Математический анализ Примеры

$x \ln (x) \frac{d y}{d x} + y = x e^{x}$

Этап 1

Перепишем дифференциальное уравнение в виде $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим каждый член $x \ln (x) \frac{d y}{d x} + y = x e^{x}$ на $x \ln (x)$ .

$\frac{x \ln (x) \frac{d y}{d x}}{x \ln (x)} + \frac{y}{x \ln (x)} = \frac{x e^{x}}{x \ln (x)}$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x \ln (x) \frac{d y}{d x}}{x \ln (x)} + \frac{y}{x \ln (x)} = \frac{x e^{x}}{x \ln (x)}$

Этап 1.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\ln (x) \frac{d y}{d x}}{\ln (x)} + \frac{y}{x \ln (x)} = \frac{x e^{x}}{x \ln (x)}$

Этап 1.3

Сократим общий множитель $\ln (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\ln (x) \frac{d y}{d x}}{\ln (x)} + \frac{y}{x \ln (x)} = \frac{x e^{x}}{x \ln (x)}$

Этап 1.3.2

Разделим $\frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x \ln (x)} = \frac{x e^{x}}{x \ln (x)}$

Этап 1.4

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x \ln (x)} = \frac{x e^{x}}{x \ln (x)}$

Этап 1.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x \ln (x)} = \frac{e^{x}}{\ln (x)}$

Этап 1.5

Вынесем множитель $y$ из $\frac{y}{x \ln (x)}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{1}{x \ln (x)} = \frac{e^{x}}{\ln (x)}$

Этап 1.6

Изменим порядок $y$ и $\frac{1}{x \ln (x)}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x \ln (x)} y = \frac{e^{x}}{\ln (x)}$

Этап 2

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (x) d x}$ , где $P (x) = \frac{1}{x \ln (x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int \frac{1}{x \ln (x)} d x}$

Этап 2.2

Проинтегрируем $\frac{1}{x \ln (x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Пусть $u = \ln (x)$ . Тогда $d u = \frac{1}{x} d x$ , следовательно $x d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Пусть $u = \ln (x)$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Дифференцируем $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Этап 2.2.1.1.2

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Этап 2.2.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$e^{\int \frac{1}{u} d u}$

Этап 2.2.2

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$e^{\ln (| u |) + C}$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $\ln (x)$ .

$e^{\ln (| \ln (x) |) + C}$

Этап 2.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{\ln (\ln (x))}$

Этап 2.4

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$\ln (x)$

Этап 3

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $\ln (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член на $\ln (x)$ .

$\ln (x) \frac{d y}{d x} + \ln (x) (\frac{1}{x \ln (x)} y) = \ln (x) \frac{e^{x}}{\ln (x)}$

Этап 3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Объединим $\frac{1}{x \ln (x)}$ и $y$ .

$\ln (x) \frac{d y}{d x} + \ln (x) \frac{y}{x \ln (x)} = \ln (x) \frac{e^{x}}{\ln (x)}$

Этап 3.2.2

Сократим общий множитель $\ln (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Вынесем множитель $\ln (x)$ из $x \ln (x)$ .

$\ln (x) \frac{d y}{d x} + \ln (x) \frac{y}{\ln (x) x} = \ln (x) \frac{e^{x}}{\ln (x)}$

Этап 3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\ln (x) \frac{d y}{d x} + \ln (x) \frac{y}{\ln (x) x} = \ln (x) \frac{e^{x}}{\ln (x)}$

Этап 3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\ln (x) \frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} = \ln (x) \frac{e^{x}}{\ln (x)}$

Этап 3.3

Сократим общий множитель $\ln (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сократим общий множитель.

$\ln (x) \frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} = \ln (x) \frac{e^{x}}{\ln (x)}$

Этап 3.3.2

Перепишем это выражение.

$\ln (x) \frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} = e^{x}$

Этап 4

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [\ln (x) y] = e^{x}$

Этап 5

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [\ln (x) y] d x = \int e^{x} d x$

Этап 6

Проинтегрируем левую часть.

$\ln (x) y = \int e^{x} d x$

Этап 7

Интеграл $e^{x}$ по $x$ имеет вид $e^{x}$ .

$\ln (x) y = e^{x} + C$

Этап 8

Разделим каждый член $\ln (x) y = e^{x} + C$ на $\ln (x)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Разделим каждый член $\ln (x) y = e^{x} + C$ на $\ln (x)$ .

$\frac{\ln (x) y}{\ln (x)} = \frac{e^{x}}{\ln (x)} + \frac{C}{\ln (x)}$

Этап 8.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Сократим общий множитель $\ln (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\ln (x) y}{\ln (x)} = \frac{e^{x}}{\ln (x)} + \frac{C}{\ln (x)}$

Этап 8.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{e^{x}}{\ln (x)} + \frac{C}{\ln (x)}$