Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} + \frac{2}{x} y = \frac{\sin (3 x)}{x^{2}}$

Этап 1

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (x) d x}$ , где $P (x) = \frac{2}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int \frac{2}{x} d x}$

Этап 1.2

Проинтегрируем $\frac{2}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$e^{2 \int \frac{1}{x} d x}$

Этап 1.2.2

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$e^{2 (\ln (| x |) + C)}$

Этап 1.2.3

Упростим.

$e^{2 \ln (| x |) + C}$

Этап 1.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{2 \ln (x)}$

Этап 1.4

Применим правило степени для логарифма.

$e^{\ln (x^{2})}$

Этап 1.5

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$x^{2}$

Этап 2

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член на $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} (\frac{2}{x} y) = x^{2} \frac{\sin (3 x)}{x^{2}}$

Этап 2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Объединим $\frac{2}{x}$ и $y$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} \frac{2 y}{x} = x^{2} \frac{\sin (3 x)}{x^{2}}$

Этап 2.2.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} \frac{\sin (3 x)}{x^{2}}$

Этап 2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} \frac{\sin (3 x)}{x^{2}}$

Этап 2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x (2 y) = x^{2} \frac{\sin (3 x)}{x^{2}}$

Этап 2.2.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2} \frac{\sin (3 x)}{x^{2}}$

Этап 2.3

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Сократим общий множитель.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2} \frac{\sin (3 x)}{x^{2}}$

Этап 2.3.2

Перепишем это выражение.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = \sin (3 x)$

Этап 3

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] = \sin (3 x)$

Этап 4

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [x^{2} y] d x = \int \sin (3 x) d x$

Этап 5

Проинтегрируем левую часть.

$x^{2} y = \int \sin (3 x) d x$

Этап 6

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Пусть $u = 3 x$ . Тогда $d u = 3 d x$ , следовательно $\frac{1}{3} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Пусть $u = 3 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1

Дифференцируем $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Этап 6.1.1.2

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 6.1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Этап 6.1.1.4

Умножим $3$ на $1$ .

$3$

Этап 6.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$x^{2} y = \int \sin (u) \frac{1}{3} d u$

Этап 6.2

Объединим $\sin (u)$ и $\frac{1}{3}$ .

$x^{2} y = \int \frac{\sin (u)}{3} d u$

Этап 6.3

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$x^{2} y = \frac{1}{3} \int \sin (u) d u$

Этап 6.4

Интеграл $\sin (u)$ по $u$ имеет вид $- \cos (u)$ .

$x^{2} y = \frac{1}{3} (- \cos (u) + C)$

Этап 6.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Упростим.

$x^{2} y = \frac{1}{3} (- \cos (u)) + C$

Этап 6.5.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $\cos (u)$ .

$x^{2} y = - \frac{\cos (u)}{3} + C$

Этап 6.6

Заменим все вхождения $u$ на $3 x$ .

$x^{2} y = - \frac{\cos (3 x)}{3} + C$

Этап 6.7

Изменим порядок членов.

$x^{2} y = - \frac{1}{3} \cos (3 x) + C$

Этап 7

Разделим каждый член $x^{2} y = - \frac{1}{3} \cos (3 x) + C$ на $x^{2}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разделим каждый член $x^{2} y = - \frac{1}{3} \cos (3 x) + C$ на $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{- \frac{1}{3} \cos (3 x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Этап 7.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{- \frac{1}{3} \cos (3 x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Этап 7.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{- \frac{1}{3} \cos (3 x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Этап 7.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.1

Объединим $\cos (3 x)$ и $\frac{1}{3}$ .

$y = \frac{- \frac{\cos (3 x)}{3}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Этап 7.3.1.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$y = - \frac{\cos (3 x)}{3} \cdot \frac{1}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Этап 7.3.1.3

Умножим $\frac{1}{x^{2}}$ на $\frac{\cos (3 x)}{3}$ .

$y = - \frac{\cos (3 x)}{x^{2} \cdot 3} + \frac{C}{x^{2}}$

Этап 7.3.1.4

Перенесем $3$ влево от $x^{2}$ .

$y = - \frac{\cos (3 x)}{3 x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$