Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \cos^{2} (\frac{y}{x})$

Этап 1

Пусть $V = \frac{y}{x}$ . Подставим $V$ вместо $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = V + \cos^{2} (V)$

Этап 2

Решим $V = \frac{y}{x}$ относительно $y$ .

$y = V x$

Этап 3

Применим правило умножения, чтобы найти производную $y = V x$ по $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Этап 4

Подставим $x \frac{d V}{d x} + V$ вместо $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \cos^{2} (V)$

Этап 5

Решим подставленное дифференциальное уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Решим относительно $\frac{d V}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.1

Перенесем все члены без $\frac{d V}{d x}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.1.1

Вычтем $V$ из обеих частей уравнения.

$x \frac{d V}{d x} = V + \cos^{2} (V) - V$

Этап 5.1.1.1.2

Объединим противоположные члены в $V + \cos^{2} (V) - V$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.1.2.1

Вычтем $V$ из $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = 0 + \cos^{2} (V)$

Этап 5.1.1.1.2.2

Добавим $0$ и $\cos^{2} (V)$ .

$x \frac{d V}{d x} = \cos^{2} (V)$

Этап 5.1.1.2

Разделим каждый член $x \frac{d V}{d x} = \cos^{2} (V)$ на $x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.2.1

Разделим каждый член $x \frac{d V}{d x} = \cos^{2} (V)$ на $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\cos^{2} (V)}{x}$

Этап 5.1.1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.2.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\cos^{2} (V)}{x}$

Этап 5.1.1.2.2.1.2

Разделим $\frac{d V}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\cos^{2} (V)}{x}$

Этап 5.1.2

Умножим обе части на $\frac{1}{\cos^{2} (V)}$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\cos^{2} (V)} \cdot \frac{\cos^{2} (V)}{x}$

Этап 5.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Объединим.

$\frac{1}{\cos^{2} (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1 \cos^{2} (V)}{\cos^{2} (V) x}$

Этап 5.1.3.2

Сократим общий множитель $\cos^{2} (V)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{\cos^{2} (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1 \cos^{2} (V)}{\cos^{2} (V) x}$

Этап 5.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{\cos^{2} (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Этап 5.1.4

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{\cos^{2} (V)} d V = \frac{1}{x} d x$

Этап 5.2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{\cos^{2} (V)} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 5.2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Переведем $\frac{1}{\cos^{2} (V)}$ в $\sec^{2} (V)$ .

$\int \sec^{2} (V) d V = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 5.2.2.2

Поскольку производная $\tan (V)$ равна $\sec^{2} (V)$ , интеграл $\sec^{2} (V)$ равен $\tan (V)$ .

$\tan (V) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 5.2.3

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$\tan (V) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Этап 5.2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\tan (V) = \ln (| x |) + C$

Этап 5.3

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $V$ из тангенса.

$V = \arctan (\ln (| x |) + C)$

Этап 6

Подставим $\frac{y}{x}$ вместо $V$ .

$\frac{y}{x} = \arctan (\ln (| x |) + C)$

Этап 7

Решим $\frac{y}{x} = \arctan (\ln (| x |) + C)$ относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим обе части на $x$ .

$\frac{y}{x} x = \arctan (\ln (| x |) + C) x$

Этап 7.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y}{x} x = \arctan (\ln (| x |) + C) x$

Этап 7.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$y = \arctan (\ln (| x |) + C) x$

Этап 7.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Изменим порядок множителей в $\arctan (\ln (| x |) + C) x$ .

$y = x \arctan (\ln (| x |) + C)$