Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} - \frac{y}{x} = y x^{4}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Добавим $\frac{y}{x}$ к обеим частям уравнения.

$\frac{d y}{d x} = y x^{4} + \frac{y}{x}$

Этап 1.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $y$ из $y x^{4} + \frac{y}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Вынесем множитель $y$ из $y x^{4}$ .

$\frac{d y}{d x} = y (x^{4}) + \frac{y}{x}$

Этап 1.2.1.2

Вынесем множитель $y$ из $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = y (x^{4}) + y \frac{1}{x}$

Этап 1.2.1.3

Вынесем множитель $y$ из $y (x^{4}) + y \frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = y (x^{4} + \frac{1}{x})$

Этап 1.2.2

Чтобы записать $x^{4}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = y (\frac{x^{4} x}{x} + \frac{1}{x})$

Этап 1.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d y}{d x} = y \frac{x^{4} x + 1}{x}$

Этап 1.2.4

Умножим $x^{4}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Умножим $x^{4}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{d y}{d x} = y \frac{x^{4} x^{1} + 1}{x}$

Этап 1.2.4.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{d y}{d x} = y \frac{x^{4 + 1} + 1}{x}$

Этап 1.2.4.2

Добавим $4$ и $1$ .

$\frac{d y}{d x} = y \frac{x^{5} + 1}{x}$

Этап 1.3

Умножим обе части на $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{x^{5} + 1}{x})$

Этап 1.4

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{x^{5} + 1}{x})$

Этап 1.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{x^{5} + 1}{x}$

Этап 1.5

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{y} d y = \frac{x^{5} + 1}{x} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{x^{5} + 1}{x} d x$

Этап 2.2

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x^{5} + 1}{x} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим дробь на несколько дробей.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x^{5}}{x} + \frac{1}{x} d x$

Этап 2.3.2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x^{5}}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.3.3

Сократим общий множитель $x^{5}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{5}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x \cdot x^{4}}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.3.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x \cdot x^{4}}{x^{1}} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.3.3.2.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 1} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.3.3.2.3

Сократим общий множитель.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 1} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.3.3.2.4

Перепишем это выражение.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x^{4}}{1} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.3.3.2.5

Разделим $x^{4}$ на $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{4} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.3.4

По правилу степени интеграл $x^{4}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{5} x^{5} + C_{2} + \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.3.5

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{5} x^{5} + C_{2} + \ln (| x |) + C_{3}$

Этап 2.3.6

Упростим.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{5} x^{5} + \ln (| x |) + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\ln (| y |) = \frac{1}{5} x^{5} + \ln (| x |) + C$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Объединим $\frac{1}{5}$ и $x^{5}$ .

$\ln (| y |) = \frac{x^{5}}{5} + \ln (| x |) + C$

Этап 3.2

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\ln (| y |) - \ln (| x |) = \frac{x^{5}}{5} + C$

Этап 3.3

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{| x |}) = \frac{x^{5}}{5} + C$

Этап 3.4

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (\frac{| y |}{| x |})} = e^{\frac{x^{5}}{5} + C}$

Этап 3.5

Перепишем $\ln (\frac{| y |}{| x |}) = \frac{x^{5}}{5} + C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{x^{5}}{5} + C} = \frac{| y |}{| x |}$

Этап 3.6

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{| y |}{| x |} = e^{\frac{x^{5}}{5} + C}$ .

$\frac{| y |}{| x |} = e^{\frac{x^{5}}{5} + C}$

Этап 3.6.2

Умножим обе части на $| x |$ .

$\frac{| y |}{| x |} | x | = e^{\frac{x^{5}}{5} + C} | x |$

Этап 3.6.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.3.1

Сократим общий множитель $| x |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.3.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{| y |}{| x |} | x | = e^{\frac{x^{5}}{5} + C} | x |$

Этап 3.6.3.1.2

Перепишем это выражение.

$| y | = e^{\frac{x^{5}}{5} + C} | x |$

Этап 3.6.4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.1

Изменим порядок множителей в $e^{\frac{x^{5}}{5} + C} | x |$ .

$| y | = | x | e^{\frac{x^{5}}{5} + C}$

Этап 3.6.4.2

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$y = \pm | x | e^{\frac{x^{5}}{5} + C}$

Этап 4

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем $e^{\frac{x^{5}}{5} + C}$ в виде $e^{\frac{x^{5}}{5}} e^{C}$ .

$y = \pm | x | (e^{\frac{x^{5}}{5}} e^{C})$

Этап 4.2

Изменим порядок $e^{\frac{x^{5}}{5}}$ и $e^{C}$ .

$y = \pm | x | (e^{C} e^{\frac{x^{5}}{5}})$

Этап 4.3

Объединим константы с плюсом или минусом.

$y = C | x | e^{\frac{x^{5}}{5}}$