Математический анализ Примеры

$(\frac{y}{x}) \frac{d y}{d x} = e^{x^{2} + y^{2}}$ , $y (0) = 0$

Этап 1

Пусть $v_{1} = x^{2} + y^{2}$ . Подставим $v_{1}$ вместо $x^{2} + y^{2}$ для всех.

$\frac{y}{x} \frac{d y}{d x} = e^{v_{1}}$

Этап 2

Найдем $\frac{d v_{1}}{d x}$ , дифференцируя $x^{2} + y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $x^{2} + y^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{d v_{1}}{d x} = \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{d v_{1}}{d x} = 2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $y$ .

$\frac{d v_{1}}{d x} = 2 x + \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.3.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{d v_{1}}{d x} = 2 x + 2 u_{1} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.3.1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $y$ .

$\frac{d v_{1}}{d x} = 2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.3.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$\frac{d v_{1}}{d x} = 2 x + 2 y y'$

Этап 2.4

Изменим порядок членов.

$\frac{d v_{1}}{d x} = 2 y y' + 2 x$

$\frac{d v}{d x} = 2 y y' + 2 x$

Этап 3

Подставим производную обратно в дифференциальное уравнение.

$\frac{\frac{d v}{d x} - 2 x}{2 x} = e^{v_{1}}$

Этап 4

Пусть $v_{2} = e^{v_{1}}$ . Подставим $v_{2}$ вместо $e^{v_{1}}$ для всех.

$\frac{\frac{d v}{d x} - 2 x}{2 x} = v_{2}$

Этап 5

Найдем $\frac{d v_{2}}{d x}$ , дифференцируя $e^{v_{1}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $v_{1}$ .

$\frac{d v_{2}}{d x} = \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [v_{1}]$

Этап 5.1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ имеет вид $a^{u_{2}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$\frac{d v_{2}}{d x} = e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [v_{1}]$

Этап 5.1.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $v_{1}$ .

$\frac{d v_{2}}{d x} = e^{v_{1}} \frac{d}{d x} [v_{1}]$

Этап 5.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [v_{1}]$ в виде $v_{1}'$ .

$\frac{d v_{2}}{d x} = e^{v_{1}} v_{1}'$

$\frac{d v}{d x} = e^{v_{1}} v_{1}'$

Этап 6

Подставим $v_{2}$ вместо $e^{v_{1}}$ .

$\frac{d v}{d x} = v_{2} v_{1}'$

Этап 7

Подставим производную обратно в дифференциальное уравнение.

$\frac{\frac{d v}{d x} - 2 x v_{2}}{2 v_{2} x} = v_{2}$

Этап 8

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Решим относительно $\frac{d v}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Умножим обе части на $2 v_{2} x$ .

$\frac{\frac{d v}{d x} - 2 x v}{2 v x} (2 v_{2} x) = v (2 v x)$

Этап 8.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.2.1.1

Упростим $\frac{\frac{d v}{d x} - 2 x v}{2 v x} (2 v_{2} x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.2.1.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 \frac{\frac{d v}{d x} - 2 x v}{2 v x} (v_{2} (x)) = v (2 v x)$

Этап 8.1.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.2.1.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 v_{2} x$ .

$2 \frac{\frac{d v}{d x} - 2 x v}{2 (v (x))} (v_{2} (x)) = v (2 v x)$

Этап 8.1.2.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$2 \frac{\frac{d v}{d x} - 2 x v}{2 (v (x))} (v_{2} (x)) = v (2 v x)$

Этап 8.1.2.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{d v}{d x} - 2 x v}{v (x)} (v_{2} (x)) = v (2 v x)$

Этап 8.1.2.1.1.3

Сократим общий множитель $v_{2} x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.2.1.1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{d v}{d x} - 2 x v}{v (x)} (v_{2} (x)) = v (2 v x)$

Этап 8.1.2.1.1.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{d v}{d x} - 2 x v_{2} = v (2 v x)$

Этап 8.1.2.1.1.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.2.1.1.4.1

Перенесем $x$ .

$\frac{d v}{d x} - 2 v_{2} x = v (2 v x)$

Этап 8.1.2.1.1.4.2

Изменим порядок $\frac{d v}{d x}$ и $- 2 v_{2} x$ .

$- 2 v_{2} x + \frac{d v}{d x} = v (2 v x)$

Этап 8.1.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.2.2.1

Упростим $v (2 v x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.2.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- 2 v_{2} x + \frac{d v}{d x} = 2 v (v x)$

Этап 8.1.2.2.1.2

Умножим $v_{2}$ на $v_{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.2.2.1.2.1

Перенесем $v_{2}$ .

$- 2 v_{2} x + \frac{d v}{d x} = 2 (v \cdot v) x$

Этап 8.1.2.2.1.2.2

Умножим $v_{2}$ на $v_{2}$ .

$- 2 v_{2} x + \frac{d v}{d x} = 2 {v_{2}}^{2} x$

Этап 8.1.3

Добавим $2 v_{2} x$ к обеим частям уравнения.

$\frac{d v}{d x} = 2 {v_{2}}^{2} x + 2 v_{2} x$

Этап 8.2

Вынесем множитель $2 v_{2} x$ из $2 {v_{2}}^{2} x + 2 v_{2} x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Вынесем множитель $2 v_{2} x$ из $2 {v_{2}}^{2} x$ .

$\frac{d v}{d x} = 2 v_{2} x (v_{2}) + 2 v_{2} x$

Этап 8.2.2

Вынесем множитель $2 v_{2} x$ из $2 v_{2} x$ .

$\frac{d v}{d x} = 2 v_{2} x (v_{2}) + 2 v_{2} x (1)$

Этап 8.2.3

Вынесем множитель $2 v_{2} x$ из $2 v_{2} x (v_{2}) + 2 v_{2} x (1)$ .

$\frac{d v}{d x} = 2 v_{2} x (v_{2} + 1)$

Этап 8.3

Умножим обе части на $\frac{1}{v_{2} (v_{2} + 1)}$ .

$\frac{1}{v_{2} (v_{2} + 1)} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v_{2} (v_{2} + 1)} (2 v_{2} x (v_{2} + 1))$

Этап 8.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{1}{v_{2} (v_{2} + 1)} \frac{d v}{d x} = 2 \frac{1}{v_{2} (v_{2} + 1)} (v_{2} x (v_{2} + 1))$

Этап 8.4.2

Объединим $2$ и $\frac{1}{v_{2} (v_{2} + 1)}$ .

$\frac{1}{v_{2} (v_{2} + 1)} \frac{d v}{d x} = \frac{2}{v_{2} (v_{2} + 1)} (v_{2} x (v_{2} + 1))$

Этап 8.4.3

Сократим общий множитель $v_{2} (v_{2} + 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.3.1

Вынесем множитель $v_{2} (v_{2} + 1)$ из $v_{2} x (v_{2} + 1)$ .

$\frac{1}{v_{2} (v_{2} + 1)} \frac{d v}{d x} = \frac{2}{v_{2} (v_{2} + 1)} (v_{2} (v_{2} + 1) (x))$

Этап 8.4.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{v_{2} (v_{2} + 1)} \frac{d v}{d x} = \frac{2}{v_{2} (v_{2} + 1)} (v_{2} (v_{2} + 1) x)$

Этап 8.4.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{v_{2} (v_{2} + 1)} \frac{d v}{d x} = 2 x$

Этап 8.5

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{v_{2} (v_{2} + 1)} d v = 2 x d x$

$\frac{1}{v_{2} (v_{2} + 1)} d v_{2} = 2 x d x$

Этап 9

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{v_{2} (v_{2} + 1)} d v_{2} = \int 2 x d x$

Этап 9.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Запишем дробь, используя разложение на элементарные дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.1.1

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $B$ .

$\frac{A}{v} + \frac{B}{v + 1}$

Этап 9.2.1.1.2

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен $v (v + 1)$ .

$\frac{1 (v (v + 1))}{v (v + 1)} = \frac{A (v (v + 1))}{v} + \frac{B (v (v + 1))}{v + 1}$

Этап 9.2.1.1.3

Сократим общий множитель $v_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1 (v (v + 1))}{v (v + 1)} = \frac{A (v (v + 1))}{v} + \frac{B (v (v + 1))}{v + 1}$

Этап 9.2.1.1.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1 (v + 1)}{v + 1} = \frac{A (v (v + 1))}{v} + \frac{B (v (v + 1))}{v + 1}$

Этап 9.2.1.1.4

Сократим общий множитель $v_{2} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1 (v + 1)}{v + 1} = \frac{A (v (v + 1))}{v} + \frac{B (v (v + 1))}{v + 1}$

Этап 9.2.1.1.4.2

Перепишем это выражение.

$1 = \frac{A (v (v + 1))}{v} + \frac{B (v (v + 1))}{v + 1}$

Этап 9.2.1.1.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.1.5.1

Сократим общий множитель $v_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.1.5.1.1

Сократим общий множитель.

$1 = \frac{A (v (v + 1))}{v} + \frac{B (v (v + 1))}{v + 1}$

Этап 9.2.1.1.5.1.2

Разделим $A (v_{2} + 1)$ на $1$ .

$1 = A (v + 1) + \frac{B (v (v + 1))}{v + 1}$

Этап 9.2.1.1.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$1 = A (v) + A \cdot 1 + \frac{B (v (v + 1))}{v + 1}$

Этап 9.2.1.1.5.3

Умножим $A$ на $1$ .

$1 = A (v) + A + \frac{B (v (v + 1))}{v + 1}$

Этап 9.2.1.1.5.4

Сократим общий множитель $v_{2} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.1.5.4.1

Сократим общий множитель.

$1 = A (v) + A + \frac{B (v (v + 1))}{v + 1}$

Этап 9.2.1.1.5.4.2

Разделим $B v_{2}$ на $1$ .

$1 = A v + A + B v$

Этап 9.2.1.1.6

Перенесем $A$ .

$1 = A v + B v + A$

Этап 9.2.1.2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $v_{2}$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$0 = A + B$

Этап 9.2.1.2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $v_{2}$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$1 = A$

Этап 9.2.1.2.3

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$0 = A + B$

$1 = A$

$0 = A + B$

$1 = A$

Этап 9.2.1.3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.3.1

Перепишем уравнение в виде $A = 1$ .

$A = 1$

$0 = A + B$

Этап 9.2.1.3.2

Заменим все вхождения $A$ на $1$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.3.2.1

Заменим все вхождения $A$ в $0 = A + B$ на $1$ .

$0 = (1) + B$

$A = 1$

Этап 9.2.1.3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.3.2.2.1

Избавимся от скобок.

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$0 = 1 + B$

$A = 1$

Этап 9.2.1.3.3

Решим относительно $B$ в $0 = 1 + B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.3.3.1

Перепишем уравнение в виде $1 + B = 0$ .

$1 + B = 0$

$A = 1$

Этап 9.2.1.3.3.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$B = - 1$

$A = 1$

$B = - 1$

$A = 1$

Этап 9.2.1.3.4

Решим систему уравнений.

$B = - 1 A = 1$

Этап 9.2.1.3.5

Перечислим все решения.

$B = - 1, A = 1$

Этап 9.2.1.4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{v} + \frac{B}{v + 1}$ значениями, найденными для $A$ и $B$ .

$\frac{1}{v} + \frac{- 1}{v + 1}$

Этап 9.2.1.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int \frac{1}{v_{2}} - \frac{1}{v_{2} + 1} d v_{2} = \int 2 x d x$

Этап 9.2.2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \frac{1}{v_{2}} d v_{2} + \int - \frac{1}{v_{2} + 1} d v_{2} = \int 2 x d x$

Этап 9.2.3

Интеграл $\frac{1}{v_{2}}$ по $v_{2}$ имеет вид $\ln (| v_{2} |)$ .

$\ln (| v_{2} |) + C_{1} + \int - \frac{1}{v_{2} + 1} d v_{2} = \int 2 x d x$

Этап 9.2.4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $v_{2}$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\ln (| v_{2} |) + C_{1} - \int \frac{1}{v_{2} + 1} d v_{2} = \int 2 x d x$

Этап 9.2.5

Пусть $u_{3} = v_{2} + 1$ . Тогда $d u_{3} = d v_{2}$ . Перепишем, используя $u_{3}$ и $d$ $u_{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.5.1

Пусть $u_{3} = v_{2} + 1$ . Найдем $\frac{d u_{3}}{d v_{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.5.1.1

Дифференцируем $v_{2} + 1$ .

$\frac{d}{d v_{2}} [v_{2} + 1]$

Этап 9.2.5.1.2

По правилу суммы производная $v_{2} + 1$ по $v_{2}$ имеет вид $\frac{d}{d v_{2}} [v_{2}] + \frac{d}{d v_{2}} [1]$ .

$\frac{d}{d v_{2}} [v_{2}] + \frac{d}{d v_{2}} [1]$

Этап 9.2.5.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d v_{2}} [{v_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {v_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d v_{2}} [1]$

Этап 9.2.5.1.4

Поскольку $1$ является константой относительно $v_{2}$ , производная $1$ относительно $v_{2}$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 9.2.5.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 9.2.5.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{3}$ и $d u_{3}$ .

$\ln (| v_{2} |) + C_{1} - \int \frac{1}{u_{3}} d u_{3} = \int 2 x d x$

Этап 9.2.6

Интеграл $\frac{1}{u_{3}}$ по $u_{3}$ имеет вид $\ln (| u_{3} |)$ .

$\ln (| v_{2} |) + C_{1} - (\ln (| u_{3} |) + C_{2}) = \int 2 x d x$

Этап 9.2.7

Упростим.

$\ln (| v_{2} |) - \ln (| u_{3} |) + C_{3} = \int 2 x d x$

Этап 9.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$\ln (| v_{2} |) - \ln (| u_{3} |) + C_{3} = 2 \int x d x$

Этап 9.3.2

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\ln (| v_{2} |) - \ln (| u_{3} |) + C_{3} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4})$

Этап 9.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.3.1

Перепишем $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4})$ в виде $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$ .

$\ln (| v_{2} |) - \ln (| u_{3} |) + C_{3} = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Этап 9.3.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.3.2.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| v_{2} |) - \ln (| u_{3} |) + C_{3} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{4}$

Этап 9.3.3.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\ln (| v_{2} |) - \ln (| u_{3} |) + C_{3} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{4}$

Этап 9.3.3.2.2.2

Перепишем это выражение.

$\ln (| v_{2} |) - \ln (| u_{3} |) + C_{3} = 1 x^{2} + C_{4}$

Этап 9.3.3.2.3

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$\ln (| v_{2} |) - \ln (| u_{3} |) + C_{3} = x^{2} + C_{4}$

Этап 9.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\ln (| v_{2} |) - \ln (| u_{3} |) = x^{2} + C$

Этап 10

Решим относительно $v_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| v_{2} |}{| u_{3} |}) = x^{2} + C$

Этап 10.2

Чтобы решить относительно $v_{2}$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (\frac{| v_{2} |}{| u_{3} |})} = e^{x^{2} + C}$

Этап 10.3

Перепишем $\ln (\frac{| v_{2} |}{| u_{3} |}) = x^{2} + C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{x^{2} + C} = \frac{| v_{2} |}{| u_{3} |}$

Этап 10.4

Решим относительно $v_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{| v_{2} |}{| u_{3} |} = e^{x^{2} + C}$ .

$\frac{| v_{2} |}{| u_{3} |} = e^{x^{2} + C}$

Этап 10.4.2

Умножим обе части на $| u_{3} |$ .

$\frac{| v_{2} |}{| u_{3} |} | u_{3} | = e^{x^{2} + C} | u_{3} |$

Этап 10.4.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.3.1

Сократим общий множитель $| u_{3} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.3.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{| v_{2} |}{| u_{3} |} | u_{3} | = e^{x^{2} + C} | u_{3} |$

Этап 10.4.3.1.2

Перепишем это выражение.

$| v_{2} | = e^{x^{2} + C} | u_{3} |$

Этап 10.4.4

Решим относительно $v_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.4.1

Изменим порядок множителей в $e^{x^{2} + C} | u_{3} |$ .

$| v_{2} | = | u_{3} | e^{x^{2} + C}$

Этап 10.4.4.2

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$v_{2} = \pm | u_{3} | e^{x^{2} + C}$

Этап 11

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Перепишем $e^{x^{2} + C}$ в виде $e^{x^{2}} e^{C}$ .

$v_{2} = \pm | u_{3} | (e^{x^{2}} e^{C})$

Этап 11.2

Изменим порядок $e^{x^{2}}$ и $e^{C}$ .

$v_{2} = \pm | u_{3} | (e^{C} e^{x^{2}})$

Этап 11.3

Объединим константы с плюсом или минусом.

$v_{2} = C | u_{3} | e^{x^{2}}$

Этап 12

Заменим все вхождения $v_{2}$ на $e^{v_{1}}$ .

$e^{v_{1}} = C | u_{3} | e^{x^{2}}$

Этап 13

Решим относительно $v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{v_{1}}) = \ln (C | u_{3} | e^{x^{2}})$

Этап 13.2

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Развернем $\ln (e^{v_{1}})$ , вынося $v_{1}$ из логарифма.

$v_{1} \ln (e) = \ln (C | u_{3} | e^{x^{2}})$

Этап 13.2.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$v_{1} \cdot 1 = \ln (C | u_{3} | e^{x^{2}})$

Этап 13.2.3

Умножим $v_{1}$ на $1$ .

$v_{1} = \ln (C | u_{3} | e^{x^{2}})$

Этап 13.3

Развернем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.1

Перепишем $\ln (C | u_{3} | e^{x^{2}})$ в виде $\ln (C | u_{3} |) + \ln (e^{x^{2}})$ .

$v_{1} = \ln (C | u_{3} |) + \ln (e^{x^{2}})$

Этап 13.3.2

Перепишем $\ln (C | u_{3} |)$ в виде $\ln (C) + \ln (| u_{3} |)$ .

$v_{1} = \ln (C) + \ln (| u_{3} |) + \ln (e^{x^{2}})$

Этап 13.3.3

Развернем $\ln (e^{x^{2}})$ , вынося $x^{2}$ из логарифма.

$v_{1} = \ln (C) + \ln (| u_{3} |) + x^{2} \ln (e)$

Этап 13.3.4

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$v_{1} = \ln (C) + \ln (| u_{3} |) + x^{2} \cdot 1$

Этап 13.3.5

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$v_{1} = \ln (C) + \ln (| u_{3} |) + x^{2}$

Этап 13.4

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$v_{1} = \ln (C | u_{3} |) + x^{2}$

Этап 14

Заменим все вхождения $v_{1}$ на $x^{2} + y^{2}$ .

$x^{2} + y^{2} = \ln (C | u_{3} |) + x^{2}$

Этап 15

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1.1

Вычтем $x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$y^{2} = \ln (C | u_{3} |) + x^{2} - x^{2}$

Этап 15.1.2

Объединим противоположные члены в $\ln (C | u_{3} |) + x^{2} - x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1.2.1

Вычтем $x^{2}$ из $x^{2}$ .

$y^{2} = \ln (C | u_{3} |) + 0$

Этап 15.1.2.2

Добавим $\ln (C | u_{3} |)$ и $0$ .

$y^{2} = \ln (C | u_{3} |)$

Этап 15.2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \pm \sqrt{\ln (C | u_{3} |)}$

Этап 15.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \sqrt{\ln (C | u_{3} |)}$

Этап 15.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \sqrt{\ln (C | u_{3} |)}$

Этап 15.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \sqrt{\ln (C | u_{3} |)}$

$y = - \sqrt{\ln (C | u_{3} |)}$

$y = \sqrt{\ln (C | u_{3} |)}$

$y = - \sqrt{\ln (C | u_{3} |)}$

$y = \sqrt{\ln (C | u_{3} |)}$

$y = - \sqrt{\ln (C | u_{3} |)}$

Этап 16

Так как $y$ принимает неотрицательные значения при начальном условии $(0, 0)$ , рассмотрим $y = \sqrt{\ln (C | u_{3} |)}$ , чтобы найти $C$ . Подставим $0$ вместо $x$ , а $0$ вместо $y$ .

$0 = \sqrt{\ln (C | u_{3} |)}$

Этап 17

Решим относительно $C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Перепишем уравнение в виде $\sqrt{\ln (C | u_{3} |)} = 0$ .

$\sqrt{\ln (C | u_{3} |)} = 0$

Этап 17.2

Решим относительно $C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.2.1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{\ln (C | u_{3} |)}}^{2} = 0^{2}$

Этап 17.2.2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.2.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{\ln (C | u_{3} |)}$ в виде ${\ln (C | u_{3} |)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({\ln (C | u_{3} |)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Этап 17.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.2.2.2.1

Упростим ${({\ln (C | u_{3} |)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.2.2.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({\ln (C | u_{3} |)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.2.2.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${\ln (C | u_{3} |)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Этап 17.2.2.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.2.2.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${\ln (C | u_{3} |)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Этап 17.2.2.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$\ln^{1} (C | u_{3} |) = 0^{2}$

Этап 17.2.2.2.1.2

Упростим.

$\ln (C | u_{3} |) = 0^{2}$

Этап 17.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.2.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\ln (C | u_{3} |) = 0$

Этап 17.2.3

Решим относительно $C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.2.3.1

Чтобы решить относительно $C$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (C | u_{3} |)} = e^{0}$

Этап 17.2.3.2

Перепишем $\ln (C | u_{3} |) = 0$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{0} = C | u_{3} |$

Этап 17.2.3.3

Решим относительно $C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.2.3.3.1

Перепишем уравнение в виде $C | u_{3} | = e^{0}$ .

$C | u_{3} | = e^{0}$

Этап 17.2.3.3.2

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$C | u_{3} | = 1$

Этап 17.2.3.3.3

Разделим каждый член $C | u_{3} | = 1$ на $| u_{3} |$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.2.3.3.3.1

Разделим каждый член $C | u_{3} | = 1$ на $| u_{3} |$ .

$\frac{C | u_{3} |}{| u_{3} |} = \frac{1}{| u_{3} |}$

Этап 17.2.3.3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.2.3.3.3.2.1

Сократим общий множитель $| u_{3} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.2.3.3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{C | u_{3} |}{| u_{3} |} = \frac{1}{| u_{3} |}$

Этап 17.2.3.3.3.2.1.2

Разделим $C$ на $1$ .

$C = \frac{1}{| u_{3} |}$

Этап 18

Подставим $\frac{1}{| u_{3} |}$ вместо $C$ в $y = \sqrt{\ln (C | u_{3} |)}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1

Подставим $\frac{1}{| u_{3} |}$ вместо $C$ .

$y = \sqrt{\ln (\frac{1}{| u_{3} |} | u_{3} |)}$

Этап 18.2

Сократим общий множитель $| u_{3} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.2.1

Сократим общий множитель.

$y = \sqrt{\ln (\frac{1}{| u_{3} |} | u_{3} |)}$

Этап 18.2.2

Перепишем это выражение.

$y = \sqrt{\ln (1)}$

Этап 18.3

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$y = \sqrt{0}$

Этап 18.4

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$y = \sqrt{0^{2}}$

Этап 18.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$y = 0$