Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = y^{2} + 1$ that satisfies the initial condition $y (1) = 0$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $\frac{1}{y^{2} + 1}$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} (y^{2} + 1)$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $y^{2} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} (y^{2} + 1)$

Этап 1.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = 1$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{y^{2} + 1} d y = 1 d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{y^{2} + 1} d y = \int d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Изменим порядок $y^{2}$ и $1$ .

$\int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int d x$

Этап 2.2.1.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int d x$

Этап 2.2.2

Интеграл $\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ по $y$ имеет вид $\arctan (y) + C_{1}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int d x$

Этап 2.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\arctan (y) + C_{1} = x + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$\arctan (y) = x + K$

Этап 3

Возьмем обратную арктангенса обеих частей уравнения, чтобы извлечь $y$ из арктангенса.

$y = \tan (x + K)$

Этап 4

Используем начальное условие, чтобы найти значение $K$ , подставив $1$ вместо $x$ и $0$ вместо $y$ в $y = \tan (x + K)$ .

$0 = \tan (1 + K)$

Этап 5

Решим относительно $K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем уравнение в виде $\tan (1 + K) = 0$ .

$\tan (1 + K) = 0$

Этап 5.2

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $K$ из тангенса.

$1 + K = \arctan (0)$

Этап 5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Точное значение $\arctan (0)$ : $0$ .

$1 + K = 0$

Этап 5.4

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$K = - 1$

Этап 5.5

Функция тангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Для нахождения второго решения прибавим угол приведения из $π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$1 + K = π + 0$

Этап 5.6

Решим относительно $K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Добавим $π$ и $0$ .

$1 + K = π$

Этап 5.6.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$K = π - 1$

Этап 5.7

Найдем период $\tan (1 + K)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 5.7.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 5.7.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 5.7.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 5.8

Добавим $π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.1

Добавим $π$ к $- 1$ , чтобы найти положительный угол.

$- 1 + π$

Этап 5.8.2

Перечислим новые углы.

$K = - 1 + π$

Этап 5.9

Период функции $\tan (1 + K)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$K = - 1 + π + π n, π - 1 + π + π n$ , для любого целого $n$

Этап 5.10

Объединим $- 1 + π + π n$ и $π - 1 + π + π n$ в $- 1 + π + π n$ .

$K = - 1 + π + π n$

Этап 6

Подставим $- 1 + π + π n$ вместо $K$ в $y = \tan (x + K)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Подставим $- 1 + π + π n$ вместо $K$ .

$y = \tan (x - 1 + π + π n)$