Математический анализ Примеры

$\frac{d w}{d t} = 10 e^{\frac{- t}{25}} - \frac{w}{25}$

Этап 1

Перепишем дифференциальное уравнение в виде $\frac{d w}{d t} + M (t) w = Q (t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Добавим $\frac{w}{25}$ к обеим частям уравнения.

$\frac{d w}{d t} + \frac{w}{25} = 10 e^{\frac{- t}{25}}$

Этап 1.2

Перепишем уравнение с изолированными коэффициентами.

$\frac{d w}{d t} + \frac{1}{25} w = 10 e^{\frac{- 1}{25} t}$

Этап 2

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (t) d t}$ , где $P (t) = \frac{1}{25}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int \frac{1}{25} d t}$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$e^{\frac{1}{25} t + C}$

Этап 2.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{\frac{1}{25} t}$

Этап 2.4

Объединим $\frac{1}{25}$ и $t$ .

$e^{\frac{t}{25}}$

Этап 3

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $e^{\frac{t}{25}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член на $e^{\frac{t}{25}}$ .

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d w}{d t} + e^{\frac{t}{25}} (\frac{1}{25} w) = e^{\frac{t}{25}} (10 e^{\frac{- 1}{25} t})$

Этап 3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d w}{d t} + \frac{1}{25} e^{\frac{t}{25}} w = e^{\frac{t}{25}} (10 e^{\frac{- 1}{25} t})$

Этап 3.2.2

Объединим $\frac{1}{25}$ и $e^{\frac{t}{25}}$ .

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d w}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}}}{25} w = e^{\frac{t}{25}} (10 e^{\frac{- 1}{25} t})$

Этап 3.2.3

Объединим $\frac{e^{\frac{t}{25}}}{25}$ и $w$ .

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d w}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} w}{25} = e^{\frac{t}{25}} (10 e^{\frac{- 1}{25} t})$

Этап 3.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d w}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} w}{25} = 10 e^{\frac{t}{25}} e^{\frac{- 1}{25} t}$

Этап 3.4

Умножим $e^{\frac{t}{25}}$ на $e^{\frac{- 1}{25} t}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перенесем $e^{\frac{- 1}{25} t}$ .

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d w}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} w}{25} = 10 (e^{\frac{- 1}{25} t} e^{\frac{t}{25}})$

Этап 3.4.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d w}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} w}{25} = 10 e^{\frac{- 1}{25} t + \frac{t}{25}}$

Этап 3.4.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d w}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} w}{25} = 10 e^{- \frac{1}{25} t + \frac{t}{25}}$

Этап 3.4.3.2

Объединим $t$ и $\frac{1}{25}$ .

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d w}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} w}{25} = 10 e^{- \frac{t}{25} + \frac{t}{25}}$

Этап 3.4.4

Добавим $- \frac{t}{25}$ и $\frac{t}{25}$ .

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d w}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} w}{25} = 10 e^{0}$

Этап 3.5

Упростим $10 e^{0}$ .

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d w}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} w}{25} = 10$

Этап 3.6

Изменим порядок множителей в $e^{\frac{t}{25}} \frac{d w}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} w}{25} = 10$ .

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d w}{d t} + \frac{w e^{\frac{t}{25}}}{25} = 10$

Этап 4

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d t} [e^{\frac{t}{25}} w] = 10$

Этап 5

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d t} [e^{\frac{t}{25}} w] d t = \int 10 d t$

Этап 6

Проинтегрируем левую часть.

$e^{\frac{t}{25}} w = \int 10 d t$

Этап 7

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$e^{\frac{t}{25}} w = 10 t + C$

Этап 8

Разделим каждый член $e^{\frac{t}{25}} w = 10 t + C$ на $e^{\frac{t}{25}}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Разделим каждый член $e^{\frac{t}{25}} w = 10 t + C$ на $e^{\frac{t}{25}}$ .

$\frac{e^{\frac{t}{25}} w}{e^{\frac{t}{25}}} = \frac{10 t}{e^{\frac{t}{25}}} + \frac{C}{e^{\frac{t}{25}}}$

Этап 8.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Сократим общий множитель $e^{\frac{t}{25}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{\frac{t}{25}} w}{e^{\frac{t}{25}}} = \frac{10 t}{e^{\frac{t}{25}}} + \frac{C}{e^{\frac{t}{25}}}$

Этап 8.2.1.2

Разделим $w$ на $1$ .

$w = \frac{10 t}{e^{\frac{t}{25}}} + \frac{C}{e^{\frac{t}{25}}}$