Математический анализ Примеры

$(6 y - \sec^{2} (y)) d y - (1 + \sin (x)) d x = 0$

Этап 1

Добавим $(1 + \sin (x)) d x$ к обеим частям уравнения.

$(6 y - \sec^{2} (y)) d y = (1 + \sin (x)) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int 6 y - \sec^{2} (y) d y = \int 1 + \sin (x) d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 6 y d y + \int - \sec^{2} (y) d y = \int 1 + \sin (x) d x$

Этап 2.2.2

Поскольку $6$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $6$ из-под знака интеграла.

$6 \int y d y + \int - \sec^{2} (y) d y = \int 1 + \sin (x) d x$

Этап 2.2.3

По правилу степени интеграл $y$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$6 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) + \int - \sec^{2} (y) d y = \int 1 + \sin (x) d x$

Этап 2.2.4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$6 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) - \int \sec^{2} (y) d y = \int 1 + \sin (x) d x$

Этап 2.2.5

Поскольку производная $\tan (y)$ равна $\sec^{2} (y)$ , интеграл $\sec^{2} (y)$ равен $\tan (y)$ .

$6 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) - (\tan (y) + C_{2}) = \int 1 + \sin (x) d x$

Этап 2.2.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.1

Упростим.

$6 (\frac{1}{2}) y^{2} - \tan (y) + C_{3} = \int 1 + \sin (x) d x$

Этап 2.2.6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.2.1

Объединим $6$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{6}{2} y^{2} - \tan (y) + C_{3} = \int 1 + \sin (x) d x$

Этап 2.2.6.2.2

Сократим общий множитель $6$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2} y^{2} - \tan (y) + C_{3} = \int 1 + \sin (x) d x$

Этап 2.2.6.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.2.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2 (1)} y^{2} - \tan (y) + C_{3} = \int 1 + \sin (x) d x$

Этап 2.2.6.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} y^{2} - \tan (y) + C_{3} = \int 1 + \sin (x) d x$

Этап 2.2.6.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3}{1} y^{2} - \tan (y) + C_{3} = \int 1 + \sin (x) d x$

Этап 2.2.6.2.2.2.4

Разделим $3$ на $1$ .

$3 y^{2} - \tan (y) + C_{3} = \int 1 + \sin (x) d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$3 y^{2} - \tan (y) + C_{3} = \int d x + \int \sin (x) d x$

Этап 2.3.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$3 y^{2} - \tan (y) + C_{3} = x + C_{4} + \int \sin (x) d x$

Этап 2.3.3

Интеграл $\sin (x)$ по $x$ имеет вид $- \cos (x)$ .

$3 y^{2} - \tan (y) + C_{3} = x + C_{4} - \cos (x) + C_{5}$

Этап 2.3.4

Упростим.

$3 y^{2} - \tan (y) + C_{3} = x - \cos (x) + C_{6}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$3 y^{2} - \tan (y) = x - \cos (x) + K$