Математический анализ Примеры

$(2 x + y) d x + (x + 2 y) d y = 0$

Этап 1

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = 2 x + y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x + y]$

Этап 1.2

По правилу суммы производная $2 x + y$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [y]$

Этап 1.3

Поскольку $2 x$ является константой относительно $y$ , производная $2 x$ относительно $y$ равна $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y]$

Этап 1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 1$

Этап 1.5

Добавим $0$ и $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1$

Этап 2

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = x + 2 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x + 2 y]$

Этап 2.2

По правилу суммы производная $x + 2 y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \frac{d}{d x} [2 y]$

Этап 2.4

Поскольку $2 y$ является константой относительно $x$ , производная $2 y$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + 0$

Этап 2.5

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

Этап 3

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $1$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $1$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$1 = 1$

Этап 3.2

Так как обе части демонстрируют эквивалентность, уравнение является тождеством.

$1 = 1$ является тождеством.

Этап 4

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 2 x + y d x$

Этап 5

Проинтегрируем $M (x, y) = 2 x + y$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$f (x, y) = \int 2 x d x + \int y d x$

Этап 5.2

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$f (x, y) = 2 \int x d x + \int y d x$

Этап 5.3

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int y d x$

Этап 5.4

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$f (x, y) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + y x + C$

Этап 5.5

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$f (x, y) = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + y x + C$

Этап 5.6

Упростим.

$f (x, y) = x^{2} + y x + C$

Этап 6

Так как интеграл $g (y)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (y)$ .

$f (x, y) = x^{2} + y x + g (y)$

Этап 7

Зададим $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = x + 2 y$

Этап 8

Найдем $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Продифференцируем $f$ по $y$ .

$\frac{d}{d y} [x^{2} + y x + g (y)] = x + 2 y$

Этап 8.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

По правилу суммы производная $x^{2} + y x + g (y)$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + 2 y$

Этап 8.2.2

Поскольку $x^{2}$ является константой относительно $y$ , производная $x^{2}$ относительно $y$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + 2 y$

Этап 8.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [y x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Поскольку $x$ является константой относительно $y$ , производная $y x$ по $y$ равна $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 + x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + 2 y$

Этап 8.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 + x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + 2 y$

Этап 8.3.3

Умножим $x$ на $1$ .

$0 + x + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + 2 y$

Этап 8.4

Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от $g (y)$ равна $\frac{d g}{d y}$ .

$0 + x + \frac{d g}{d y} = x + 2 y$

Этап 8.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.1

Добавим $0$ и $x$ .

$x + \frac{d g}{d y} = x + 2 y$

Этап 8.5.2

Изменим порядок членов.

$\frac{d g}{d y} + x = x + 2 y$

Этап 9

Решим относительно $\frac{d g}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Перенесем все члены без $\frac{d g}{d y}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d g}{d y} = x + 2 y - x$

Этап 9.1.2

Объединим противоположные члены в $x + 2 y - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.2.1

Вычтем $x$ из $x$ .

$\frac{d g}{d y} = 2 y + 0$

Этап 9.1.2.2

Добавим $2 y$ и $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 2 y$

Этап 10

Найдем первообразную $2 y$ , чтобы найти $g (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Проинтегрируем обе части $\frac{d g}{d y} = 2 y$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 2 y d y$

Этап 10.2

Найдем значение $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 2 y d y$

Этап 10.3

Поскольку $2$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$g (y) = 2 \int y d y$

Этап 10.4

По правилу степени интеграл $y$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$g (y) = 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Этап 10.5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.1

Перепишем $2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ в виде $2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$ .

$g (y) = 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

Этап 10.5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.2.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = \frac{2}{2} y^{2} + C$

Этап 10.5.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.2.2.1

Сократим общий множитель.

$g (y) = \frac{2}{2} y^{2} + C$

Этап 10.5.2.2.2

Перепишем это выражение.

$g (y) = 1 y^{2} + C$

Этап 10.5.2.3

Умножим $y^{2}$ на $1$ .

$g (y) = y^{2} + C$

Этап 11

Подставим выражение для $g (y)$ в $f (x, y) = x^{2} + y x + g (y)$ .

$f (x, y) = x^{2} + y x + y^{2} + C$