Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \sqrt{y} + 4 x \sqrt{y}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $\sqrt{y}$ из $\sqrt{y} + 4 x \sqrt{y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Умножим на $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \sqrt{y} \cdot 1 + 4 x \sqrt{y}$

Этап 1.1.2

Вынесем множитель $\sqrt{y}$ из $4 x \sqrt{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = \sqrt{y} \cdot 1 + \sqrt{y} (4 x)$

Этап 1.1.3

Вынесем множитель $\sqrt{y}$ из $\sqrt{y} \cdot 1 + \sqrt{y} (4 x)$ .

$\frac{d y}{d x} = \sqrt{y} (1 + 4 x)$

Этап 1.2

Умножим обе части на $\frac{1}{\sqrt{y}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{y}} (\sqrt{y} (1 + 4 x))$

Этап 1.3

Сократим общий множитель $\sqrt{y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{y}} (\sqrt{y} (1 + 4 x))$

Этап 1.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 1 + 4 x$

Этап 1.4

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{\sqrt{y}} d y = (1 + 4 x) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{\sqrt{y}} d y = \int 1 + 4 x d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{y}$ в виде $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d y = \int 1 + 4 x d x$

Этап 2.2.1.2

Вынесем $y^{\frac{1}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int {(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d y = \int 1 + 4 x d x$

Этап 2.2.1.3

Перемножим экспоненты в ${(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d y = \int 1 + 4 x d x$

Этап 2.2.1.3.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$\int y^{\frac{- 1}{2}} d y = \int 1 + 4 x d x$

Этап 2.2.1.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int y^{- \frac{1}{2}} d y = \int 1 + 4 x d x$

Этап 2.2.2

По правилу степени интеграл $y^{- \frac{1}{2}}$ по $y$ имеет вид $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 1 + 4 x d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int d x + \int 4 x d x$

Этап 2.3.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = x + C_{2} + \int 4 x d x$

Этап 2.3.3

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = x + C_{2} + 4 \int x d x$

Этап 2.3.4

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = x + C_{2} + 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

Этап 2.3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Упростим.

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = x + 4 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Этап 2.3.5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.2.1

Объединим $4$ и $\frac{1}{2}$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = x + \frac{4}{2} x^{2} + C_{4}$

Этап 2.3.5.2.2

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = x + \frac{2 \cdot 2}{2} x^{2} + C_{4}$

Этап 2.3.5.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.2.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = x + \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} x^{2} + C_{4}$

Этап 2.3.5.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = x + \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{4}$

Этап 2.3.5.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = x + \frac{2}{1} x^{2} + C_{4}$

Этап 2.3.5.2.2.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = x + 2 x^{2} + C_{4}$

Этап 2.3.6

Изменим порядок членов.

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 2 x^{2} + x + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} = 2 x^{2} + x + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разделим каждый член $2 y^{\frac{1}{2}} = 2 x^{2} + x + K$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Разделим каждый член $2 y^{\frac{1}{2}} = 2 x^{2} + x + K$ на $2$ .

$\frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{2 x^{2}}{2} + \frac{x}{2} + \frac{K}{2}$

Этап 3.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{2 x^{2}}{2} + \frac{x}{2} + \frac{K}{2}$

Этап 3.1.2.2

Разделим $y^{\frac{1}{2}}$ на $1$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{2 x^{2}}{2} + \frac{x}{2} + \frac{K}{2}$

Этап 3.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1.1

Сократим общий множитель.

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{2 x^{2}}{2} + \frac{x}{2} + \frac{K}{2}$

Этап 3.1.3.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$y^{\frac{1}{2}} = x^{2} + \frac{x}{2} + \frac{K}{2}$

Этап 3.2

Возведем обе части уравнения в степень $2$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x^{2} + \frac{x}{2} + \frac{K}{2})}^{2}$

Этап 3.3

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Упростим ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1.1

Перемножим экспоненты в ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x^{2} + \frac{x}{2} + \frac{K}{2})}^{2}$

Этап 3.3.1.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x^{2} + \frac{x}{2} + \frac{K}{2})}^{2}$

Этап 3.3.1.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y^{1} = {(x^{2} + \frac{x}{2} + \frac{K}{2})}^{2}$

Этап 3.3.1.1.2

Упростим.

$y = {(x^{2} + \frac{x}{2} + \frac{K}{2})}^{2}$

Этап 3.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Упростим ${(x^{2} + \frac{x}{2} + \frac{K}{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Перепишем ${(x^{2} + \frac{x}{2} + \frac{K}{2})}^{2}$ в виде $(x^{2} + \frac{x}{2} + \frac{K}{2}) (x^{2} + \frac{x}{2} + \frac{K}{2})$ .

$y = (x^{2} + \frac{x}{2} + \frac{K}{2}) (x^{2} + \frac{x}{2} + \frac{K}{2})$

Этап 3.3.2.1.2

Развернем $(x^{2} + \frac{x}{2} + \frac{K}{2}) (x^{2} + \frac{x}{2} + \frac{K}{2})$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$y = x^{2} x^{2} + x^{2} \frac{x}{2} + x^{2} \frac{K}{2} + \frac{x}{2} x^{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} x^{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Этап 3.3.2.1.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.3.1.1

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.3.1.1.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = x^{2 + 2} + x^{2} \frac{x}{2} + x^{2} \frac{K}{2} + \frac{x}{2} x^{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} x^{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Этап 3.3.2.1.3.1.1.2

Добавим $2$ и $2$ .

$y = x^{4} + x^{2} \frac{x}{2} + x^{2} \frac{K}{2} + \frac{x}{2} x^{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} x^{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Этап 3.3.2.1.3.1.2

Умножим $x^{2} \frac{x}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.3.1.2.1

Объединим $x^{2}$ и $\frac{x}{2}$ .

$y = x^{4} + \frac{x^{2} x}{2} + x^{2} \frac{K}{2} + \frac{x}{2} x^{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} x^{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Этап 3.3.2.1.3.1.2.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.3.1.2.2.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.3.1.2.2.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$y = x^{4} + \frac{x^{2} x^{1}}{2} + x^{2} \frac{K}{2} + \frac{x}{2} x^{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} x^{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Этап 3.3.2.1.3.1.2.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = x^{4} + \frac{x^{2 + 1}}{2} + x^{2} \frac{K}{2} + \frac{x}{2} x^{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} x^{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Этап 3.3.2.1.3.1.2.2.2

Добавим $2$ и $1$ .

$y = x^{4} + \frac{x^{3}}{2} + x^{2} \frac{K}{2} + \frac{x}{2} x^{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} x^{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Этап 3.3.2.1.3.1.3

Объединим $x^{2}$ и $\frac{K}{2}$ .

$y = x^{4} + \frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{2} K}{2} + \frac{x}{2} x^{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} x^{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Этап 3.3.2.1.3.1.4

Умножим $\frac{x}{2} x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.3.1.4.1

Объединим $\frac{x}{2}$ и $x^{2}$ .

$y = x^{4} + \frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{2} K}{2} + \frac{x \cdot x^{2}}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} x^{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Этап 3.3.2.1.3.1.4.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.3.1.4.2.1

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.3.1.4.2.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$y = x^{4} + \frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{2} K}{2} + \frac{x^{1} x^{2}}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} x^{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Этап 3.3.2.1.3.1.4.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = x^{4} + \frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{2} K}{2} + \frac{x^{1 + 2}}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} x^{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Этап 3.3.2.1.3.1.4.2.2

Добавим $1$ и $2$ .

$y = x^{4} + \frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{2} K}{2} + \frac{x^{3}}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} x^{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Этап 3.3.2.1.3.1.5

Умножим $\frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.3.1.5.1

Умножим $\frac{x}{2}$ на $\frac{x}{2}$ .

$y = x^{4} + \frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{2} K}{2} + \frac{x^{3}}{2} + \frac{x \cdot x}{2 \cdot 2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} x^{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Этап 3.3.2.1.3.1.5.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$y = x^{4} + \frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{2} K}{2} + \frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{1} x}{2 \cdot 2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} x^{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Этап 3.3.2.1.3.1.5.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$y = x^{4} + \frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{2} K}{2} + \frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{1} x^{1}}{2 \cdot 2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} x^{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Этап 3.3.2.1.3.1.5.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = x^{4} + \frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{2} K}{2} + \frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{1 + 1}}{2 \cdot 2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} x^{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Этап 3.3.2.1.3.1.5.5

Добавим $1$ и $1$ .

$y = x^{4} + \frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{2} K}{2} + \frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{2}}{2 \cdot 2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} x^{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Этап 3.3.2.1.3.1.5.6

Умножим $2$ на $2$ .

$y = x^{4} + \frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{2} K}{2} + \frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{2}}{4} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} x^{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Этап 3.3.2.1.3.1.6

Умножим $\frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.3.1.6.1

Умножим $\frac{x}{2}$ на $\frac{K}{2}$ .

$y = x^{4} + \frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{2} K}{2} + \frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{2 \cdot 2} + \frac{K}{2} x^{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Этап 3.3.2.1.3.1.6.2

Умножим $2$ на $2$ .

$y = x^{4} + \frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{2} K}{2} + \frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K}{2} x^{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Этап 3.3.2.1.3.1.7

Объединим $\frac{K}{2}$ и $x^{2}$ .

$y = x^{4} + \frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{2} K}{2} + \frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K x^{2}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Этап 3.3.2.1.3.1.8

Умножим $\frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.3.1.8.1

Умножим $\frac{K}{2}$ на $\frac{x}{2}$ .

$y = x^{4} + \frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{2} K}{2} + \frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K x^{2}}{2} + \frac{K x}{2 \cdot 2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Этап 3.3.2.1.3.1.8.2

Умножим $2$ на $2$ .

$y = x^{4} + \frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{2} K}{2} + \frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K x^{2}}{2} + \frac{K x}{4} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Этап 3.3.2.1.3.1.9

Умножим $\frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.3.1.9.1

Умножим $\frac{K}{2}$ на $\frac{K}{2}$ .

$y = x^{4} + \frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{2} K}{2} + \frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K x^{2}}{2} + \frac{K x}{4} + \frac{K \cdot K}{2 \cdot 2}$

Этап 3.3.2.1.3.1.9.2

Возведем $K$ в степень $1$ .

$y = x^{4} + \frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{2} K}{2} + \frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K x^{2}}{2} + \frac{K x}{4} + \frac{K^{1} K}{2 \cdot 2}$

Этап 3.3.2.1.3.1.9.3

Возведем $K$ в степень $1$ .

$y = x^{4} + \frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{2} K}{2} + \frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K x^{2}}{2} + \frac{K x}{4} + \frac{K^{1} K^{1}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.3.2.1.3.1.9.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = x^{4} + \frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{2} K}{2} + \frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K x^{2}}{2} + \frac{K x}{4} + \frac{K^{1 + 1}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.3.2.1.3.1.9.5

Добавим $1$ и $1$ .

$y = x^{4} + \frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{2} K}{2} + \frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K x^{2}}{2} + \frac{K x}{4} + \frac{K^{2}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.3.2.1.3.1.9.6

Умножим $2$ на $2$ .

$y = x^{4} + \frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{2} K}{2} + \frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K x^{2}}{2} + \frac{K x}{4} + \frac{K^{2}}{4}$

Этап 3.3.2.1.3.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.3.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = x^{4} + \frac{x^{3} + x^{2} K + x^{3} + K x^{2}}{2} + \frac{x^{2} + x K + K x + K^{2}}{4}$

Этап 3.3.2.1.3.2.2

Добавим $x^{3}$ и $x^{3}$ .

$y = x^{4} + \frac{2 x^{3} + x^{2} K + K x^{2}}{2} + \frac{x^{2} + x K + K x + K^{2}}{4}$

Этап 3.3.2.1.4

Добавим $x^{2} K$ и $K x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.4.1

Изменим порядок $x^{2}$ и $K$ .

$y = x^{4} + \frac{2 x^{3} + K x^{2} + K x^{2}}{2} + \frac{x^{2} + x K + K x + K^{2}}{4}$

Этап 3.3.2.1.4.2

Добавим $K x^{2}$ и $K x^{2}$ .

$y = x^{4} + \frac{2 x^{3} + 2 K x^{2}}{2} + \frac{x^{2} + x K + K x + K^{2}}{4}$

Этап 3.3.2.1.5

Добавим $x K$ и $K x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.5.1

Изменим порядок $x$ и $K$ .

$y = x^{4} + \frac{2 x^{3} + 2 K x^{2}}{2} + \frac{x^{2} + K x + K x + K^{2}}{4}$

Этап 3.3.2.1.5.2

Добавим $K x$ и $K x$ .

$y = x^{4} + \frac{2 x^{3} + 2 K x^{2}}{2} + \frac{x^{2} + 2 K x + K^{2}}{4}$

Этап 3.3.2.1.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.6.1

Вынесем множитель $2 x^{2}$ из $2 x^{3} + 2 K x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.6.1.1

Вынесем множитель $2 x^{2}$ из $2 x^{3}$ .

$y = x^{4} + \frac{2 x^{2} (x) + 2 K x^{2}}{2} + \frac{x^{2} + 2 K x + K^{2}}{4}$

Этап 3.3.2.1.6.1.2

Вынесем множитель $2 x^{2}$ из $2 K x^{2}$ .

$y = x^{4} + \frac{2 x^{2} (x) + 2 x^{2} K}{2} + \frac{x^{2} + 2 K x + K^{2}}{4}$

Этап 3.3.2.1.6.1.3

Вынесем множитель $2 x^{2}$ из $2 x^{2} (x) + 2 x^{2} K$ .

$y = x^{4} + \frac{2 x^{2} (x + K)}{2} + \frac{x^{2} + 2 K x + K^{2}}{4}$

Этап 3.3.2.1.6.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.6.2.1

Сократим общий множитель.

$y = x^{4} + \frac{2 x^{2} (x + K)}{2} + \frac{x^{2} + 2 K x + K^{2}}{4}$

Этап 3.3.2.1.6.2.2

Разделим $x^{2} (x + K)$ на $1$ .

$y = x^{4} + x^{2} (x + K) + \frac{x^{2} + 2 K x + K^{2}}{4}$

Этап 3.3.2.1.6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = x^{4} + x^{2} x + x^{2} K + \frac{x^{2} + 2 K x + K^{2}}{4}$

Этап 3.3.2.1.6.4

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.6.4.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.6.4.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$y = x^{4} + x^{2} x^{1} + x^{2} K + \frac{x^{2} + 2 K x + K^{2}}{4}$

Этап 3.3.2.1.6.4.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = x^{4} + x^{2 + 1} + x^{2} K + \frac{x^{2} + 2 K x + K^{2}}{4}$

Этап 3.3.2.1.6.4.2

Добавим $2$ и $1$ .

$y = x^{4} + x^{3} + x^{2} K + \frac{x^{2} + 2 K x + K^{2}}{4}$

Этап 3.3.2.1.6.5

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.6.5.1

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$2 K x = 2 \cdot x \cdot K$

Этап 3.3.2.1.6.5.2

Перепишем многочлен.

$y = x^{4} + x^{3} + x^{2} K + \frac{x^{2} + 2 \cdot x \cdot K + K^{2}}{4}$

Этап 3.3.2.1.6.5.3

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = K$ .

$y = x^{4} + x^{3} + x^{2} K + \frac{{(x + K)}^{2}}{4}$

Этап 3.4

Упростим $x^{4} + x^{3} + x^{2} K + \frac{{(x + K)}^{2}}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Изменим порядок $x^{2}$ и $K$ .

$y = x^{4} + x^{3} + K x^{2} + \frac{{(x + K)}^{2}}{4}$

Этап 3.4.2

Изменим порядок $x$ и $K$ .

$y = x^{4} + x^{3} + K x^{2} + \frac{{(K + x)}^{2}}{4}$

Этап 3.4.3

Перенесем $x^{3}$ .

$y = x^{4} + K x^{2} + \frac{{(K + x)}^{2}}{4} + x^{3}$

Этап 3.4.4

Перенесем $K x^{2}$ .

$y = x^{4} + \frac{{(K + x)}^{2}}{4} + K x^{2} + x^{3}$

Этап 3.4.5

Изменим порядок $x^{4}$ и $\frac{{(K + x)}^{2}}{4}$ .

$y = \frac{{(K + x)}^{2}}{4} + x^{4} + K x^{2} + x^{3}$