Математический анализ Примеры

$\frac{d s}{d t} = 12 t {(3 t^{2} - 1)}^{3}$ , $s (1) = 14$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d s = 12 t {(3 t^{2} - 1)}^{3} d t$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d s = \int 12 t {(3 t^{2} - 1)}^{3} d t$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$s + C_{1} = \int 12 t {(3 t^{2} - 1)}^{3} d t$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $12$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $12$ из-под знака интеграла.

$s + C_{1} = 12 \int t {(3 t^{2} - 1)}^{3} d t$

Этап 2.3.2

Пусть $u = 3 t^{2} - 1$ . Тогда $d u = 6 t d t$ , следовательно $\frac{1}{6} d u = t d t$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Пусть $u = 3 t^{2} - 1$ . Найдем $\frac{d u}{d t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Дифференцируем $3 t^{2} - 1$ .

$\frac{d}{d t} [3 t^{2} - 1]$

Этап 2.3.2.1.2

По правилу суммы производная $3 t^{2} - 1$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 1]$

Этап 2.3.2.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d t} [3 t^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.3.1

Поскольку $3$ является константой относительно $t$ , производная $3 t^{2}$ по $t$ равна $3 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 1]$

Этап 2.3.2.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$3 (2 t) + \frac{d}{d t} [- 1]$

Этап 2.3.2.1.3.3

Умножим $2$ на $3$ .

$6 t + \frac{d}{d t} [- 1]$

Этап 2.3.2.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $t$ , производная $- 1$ относительно $t$ равна $0$ .

$6 t + 0$

Этап 2.3.2.1.4.2

Добавим $6 t$ и $0$ .

$6 t$

Этап 2.3.2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$s + C_{1} = 12 \int u^{3} \frac{1}{6} d u$

Этап 2.3.3

Объединим $u^{3}$ и $\frac{1}{6}$ .

$s + C_{1} = 12 \int \frac{u^{3}}{6} d u$

Этап 2.3.4

Поскольку $\frac{1}{6}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{6}$ из-под знака интеграла.

$s + C_{1} = 12 (\frac{1}{6} \int u^{3} d u)$

Этап 2.3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Объединим $\frac{1}{6}$ и $12$ .

$s + C_{1} = \frac{12}{6} \int u^{3} d u$

Этап 2.3.5.2

Сократим общий множитель $12$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.2.1

Вынесем множитель $6$ из $12$ .

$s + C_{1} = \frac{6 \cdot 2}{6} \int u^{3} d u$

Этап 2.3.5.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.2.2.1

Вынесем множитель $6$ из $6$ .

$s + C_{1} = \frac{6 \cdot 2}{6 (1)} \int u^{3} d u$

Этап 2.3.5.2.2.2

Сократим общий множитель.

$s + C_{1} = \frac{6 \cdot 2}{6 \cdot 1} \int u^{3} d u$

Этап 2.3.5.2.2.3

Перепишем это выражение.

$s + C_{1} = \frac{2}{1} \int u^{3} d u$

Этап 2.3.5.2.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$s + C_{1} = 2 \int u^{3} d u$

Этап 2.3.6

По правилу степени интеграл $u^{3}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$s + C_{1} = 2 (\frac{1}{4} u^{4} + C_{2})$

Этап 2.3.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.1

Перепишем $2 (\frac{1}{4} u^{4} + C_{2})$ в виде $2 (\frac{1}{4}) u^{4} + C_{2}$ .

$s + C_{1} = 2 (\frac{1}{4}) u^{4} + C_{2}$

Этап 2.3.7.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.2.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{4}$ .

$s + C_{1} = \frac{2}{4} u^{4} + C_{2}$

Этап 2.3.7.2.2

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$s + C_{1} = \frac{2 (1)}{4} u^{4} + C_{2}$

Этап 2.3.7.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.2.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$s + C_{1} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} u^{4} + C_{2}$

Этап 2.3.7.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$s + C_{1} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} u^{4} + C_{2}$

Этап 2.3.7.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$s + C_{1} = \frac{1}{2} u^{4} + C_{2}$

Этап 2.3.8

Заменим все вхождения $u$ на $3 t^{2} - 1$ .

$s + C_{1} = \frac{1}{2} {(3 t^{2} - 1)}^{4} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$s = \frac{1}{2} {(3 t^{2} - 1)}^{4} + K$

Этап 3

Используем начальное условие, чтобы найти значение $K$ , подставив $1$ вместо $t$ и $14$ вместо $s$ в $s = \frac{1}{2} {(3 t^{2} - 1)}^{4} + K$ .

$14 = \frac{1}{2} {(3 \cdot 1^{2} - 1)}^{4} + K$

Этап 4

Решим относительно $K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{1}{2} \cdot {(3 \cdot 1^{2} - 1)}^{4} + K = 14$ .

$\frac{1}{2} \cdot {(3 \cdot 1^{2} - 1)}^{4} + K = 14$

Этап 4.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{2} \cdot {(3 \cdot 1 - 1)}^{4} + K = 14$

Этап 4.2.1.2

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot {(3 - 1)}^{4} + K = 14$

Этап 4.2.2

Вычтем $1$ из $3$ .

$\frac{1}{2} \cdot 2^{4} + K = 14$

Этап 4.2.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Вынесем множитель $2$ из $2^{4}$ .

$\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2^{3}) + K = 14$

Этап 4.2.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2^{3}) + K = 14$

Этап 4.2.3.3

Перепишем это выражение.

$2^{3} + K = 14$

Этап 4.2.4

Возведем $2$ в степень $3$ .

$8 + K = 14$

Этап 4.3

Перенесем все члены без $K$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Вычтем $8$ из обеих частей уравнения.

$K = 14 - 8$

Этап 4.3.2

Вычтем $8$ из $14$ .

$K = 6$

Этап 5

Подставим $6$ вместо $K$ в $s = \frac{1}{2} {(3 t^{2} - 1)}^{4} + K$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подставим $6$ вместо $K$ .

$s = \frac{1}{2} {(3 t^{2} - 1)}^{4} + 6$

Этап 5.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Воспользуемся бином Ньютона.

$s = \frac{1}{2} ({(3 t^{2})}^{4} + 4 {(3 t^{2})}^{3} \cdot - 1 + 6 {(3 t^{2})}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (3 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) + 6$

Этап 5.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Применим правило умножения к $3 t^{2}$ .

$s = \frac{1}{2} (3^{4} {(t^{2})}^{4} + 4 {(3 t^{2})}^{3} \cdot - 1 + 6 {(3 t^{2})}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (3 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) + 6$

Этап 5.2.2.2

Возведем $3$ в степень $4$ .

$s = \frac{1}{2} (81 {(t^{2})}^{4} + 4 {(3 t^{2})}^{3} \cdot - 1 + 6 {(3 t^{2})}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (3 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) + 6$

Этап 5.2.2.3

Перемножим экспоненты в ${(t^{2})}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$s = \frac{1}{2} (81 t^{2 \cdot 4} + 4 {(3 t^{2})}^{3} \cdot - 1 + 6 {(3 t^{2})}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (3 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) + 6$

Этап 5.2.2.3.2

Умножим $2$ на $4$ .

$s = \frac{1}{2} (81 t^{8} + 4 {(3 t^{2})}^{3} \cdot - 1 + 6 {(3 t^{2})}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (3 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) + 6$

Этап 5.2.2.4

Применим правило умножения к $3 t^{2}$ .

$s = \frac{1}{2} (81 t^{8} + 4 (3^{3} {(t^{2})}^{3}) \cdot - 1 + 6 {(3 t^{2})}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (3 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) + 6$

Этап 5.2.2.5

Возведем $3$ в степень $3$ .

$s = \frac{1}{2} (81 t^{8} + 4 (27 {(t^{2})}^{3}) \cdot - 1 + 6 {(3 t^{2})}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (3 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) + 6$

Этап 5.2.2.6

Перемножим экспоненты в ${(t^{2})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.6.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$s = \frac{1}{2} (81 t^{8} + 4 (27 t^{2 \cdot 3}) \cdot - 1 + 6 {(3 t^{2})}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (3 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) + 6$

Этап 5.2.2.6.2

Умножим $2$ на $3$ .

$s = \frac{1}{2} (81 t^{8} + 4 (27 t^{6}) \cdot - 1 + 6 {(3 t^{2})}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (3 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) + 6$

Этап 5.2.2.7

Умножим $27$ на $4$ .

$s = \frac{1}{2} (81 t^{8} + 108 t^{6} \cdot - 1 + 6 {(3 t^{2})}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (3 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) + 6$

Этап 5.2.2.8

Умножим $- 1$ на $108$ .

$s = \frac{1}{2} (81 t^{8} - 108 t^{6} + 6 {(3 t^{2})}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (3 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) + 6$

Этап 5.2.2.9

Применим правило умножения к $3 t^{2}$ .

$s = \frac{1}{2} (81 t^{8} - 108 t^{6} + 6 (3^{2} {(t^{2})}^{2}) {(- 1)}^{2} + 4 (3 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) + 6$

Этап 5.2.2.10

Возведем $3$ в степень $2$ .

$s = \frac{1}{2} (81 t^{8} - 108 t^{6} + 6 (9 {(t^{2})}^{2}) {(- 1)}^{2} + 4 (3 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) + 6$

Этап 5.2.2.11

Перемножим экспоненты в ${(t^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.11.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$s = \frac{1}{2} (81 t^{8} - 108 t^{6} + 6 (9 t^{2 \cdot 2}) {(- 1)}^{2} + 4 (3 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) + 6$

Этап 5.2.2.11.2

Умножим $2$ на $2$ .

$s = \frac{1}{2} (81 t^{8} - 108 t^{6} + 6 (9 t^{4}) {(- 1)}^{2} + 4 (3 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) + 6$

Этап 5.2.2.12

Умножим $9$ на $6$ .

$s = \frac{1}{2} (81 t^{8} - 108 t^{6} + 54 t^{4} {(- 1)}^{2} + 4 (3 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) + 6$

Этап 5.2.2.13

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$s = \frac{1}{2} (81 t^{8} - 108 t^{6} + 54 t^{4} \cdot 1 + 4 (3 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) + 6$

Этап 5.2.2.14

Умножим $54$ на $1$ .

$s = \frac{1}{2} (81 t^{8} - 108 t^{6} + 54 t^{4} + 4 (3 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) + 6$

Этап 5.2.2.15

Умножим $3$ на $4$ .

$s = \frac{1}{2} (81 t^{8} - 108 t^{6} + 54 t^{4} + 12 t^{2} {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) + 6$

Этап 5.2.2.16

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$s = \frac{1}{2} (81 t^{8} - 108 t^{6} + 54 t^{4} + 12 t^{2} \cdot - 1 + {(- 1)}^{4}) + 6$

Этап 5.2.2.17

Умножим $- 1$ на $12$ .

$s = \frac{1}{2} (81 t^{8} - 108 t^{6} + 54 t^{4} - 12 t^{2} + {(- 1)}^{4}) + 6$

Этап 5.2.2.18

Возведем $- 1$ в степень $4$ .

$s = \frac{1}{2} (81 t^{8} - 108 t^{6} + 54 t^{4} - 12 t^{2} + 1) + 6$

Этап 5.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$s = \frac{1}{2} (81 t^{8}) + \frac{1}{2} (- 108 t^{6}) + \frac{1}{2} (54 t^{4}) + \frac{1}{2} (- 12 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 1 + 6$

Этап 5.2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Умножим $\frac{1}{2} (81 t^{8})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1.1

Объединим $81$ и $\frac{1}{2}$ .

$s = \frac{81}{2} t^{8} + \frac{1}{2} (- 108 t^{6}) + \frac{1}{2} (54 t^{4}) + \frac{1}{2} (- 12 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 1 + 6$

Этап 5.2.4.1.2

Объединим $\frac{81}{2}$ и $t^{8}$ .

$s = \frac{81 t^{8}}{2} + \frac{1}{2} (- 108 t^{6}) + \frac{1}{2} (54 t^{4}) + \frac{1}{2} (- 12 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 1 + 6$

Этап 5.2.4.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 108 t^{6}$ .

$s = \frac{81 t^{8}}{2} + \frac{1}{2} (2 (- 54 t^{6})) + \frac{1}{2} (54 t^{4}) + \frac{1}{2} (- 12 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 1 + 6$

Этап 5.2.4.2.2

Сократим общий множитель.

$s = \frac{81 t^{8}}{2} + \frac{1}{2} (2 (- 54 t^{6})) + \frac{1}{2} (54 t^{4}) + \frac{1}{2} (- 12 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 1 + 6$

Этап 5.2.4.2.3

Перепишем это выражение.

$s = \frac{81 t^{8}}{2} - 54 t^{6} + \frac{1}{2} (54 t^{4}) + \frac{1}{2} (- 12 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 1 + 6$

Этап 5.2.4.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.3.1

Вынесем множитель $2$ из $54 t^{4}$ .

$s = \frac{81 t^{8}}{2} - 54 t^{6} + \frac{1}{2} (2 (27 t^{4})) + \frac{1}{2} (- 12 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 1 + 6$

Этап 5.2.4.3.2

Сократим общий множитель.

$s = \frac{81 t^{8}}{2} - 54 t^{6} + \frac{1}{2} (2 (27 t^{4})) + \frac{1}{2} (- 12 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 1 + 6$

Этап 5.2.4.3.3

Перепишем это выражение.

$s = \frac{81 t^{8}}{2} - 54 t^{6} + 27 t^{4} + \frac{1}{2} (- 12 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 1 + 6$

Этап 5.2.4.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.4.1

Вынесем множитель $2$ из $- 12 t^{2}$ .

$s = \frac{81 t^{8}}{2} - 54 t^{6} + 27 t^{4} + \frac{1}{2} (2 (- 6 t^{2})) + \frac{1}{2} \cdot 1 + 6$

Этап 5.2.4.4.2

Сократим общий множитель.

$s = \frac{81 t^{8}}{2} - 54 t^{6} + 27 t^{4} + \frac{1}{2} (2 (- 6 t^{2})) + \frac{1}{2} \cdot 1 + 6$

Этап 5.2.4.4.3

Перепишем это выражение.

$s = \frac{81 t^{8}}{2} - 54 t^{6} + 27 t^{4} - 6 t^{2} + \frac{1}{2} \cdot 1 + 6$

Этап 5.2.4.5

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$s = \frac{81 t^{8}}{2} - 54 t^{6} + 27 t^{4} - 6 t^{2} + \frac{1}{2} + 6$

Этап 5.3

Чтобы записать $6$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$s = \frac{81 t^{8}}{2} - 54 t^{6} + 27 t^{4} - 6 t^{2} + \frac{1}{2} + 6 \cdot \frac{2}{2}$

Этап 5.4

Объединим $6$ и $\frac{2}{2}$ .

$s = \frac{81 t^{8}}{2} - 54 t^{6} + 27 t^{4} - 6 t^{2} + \frac{1}{2} + \frac{6 \cdot 2}{2}$

Этап 5.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$s = \frac{81 t^{8}}{2} - 54 t^{6} + 27 t^{4} - 6 t^{2} + \frac{1 + 6 \cdot 2}{2}$

Этап 5.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Умножим $6$ на $2$ .

$s = \frac{81 t^{8}}{2} - 54 t^{6} + 27 t^{4} - 6 t^{2} + \frac{1 + 12}{2}$

Этап 5.6.2

Добавим $1$ и $12$ .

$s = \frac{81 t^{8}}{2} - 54 t^{6} + 27 t^{4} - 6 t^{2} + \frac{13}{2}$