Этап 9.1.3

Объединим противоположные члены в $x^{2} - 2 x^{3} y - x^{2} + 2 x^{3} y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.3.1

Вычтем $x^{2}$ из $x^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} = - 2 x^{3} y + 0 + 2 x^{3} y$

Этап 9.1.3.2

Добавим $- 2 x^{3} y$ и $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - 2 x^{3} y + 2 x^{3} y$

Этап 9.1.3.3

Добавим $- 2 x^{3} y$ и $2 x^{3} y$ .

$\frac{d g}{d y} = 0$

Этап 10

Найдем первообразную $0$ , чтобы найти $g (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Проинтегрируем обе части $\frac{d g}{d y} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 0 d y$

Этап 10.2

Найдем значение $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 0 d y$

Этап 10.3

Интеграл $0$ по $y$ имеет вид $0$ .

$g (y) = 0 + C$

Этап 10.4

Добавим $0$ и $C$ .

$g (y) = C$

Этап 11

Подставим выражение для $g (y)$ в $f (x, y) = y x^{2} + y^{2} (- x^{3}) + g (y)$ .

$f (x, y) = y x^{2} + y^{2} (- x^{3}) + C$

Этап 12

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f (x, y) = y x^{2} - y^{2} x^{3} + C$