Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y^{2} - x^{2}}{x y}$

Этап 1

Перепишем дифференциальное уравнение в виде функции от $\frac{y}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим $\frac{2 y^{2} - x^{2}}{x y}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Разобьем дробь $\frac{2 y^{2} - x^{2}}{x y}$ на две дроби.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y^{2}}{x y} + \frac{- x^{2}}{x y}$

Этап 1.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Сократим общий множитель $y^{2}$ и $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Вынесем множитель $y$ из $2 y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (2 y)}{x y} + \frac{- x^{2}}{x y}$

Этап 1.1.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.2.1

Вынесем множитель $y$ из $x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (2 y)}{y x} + \frac{- x^{2}}{x y}$

Этап 1.1.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (2 y)}{y x} + \frac{- x^{2}}{x y}$

Этап 1.1.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{x} + \frac{- x^{2}}{x y}$

Этап 1.1.2.2

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.1

Вынесем множитель $x$ из $- x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{x} + \frac{x (- x)}{x y}$

Этап 1.1.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{x} + \frac{x (- x)}{x (y)}$

Этап 1.1.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{x} + \frac{x (- x)}{x y}$

Этап 1.1.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{x} + \frac{- x}{y}$

Этап 1.1.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{x} - \frac{x}{y}$

Этап 1.2

Перепишем $\frac{x}{y}$ в виде ${(\frac{y}{x})}^{- 1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{x} - {(\frac{y}{x})}^{- 1}$

Этап 1.3

Вынесем множитель $\frac{y}{x}$ из $\frac{2 y}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Вынесем множитель $\frac{y}{x}$ из $\frac{2 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} \cdot 2 - {(\frac{y}{x})}^{- 1}$

Этап 1.3.2

Изменим порядок $\frac{y}{x}$ и $2$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 \cdot \frac{y}{x} - {(\frac{y}{x})}^{- 1}$

Этап 2

Пусть $V = \frac{y}{x}$ . Подставим $V$ вместо $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 \cdot V - V^{- 1}$

Этап 3

Решим $V = \frac{y}{x}$ относительно $y$ .

$y = V x$

Этап 4

Применим правило умножения, чтобы найти производную $y = V x$ по $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Этап 5

Подставим $x \frac{d V}{d x} + V$ вместо $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = 2 \cdot V - V^{- 1}$

Этап 6

Решим подставленное дифференциальное уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Решим относительно $\frac{d V}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = 2 V - \frac{1}{V}$

Этап 6.1.1.2

Перенесем все члены без $\frac{d V}{d x}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.2.1

Вычтем $V$ из обеих частей уравнения.

$x \frac{d V}{d x} = 2 V - \frac{1}{V} - V$

Этап 6.1.1.2.2

Вычтем $V$ из $2 V$ .

$x \frac{d V}{d x} = V - \frac{1}{V}$

Этап 6.1.1.3

Разделим каждый член $x \frac{d V}{d x} = V - \frac{1}{V}$ на $x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.1

Разделим каждый член $x \frac{d V}{d x} = V - \frac{1}{V}$ на $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{V}{x} + \frac{- \frac{1}{V}}{x}$

Этап 6.1.1.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{V}{x} + \frac{- \frac{1}{V}}{x}$

Этап 6.1.1.3.2.1.2

Разделим $\frac{d V}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V}{x} + \frac{- \frac{1}{V}}{x}$

Этап 6.1.1.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.3.1.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V}{x} - \frac{1}{V} \cdot \frac{1}{x}$

Этап 6.1.1.3.3.1.2

Умножим $\frac{1}{x}$ на $\frac{1}{V}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V}{x} - \frac{1}{x V}$

Этап 6.1.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Чтобы записать $\frac{V}{x}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{V}{V}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V}{x} \cdot \frac{V}{V} - \frac{1}{x V}$

Этап 6.1.2.2

Умножим $\frac{V}{x}$ на $\frac{V}{V}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \cdot V}{x V} - \frac{1}{x V}$

Этап 6.1.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \cdot V - 1}{x V}$

Этап 6.1.2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.4.1

Возведем $V$ в степень $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V^{1} V - 1}{x V}$

Этап 6.1.2.4.2

Возведем $V$ в степень $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V^{1} V^{1} - 1}{x V}$

Этап 6.1.2.4.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V^{1 + 1} - 1}{x V}$

Этап 6.1.2.4.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V^{2} - 1}{x V}$

Этап 6.1.2.4.5

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V^{2} - 1^{2}}{x V}$

Этап 6.1.2.4.6

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = V$ и $b = 1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{(V + 1) (V - 1)}{x V}$

Этап 6.1.3

Перегруппируем множители.

$\frac{d V}{d x} = \frac{(V + 1) (V - 1)}{V} \cdot \frac{1}{x}$

Этап 6.1.4

Умножим обе части на $\frac{V}{(V + 1) (V - 1)}$ .

$\frac{V}{(V + 1) (V - 1)} \frac{d V}{d x} = \frac{V}{(V + 1) (V - 1)} (\frac{(V + 1) (V - 1)}{V} \cdot \frac{1}{x})$

Этап 6.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.5.1

Умножим $\frac{(V + 1) (V - 1)}{V}$ на $\frac{1}{x}$ .

$\frac{V}{(V + 1) (V - 1)} \frac{d V}{d x} = \frac{V}{(V + 1) (V - 1)} \cdot \frac{(V + 1) (V - 1)}{V x}$

Этап 6.1.5.2

Сократим общий множитель $V$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.5.2.1

Вынесем множитель $V$ из $V x$ .

$\frac{V}{(V + 1) (V - 1)} \frac{d V}{d x} = \frac{V}{(V + 1) (V - 1)} \cdot \frac{(V + 1) (V - 1)}{V (x)}$

Этап 6.1.5.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{V}{(V + 1) (V - 1)} \frac{d V}{d x} = \frac{V}{(V + 1) (V - 1)} \cdot \frac{(V + 1) (V - 1)}{V x}$

Этап 6.1.5.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{V}{(V + 1) (V - 1)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{(V + 1) (V - 1)} \cdot \frac{(V + 1) (V - 1)}{x}$

Этап 6.1.5.3

Сократим общий множитель $(V + 1) (V - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.5.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{V}{(V + 1) (V - 1)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{(V + 1) (V - 1)} \cdot \frac{(V + 1) (V - 1)}{x}$

Этап 6.1.5.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{V}{(V + 1) (V - 1)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Этап 6.1.6

Перепишем уравнение.

$\frac{V}{(V + 1) (V - 1)} d V = \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{V}{(V + 1) (V - 1)} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Пусть $u = (V + 1) (V - 1)$ . Тогда $d u = 2 V d V$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = V d V$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1

Пусть $u = (V + 1) (V - 1)$ . Найдем $\frac{d u}{d V}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1.1

Дифференцируем $(V + 1) (V - 1)$ .

$\frac{d}{d V} [(V + 1) (V - 1)]$

Этап 6.2.2.1.1.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d V} [f (V) g (V)]$ имеет вид $f (V) \frac{d}{d V} [g (V)] + g (V) \frac{d}{d V} [f (V)]$ , где $f (V) = V + 1$ и $g (V) = V - 1$ .

$(V + 1) \frac{d}{d V} [V - 1] + (V - 1) \frac{d}{d V} [V + 1]$

Этап 6.2.2.1.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1.3.1

По правилу суммы производная $V - 1$ по $V$ имеет вид $\frac{d}{d V} [V] + \frac{d}{d V} [- 1]$ .

$(V + 1) (\frac{d}{d V} [V] + \frac{d}{d V} [- 1]) + (V - 1) \frac{d}{d V} [V + 1]$

Этап 6.2.2.1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ имеет вид $n V^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(V + 1) (1 + \frac{d}{d V} [- 1]) + (V - 1) \frac{d}{d V} [V + 1]$

Этап 6.2.2.1.1.3.3

Поскольку $- 1$ является константой относительно $V$ , производная $- 1$ относительно $V$ равна $0$ .

$(V + 1) (1 + 0) + (V - 1) \frac{d}{d V} [V + 1]$

Этап 6.2.2.1.1.3.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1.3.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$(V + 1) \cdot 1 + (V - 1) \frac{d}{d V} [V + 1]$

Этап 6.2.2.1.1.3.4.2

Умножим $V + 1$ на $1$ .

$V + 1 + (V - 1) \frac{d}{d V} [V + 1]$

Этап 6.2.2.1.1.3.5

По правилу суммы производная $V + 1$ по $V$ имеет вид $\frac{d}{d V} [V] + \frac{d}{d V} [1]$ .

$V + 1 + (V - 1) (\frac{d}{d V} [V] + \frac{d}{d V} [1])$

Этап 6.2.2.1.1.3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ имеет вид $n V^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$V + 1 + (V - 1) (1 + \frac{d}{d V} [1])$

Этап 6.2.2.1.1.3.7

Поскольку $1$ является константой относительно $V$ , производная $1$ относительно $V$ равна $0$ .

$V + 1 + (V - 1) (1 + 0)$

Этап 6.2.2.1.1.3.8

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1.3.8.1

Добавим $1$ и $0$ .

$V + 1 + (V - 1) \cdot 1$

Этап 6.2.2.1.1.3.8.2

Умножим $V - 1$ на $1$ .

$V + 1 + V - 1$

Этап 6.2.2.1.1.3.8.3

Добавим $V$ и $V$ .

$2 V + 1 - 1$

Этап 6.2.2.1.1.3.8.4

Упростим путем вычитания чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1.3.8.4.1

Вычтем $1$ из $1$ .

$2 V + 0$

Этап 6.2.2.1.1.3.8.4.2

Добавим $2 V$ и $0$ .

$2 V$

Этап 6.2.2.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1

Умножим $\frac{1}{u}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.2.2

Перенесем $2$ влево от $u$ .

$\int \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.3

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.4

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.5

Упростим.

$\frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.6

Заменим все вхождения $u$ на $(V + 1) (V - 1)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| (V + 1) (V - 1) |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.3

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| (V + 1) (V - 1) |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Этап 6.2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\frac{1}{2} \ln (| (V + 1) (V - 1) |) = \ln (| x |) + C$

Этап 6.3

Решим относительно $V$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| (V + 1) (V - 1) |)) = 2 (\ln (| x |) + C)$

Этап 6.3.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1

Упростим $2 (\frac{1}{2} \ln (| (V + 1) (V - 1) |))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1.1

Развернем $(V + 1) (V - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (\frac{1}{2} \ln (| V (V - 1) + 1 (V - 1) |)) = 2 (\ln (| x |) + C)$

Этап 6.3.2.1.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (\frac{1}{2} \ln (| V \cdot V + V \cdot - 1 + 1 (V - 1) |)) = 2 (\ln (| x |) + C)$

Этап 6.3.2.1.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (\frac{1}{2} \ln (| V \cdot V + V \cdot - 1 + 1 V + 1 \cdot - 1 |)) = 2 (\ln (| x |) + C)$

Этап 6.3.2.1.1.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1.2.1.1

Умножим $V$ на $V$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| V^{2} + V \cdot - 1 + 1 V + 1 \cdot - 1 |)) = 2 (\ln (| x |) + C)$

Этап 6.3.2.1.1.2.1.2

Перенесем $- 1$ влево от $V$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| V^{2} - 1 \cdot V + 1 V + 1 \cdot - 1 |)) = 2 (\ln (| x |) + C)$

Этап 6.3.2.1.1.2.1.3

Перепишем $- 1 V$ в виде $- V$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| V^{2} - V + 1 V + 1 \cdot - 1 |)) = 2 (\ln (| x |) + C)$

Этап 6.3.2.1.1.2.1.4

Умножим $V$ на $1$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| V^{2} - V + V + 1 \cdot - 1 |)) = 2 (\ln (| x |) + C)$

Этап 6.3.2.1.1.2.1.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| V^{2} - V + V - 1 |)) = 2 (\ln (| x |) + C)$

Этап 6.3.2.1.1.2.2

Добавим $- V$ и $V$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| V^{2} + 0 - 1 |)) = 2 (\ln (| x |) + C)$

Этап 6.3.2.1.1.2.3

Добавим $V^{2}$ и $0$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| V^{2} - 1 |)) = 2 (\ln (| x |) + C)$

Этап 6.3.2.1.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\ln (| V^{2} - 1 |)$ .

$2 \frac{\ln (| V^{2} - 1 |)}{2} = 2 (\ln (| x |) + C)$

Этап 6.3.2.1.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1.4.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{\ln (| V^{2} - 1 |)}{2} = 2 (\ln (| x |) + C)$

Этап 6.3.2.1.1.4.2

Перепишем это выражение.

$\ln (| V^{2} - 1 |) = 2 (\ln (| x |) + C)$

Этап 6.3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (| V^{2} - 1 |) = 2 \ln (| x |) + 2 C$

Этап 6.3.3

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\ln (| V^{2} - 1 |) - 2 \ln (| x |) = 2 C$

Этап 6.3.4

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.4.1

Упростим $\ln (| V^{2} - 1 |) - 2 \ln (| x |)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.4.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.4.1.1.1

Упростим $- 2 \ln (| x |)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\ln (| V^{2} - 1 |) - \ln ({| x |}^{2}) = 2 C$

Этап 6.3.4.1.1.2

Уберем знак модуля в ${| x |}^{2}$ , поскольку любое число в четной степени всегда положительное.

$\ln (| V^{2} - 1 |) - \ln (x^{2}) = 2 C$

Этап 6.3.4.1.2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| V^{2} - 1 |}{x^{2}}) = 2 C$

Этап 6.3.4.1.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.4.1.3.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\ln (\frac{| V^{2} - 1^{2} |}{x^{2}}) = 2 C$

Этап 6.3.4.1.3.2

$\ln (\frac{| (V + 1) (V - 1) |}{x^{2}}) = 2 C$

Этап 6.3.4.1.3.3

Развернем $(V + 1) (V - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.4.1.3.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (\frac{| V (V - 1) + 1 (V - 1) |}{x^{2}}) = 2 C$

Этап 6.3.4.1.3.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (\frac{| V \cdot V + V \cdot - 1 + 1 (V - 1) |}{x^{2}}) = 2 C$

Этап 6.3.4.1.3.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (\frac{| V \cdot V + V \cdot - 1 + 1 V + 1 \cdot - 1 |}{x^{2}}) = 2 C$

Этап 6.3.4.1.3.4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.4.1.3.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.4.1.3.4.1.1

Умножим $V$ на $V$ .

$\ln (\frac{| V^{2} + V \cdot - 1 + 1 V + 1 \cdot - 1 |}{x^{2}}) = 2 C$

Этап 6.3.4.1.3.4.1.2

Перенесем $- 1$ влево от $V$ .

$\ln (\frac{| V^{2} - 1 \cdot V + 1 V + 1 \cdot - 1 |}{x^{2}}) = 2 C$

Этап 6.3.4.1.3.4.1.3

Перепишем $- 1 V$ в виде $- V$ .

$\ln (\frac{| V^{2} - V + 1 V + 1 \cdot - 1 |}{x^{2}}) = 2 C$

Этап 6.3.4.1.3.4.1.4

Умножим $V$ на $1$ .

$\ln (\frac{| V^{2} - V + V + 1 \cdot - 1 |}{x^{2}}) = 2 C$

Этап 6.3.4.1.3.4.1.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\ln (\frac{| V^{2} - V + V - 1 |}{x^{2}}) = 2 C$

Этап 6.3.4.1.3.4.2

Добавим $- V$ и $V$ .

$\ln (\frac{| V^{2} + 0 - 1 |}{x^{2}}) = 2 C$

Этап 6.3.4.1.3.4.3

Добавим $V^{2}$ и $0$ .

$\ln (\frac{| V^{2} - 1 |}{x^{2}}) = 2 C$

Этап 6.3.4.1.3.5

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\ln (\frac{| V^{2} - 1^{2} |}{x^{2}}) = 2 C$

Этап 6.3.4.1.3.6

$\ln (\frac{| (V + 1) (V - 1) |}{x^{2}}) = 2 C$

Этап 6.3.5

Чтобы решить относительно $V$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (\frac{| (V + 1) (V - 1) |}{x^{2}})} = e^{2 C}$

Этап 6.3.6

Перепишем $\ln (\frac{| (V + 1) (V - 1) |}{x^{2}}) = 2 C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{2 C} = \frac{| (V + 1) (V - 1) |}{x^{2}}$

Этап 6.3.7

Решим относительно $V$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.7.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{| (V + 1) (V - 1) |}{x^{2}} = e^{2 C}$ .

$\frac{| (V + 1) (V - 1) |}{x^{2}} = e^{2 C}$

Этап 6.3.7.2

Умножим обе части на $x^{2}$ .

$\frac{| (V + 1) (V - 1) |}{x^{2}} x^{2} = e^{2 C} x^{2}$

Этап 6.3.7.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.7.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.7.3.1.1

Упростим $\frac{| (V + 1) (V - 1) |}{x^{2}} x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.7.3.1.1.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.7.3.1.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{| (V + 1) (V - 1) |}{x^{2}} x^{2} = e^{2 C} x^{2}$

Этап 6.3.7.3.1.1.1.2

Перепишем это выражение.

$| (V + 1) (V - 1) | = e^{2 C} x^{2}$

Этап 6.3.7.3.1.1.2

Развернем $(V + 1) (V - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.7.3.1.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$| V (V - 1) + 1 (V - 1) | = e^{2 C} x^{2}$

Этап 6.3.7.3.1.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$| V \cdot V + V \cdot - 1 + 1 (V - 1) | = e^{2 C} x^{2}$

Этап 6.3.7.3.1.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$| V \cdot V + V \cdot - 1 + 1 V + 1 \cdot - 1 | = e^{2 C} x^{2}$

Этап 6.3.7.3.1.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.7.3.1.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.7.3.1.1.3.1.1

Умножим $V$ на $V$ .

$| V^{2} + V \cdot - 1 + 1 V + 1 \cdot - 1 | = e^{2 C} x^{2}$

Этап 6.3.7.3.1.1.3.1.2

Перенесем $- 1$ влево от $V$ .

$| V^{2} - 1 \cdot V + 1 V + 1 \cdot - 1 | = e^{2 C} x^{2}$

Этап 6.3.7.3.1.1.3.1.3

Перепишем $- 1 V$ в виде $- V$ .

$| V^{2} - V + 1 V + 1 \cdot - 1 | = e^{2 C} x^{2}$

Этап 6.3.7.3.1.1.3.1.4

Умножим $V$ на $1$ .

$| V^{2} - V + V + 1 \cdot - 1 | = e^{2 C} x^{2}$

Этап 6.3.7.3.1.1.3.1.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$| V^{2} - V + V - 1 | = e^{2 C} x^{2}$

Этап 6.3.7.3.1.1.3.2

Добавим $- V$ и $V$ .

$| V^{2} + 0 - 1 | = e^{2 C} x^{2}$

Этап 6.3.7.3.1.1.3.3

Добавим $V^{2}$ и $0$ .

$| V^{2} - 1 | = e^{2 C} x^{2}$

Этап 6.3.7.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.7.3.2.1

Изменим порядок множителей в $e^{2 C} x^{2}$ .

$| V^{2} - 1 | = x^{2} e^{2 C}$

Этап 6.3.7.4

Решим относительно $V$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.7.4.1

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$V^{2} - 1 = \pm x^{2} e^{2 C}$

Этап 6.3.7.4.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$V^{2} = \pm x^{2} e^{2 C} + 1$

Этап 6.3.7.4.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$V = \pm \sqrt{\pm x^{2} e^{2 C} + 1}$

Этап 6.4

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Упростим постоянную интегрирования.

$V = \pm \sqrt{\pm x^{2} C + 1}$

Этап 6.4.2

Объединим константы с плюсом или минусом.

$V = \pm \sqrt{C x^{2} + 1}$

Этап 7

Подставим $\frac{y}{x}$ вместо $V$ .

$\frac{y}{x} = \pm \sqrt{C x^{2} + 1}$

Этап 8

Решим $\frac{y}{x} = \pm \sqrt{C x^{2} + 1}$ относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Умножим обе части на $x$ .

$\frac{y}{x} x = (\pm \sqrt{C x^{2} + 1}) x$

Этап 8.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y}{x} x = (\pm \sqrt{C x^{2} + 1}) x$

Этап 8.2.1.2

Перепишем это выражение.

$y = (\pm \sqrt{C x^{2} + 1}) x$