Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 - 2 x}{4 x - x^{2}}$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d y = \frac{1 - 2 x}{4 x - x^{2}} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int \frac{1 - 2 x}{4 x - x^{2}} d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int \frac{1 - 2 x}{4 x - x^{2}} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Запишем дробь, используя разложение на элементарные дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.1

Вынесем множитель $x$ из $4 x - x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.1.1

Вынесем множитель $x$ из $4 x$ .

$\frac{1 - 2 x}{x \cdot 4 - x^{2}}$

Этап 2.3.1.1.1.2

Вынесем множитель $x$ из $- x^{2}$ .

$\frac{1 - 2 x}{x \cdot 4 + x (- x)}$

Этап 2.3.1.1.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot 4 + x (- x)$ .

$\frac{1 - 2 x}{x \cdot (4 - x)}$

Этап 2.3.1.1.1.4

Умножим $x$ на $4 - x$ .

$\frac{1 - 2 x}{x (4 - x)}$

Этап 2.3.1.1.2

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $B$ .

$\frac{A}{x} + \frac{B}{4 - x}$

Этап 2.3.1.1.3

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен $x (4 - x)$ .

$\frac{(1 - 2 x) (x (4 - x))}{x (4 - x)} = \frac{A (x (4 - x))}{x} + \frac{(B) (x (4 - x))}{4 - x}$

Этап 2.3.1.1.4

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(1 - 2 x) (x (4 - x))}{x (4 - x)} = \frac{A (x (4 - x))}{x} + \frac{(B) (x (4 - x))}{4 - x}$

Этап 2.3.1.1.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{(1 - 2 x) (4 - x)}{4 - x} = \frac{A (x (4 - x))}{x} + \frac{(B) (x (4 - x))}{4 - x}$

Этап 2.3.1.1.5

Сократим общий множитель $4 - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(1 - 2 x) (4 - x)}{4 - x} = \frac{A (x (4 - x))}{x} + \frac{(B) (x (4 - x))}{4 - x}$

Этап 2.3.1.1.5.2

Разделим $1 - 2 x$ на $1$ .

$1 - 2 x = \frac{A (x (4 - x))}{x} + \frac{(B) (x (4 - x))}{4 - x}$

Этап 2.3.1.1.6

Изменим порядок $1$ и $- 2 x$ .

$- 2 x + 1 = \frac{A (x (4 - x))}{x} + \frac{(B) (x (4 - x))}{4 - x}$

Этап 2.3.1.1.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.7.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.7.1.1

Сократим общий множитель.

$- 2 x + 1 = \frac{A (x (4 - x))}{x} + \frac{(B) (x (4 - x))}{4 - x}$

Этап 2.3.1.1.7.1.2

Разделим $A (4 - x)$ на $1$ .

$- 2 x + 1 = A (4 - x) + \frac{(B) (x (4 - x))}{4 - x}$

Этап 2.3.1.1.7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- 2 x + 1 = A \cdot 4 + A (- x) + \frac{(B) (x (4 - x))}{4 - x}$

Этап 2.3.1.1.7.3

Перенесем $4$ влево от $A$ .

$- 2 x + 1 = 4 \cdot A + A (- x) + \frac{(B) (x (4 - x))}{4 - x}$

Этап 2.3.1.1.7.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- 2 x + 1 = 4 \cdot A - A x + \frac{(B) (x (4 - x))}{4 - x}$

Этап 2.3.1.1.7.5

Сократим общий множитель $4 - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.7.5.1

Сократим общий множитель.

$- 2 x + 1 = 4 A - A x + \frac{B (x (4 - x))}{4 - x}$

Этап 2.3.1.1.7.5.2

Разделим $(B) (x)$ на $1$ .

$- 2 x + 1 = 4 A - A x + (B) (x)$

$- 2 x + 1 = 4 A - A x + B x$

Этап 2.3.1.1.8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.8.1

Перенесем $A$ .

$- 2 x + 1 = 4 A - x A + B x$

Этап 2.3.1.1.8.2

Изменим порядок $B$ и $x$ .

$- 2 x + 1 = 4 A - x A + B x$

Этап 2.3.1.1.8.3

Перенесем $4 A$ .

$- 2 x + 1 = - x A + B x + 4 A$

Этап 2.3.1.2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$- 2 = - 1 A + B$

Этап 2.3.1.2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $x$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$1 = 4 A$

Этап 2.3.1.2.3

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$- 2 = - 1 A + B$

$1 = 4 A$

$- 2 = - 1 A + B$

$1 = 4 A$

Этап 2.3.1.3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1

Решим относительно $A$ в $1 = 4 A$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1.1

Перепишем уравнение в виде $4 A = 1$ .

$4 A = 1$

$- 2 = - 1 A + B$

Этап 2.3.1.3.1.2

Разделим каждый член $4 A = 1$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1.2.1

Разделим каждый член $4 A = 1$ на $4$ .

$\frac{4 A}{4} = \frac{1}{4}$

$- 2 = - 1 A + B$

Этап 2.3.1.3.1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 A}{4} = \frac{1}{4}$

$- 2 = - 1 A + B$

Этап 2.3.1.3.1.2.2.1.2

Разделим $A$ на $1$ .

$A = \frac{1}{4}$

$- 2 = - 1 A + B$

$A = \frac{1}{4}$

$- 2 = - 1 A + B$

$A = \frac{1}{4}$

$- 2 = - 1 A + B$

$A = \frac{1}{4}$

$- 2 = - 1 A + B$

$A = \frac{1}{4}$

$- 2 = - 1 A + B$

Этап 2.3.1.3.2

Заменим все вхождения $A$ на $\frac{1}{4}$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.2.1

Заменим все вхождения $A$ в $- 2 = - 1 A + B$ на $\frac{1}{4}$ .

$- 2 = - 1 (\frac{1}{4}) + B$

$A = \frac{1}{4}$

Этап 2.3.1.3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.2.2.1

Перепишем $- 1 (\frac{1}{4})$ в виде $- (\frac{1}{4})$ .

$- 2 = - \frac{1}{4} + B$

$A = \frac{1}{4}$

$- 2 = - \frac{1}{4} + B$

$A = \frac{1}{4}$

$- 2 = - \frac{1}{4} + B$

$A = \frac{1}{4}$

Этап 2.3.1.3.3

Решим относительно $B$ в $- 2 = - \frac{1}{4} + B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.3.1

Перепишем уравнение в виде $- \frac{1}{4} + B = - 2$ .

$- \frac{1}{4} + B = - 2$

$A = \frac{1}{4}$

Этап 2.3.1.3.3.2

Перенесем все члены без $B$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.3.2.1

Добавим $\frac{1}{4}$ к обеим частям уравнения.

$B = - 2 + \frac{1}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

Этап 2.3.1.3.3.2.2

Чтобы записать $- 2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$B = - 2 \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

Этап 2.3.1.3.3.2.3

Объединим $- 2$ и $\frac{4}{4}$ .

$B = \frac{- 2 \cdot 4}{4} + \frac{1}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

Этап 2.3.1.3.3.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$B = \frac{- 2 \cdot 4 + 1}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

Этап 2.3.1.3.3.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.3.2.5.1

Умножим $- 2$ на $4$ .

$B = \frac{- 8 + 1}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

Этап 2.3.1.3.3.2.5.2

Добавим $- 8$ и $1$ .

$B = \frac{- 7}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

$B = \frac{- 7}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

Этап 2.3.1.3.3.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$B = - \frac{7}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

$B = - \frac{7}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

$B = - \frac{7}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

Этап 2.3.1.3.4

Решим систему уравнений.

$B = - \frac{7}{4} A = \frac{1}{4}$

Этап 2.3.1.3.5

Перечислим все решения.

$B = - \frac{7}{4}, A = \frac{1}{4}$

Этап 2.3.1.4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{x} + \frac{B}{4 - x}$ значениями, найденными для $A$ и $B$ .

$\frac{\frac{1}{4}}{x} + \frac{- \frac{7}{4}}{4 - x}$

Этап 2.3.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.5.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{x} + \frac{- \frac{7}{4}}{4 - x}$

Этап 2.3.1.5.2

Умножим $\frac{1}{4}$ на $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{4 x} + \frac{- \frac{7}{4}}{4 - x}$

Этап 2.3.1.5.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{1}{4 x} - \frac{7}{4} \cdot \frac{1}{4 - x}$

Этап 2.3.1.5.4

Умножим $\frac{1}{4 - x}$ на $\frac{7}{4}$ .

$\frac{1}{4 x} - \frac{7}{(4 - x) \cdot 4}$

Этап 2.3.1.5.5

Перенесем $4$ влево от $4 - x$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{4 x} - \frac{7}{4 (4 - x)} d x$

Этап 2.3.2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{4 x} d x + \int - \frac{7}{4 (4 - x)} d x$

Этап 2.3.3

Поскольку $\frac{1}{4}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \int \frac{1}{x} d x + \int - \frac{7}{4 (4 - x)} d x$

Этап 2.3.4

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} (\ln (| x |) + C_{2}) + \int - \frac{7}{4 (4 - x)} d x$

Этап 2.3.5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} (\ln (| x |) + C_{2}) - \int \frac{7}{4 (4 - x)} d x$

Этап 2.3.6

Поскольку $\frac{7}{4}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{7}{4}$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} (\ln (| x |) + C_{2}) - (\frac{7}{4} \int \frac{1}{4 - x} d x)$

Этап 2.3.7

Пусть $u = 4 - x$ . Тогда $d u = - d x$ , следовательно $- d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.1

Пусть $u = 4 - x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.1.1

Перепишем.

$\frac{- 1}{1}$

Этап 2.3.7.1.2

Разделим $- 1$ на $1$ .

$- 1$

Этап 2.3.7.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} (\ln (| x |) + C_{2}) - \frac{7}{4} \int \frac{- 1}{u} d u$

Этап 2.3.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} (\ln (| x |) + C_{2}) - \frac{7}{4} \int - \frac{1}{u} d u$

Этап 2.3.9

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} (\ln (| x |) + C_{2}) - \frac{7}{4} (- \int \frac{1}{u} d u)$

Этап 2.3.10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.10.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} (\ln (| x |) + C_{2}) + 1 (\frac{7}{4}) \int \frac{1}{u} d u$

Этап 2.3.10.2

Умножим $\frac{7}{4}$ на $1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} (\ln (| x |) + C_{2}) + \frac{7}{4} \int \frac{1}{u} d u$

Этап 2.3.11

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} (\ln (| x |) + C_{2}) + \frac{7}{4} (\ln (| u |) + C_{3})$

Этап 2.3.12

Упростим.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \ln (| x |) + \frac{7}{4} \ln (| u |) + C_{4}$

Этап 2.3.13

Заменим все вхождения $u$ на $4 - x$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \ln (| x |) + \frac{7}{4} \ln (| 4 - x |) + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$y = \frac{1}{4} \ln (| x |) + \frac{7}{4} \ln (| 4 - x |) + C$