Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sqrt{x^{2} - y^{2}}}{x}$

Этап 1

Перепишем дифференциальное уравнение в виде функции от $\frac{y}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Предположим, что $\sqrt{x^{2}} = x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sqrt{x^{2} - y^{2}}}{\sqrt{x^{2}}}$

Этап 1.2

Объединим $\sqrt{x^{2} - y^{2}}$ и $\sqrt{x^{2}}$ под одним знаком корня.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{x^{2} - y^{2}}{x^{2}}}$

Этап 1.3

Разделим $\frac{x^{2} - y^{2}}{x^{2}}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Разобьем дробь $\frac{x^{2} - y^{2}}{x^{2}}$ на две дроби.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- y^{2}}{x^{2}}}$

Этап 1.3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- y^{2}}{x^{2}}}$

Этап 1.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{1 + \frac{- y^{2}}{x^{2}}}$

Этап 1.3.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{1 - \frac{y^{2}}{x^{2}}}$

Этап 1.4

Перепишем $\frac{y^{2}}{x^{2}}$ в виде ${(\frac{y}{x})}^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{1 - {(\frac{y}{x})}^{2}}$

Этап 2

Пусть $V = \frac{y}{x}$ . Подставим $V$ вместо $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = V + \sqrt{1 - V^{2}}$

Этап 3

Решим $V = \frac{y}{x}$ относительно $y$ .

$y = V x$

Этап 4

Применим правило умножения, чтобы найти производную $y = V x$ по $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Этап 5

Подставим $x \frac{d V}{d x} + V$ вместо $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{1 - V^{2}}$

Этап 6

Решим подставленное дифференциальное уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Решим относительно $\frac{d V}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{1^{2} - V^{2}}$

Этап 6.1.1.1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 1$ и $b = V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{(1 + V) (1 - V)}$

Этап 6.1.1.2

Перенесем все члены без $\frac{d V}{d x}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.2.1

Вычтем $V$ из обеих частей уравнения.

$x \frac{d V}{d x} = V + \sqrt{(1 + V) (1 - V)} - V$

Этап 6.1.1.2.2

Объединим противоположные члены в $V + \sqrt{(1 + V) (1 - V)} - V$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.2.2.1

Вычтем $V$ из $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = 0 + \sqrt{(1 + V) (1 - V)}$

Этап 6.1.1.2.2.2

Добавим $0$ и $\sqrt{(1 + V) (1 - V)}$ .

$x \frac{d V}{d x} = \sqrt{(1 + V) (1 - V)}$

Этап 6.1.1.3

Разделим каждый член $x \frac{d V}{d x} = \sqrt{(1 + V) (1 - V)}$ на $x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.1

Разделим каждый член $x \frac{d V}{d x} = \sqrt{(1 + V) (1 - V)}$ на $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

Этап 6.1.1.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

Этап 6.1.1.3.2.1.2

Разделим $\frac{d V}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

Этап 6.1.2

Умножим обе части на $\frac{1}{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

Этап 6.1.3

Сократим общий множитель $\sqrt{(1 + V) (1 - V)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

Этап 6.1.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Этап 6.1.4

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}} d V = \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Составим полный квадрат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1.1

Развернем $(1 + V) (1 - V)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$1 (1 - V) + V (1 - V)$

Этап 6.2.2.1.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$1 \cdot 1 + 1 (- V) + V (1 - V)$

Этап 6.2.2.1.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$1 \cdot 1 + 1 (- V) + V \cdot 1 + V (- V)$

Этап 6.2.2.1.1.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1.2.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$1 + 1 (- V) + V \cdot 1 + V (- V)$

Этап 6.2.2.1.1.2.1.2

Умножим $- V$ на $1$ .

$1 - V + V \cdot 1 + V (- V)$

Этап 6.2.2.1.1.2.1.3

Умножим $V$ на $1$ .

$1 - V + V + V (- V)$

Этап 6.2.2.1.1.2.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$1 - V + V - V \cdot V$

Этап 6.2.2.1.1.2.1.5

Умножим $V$ на $V$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1.2.1.5.1

Перенесем $V$ .

$1 - V + V - (V \cdot V)$

Этап 6.2.2.1.1.2.1.5.2

Умножим $V$ на $V$ .

$1 - V + V - V^{2}$

Этап 6.2.2.1.1.2.2

Добавим $- V$ и $V$ .

$1 + 0 - V^{2}$

Этап 6.2.2.1.1.2.3

Добавим $1$ и $0$ .

$1 - V^{2}$

Этап 6.2.2.1.1.3

Изменим порядок $1$ и $- V^{2}$ .

$- V^{2} + 1$

Этап 6.2.2.1.2

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = - 1$

$b = 0$

$c = 1$

Этап 6.2.2.1.3

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 6.2.2.1.4

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.4.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{0}{2 \cdot - 1}$

Этап 6.2.2.1.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.4.2.1

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.4.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$d = \frac{2 (0)}{2 \cdot - 1}$

Этап 6.2.2.1.4.2.1.2

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{0}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 0$

Этап 6.2.2.1.4.2.2

Перепишем $- 1 \cdot 0$ в виде $- 0$ .

$d = - 0$

Этап 6.2.2.1.4.2.3

Умножим $- 1$ на $0$ .

$d = 0$

Этап 6.2.2.1.5

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.5.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 1 - \frac{0^{2}}{4 \cdot - 1}$

Этап 6.2.2.1.5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.5.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$e = 1 - \frac{0}{4 \cdot - 1}$

Этап 6.2.2.1.5.2.1.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$e = 1 - \frac{0}{- 4}$

Этап 6.2.2.1.5.2.1.3

Разделим $0$ на $- 4$ .

$e = 1 - 0$

Этап 6.2.2.1.5.2.1.4

Умножим $- 1$ на $0$ .

$e = 1 + 0$

Этап 6.2.2.1.5.2.2

Добавим $1$ и $0$ .

$e = 1$

Этап 6.2.2.1.6

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $- {(V + 0)}^{2} + 1$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{- {(V + 0)}^{2} + 1}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.2

Пусть $u = V + 0$ . Тогда $d u = d V$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1

Пусть $u = V + 0$ . Найдем $\frac{d u}{d V}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1.1

Дифференцируем $V + 0$ .

$\frac{d}{d V} [V + 0]$

Этап 6.2.2.2.1.2

По правилу суммы производная $V + 0$ по $V$ имеет вид $\frac{d}{d V} [V] + \frac{d}{d V} [0]$ .

$\frac{d}{d V} [V] + \frac{d}{d V} [0]$

Этап 6.2.2.2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ имеет вид $n V^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d V} [0]$

Этап 6.2.2.2.1.4

Поскольку $0$ является константой относительно $V$ , производная $0$ относительно $V$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 6.2.2.2.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 6.2.2.2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + 1}} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.3.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + 1^{2}}} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.3.2

Изменим порядок $- u^{2}$ и $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.4

Интеграл $\frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}}$ по $u$ имеет вид $\arcsin (u)$ .

$\arcsin (u) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.5

Заменим все вхождения $u$ на $V + 0$ .

$\arcsin (V + 0) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.6

Добавим $V$ и $0$ .

$\arcsin (V) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.3

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$\arcsin (V) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Этап 6.2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\arcsin (V) = \ln (| x |) + C$

Этап 6.3

Возьмем обратный арксинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $V$ из арксинуса.

$V = \sin (\ln (| x |) + C)$

Этап 7

Подставим $\frac{y}{x}$ вместо $V$ .

$\frac{y}{x} = \sin (\ln (| x |) + C)$

Этап 8

Решим $\frac{y}{x} = \sin (\ln (| x |) + C)$ относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Умножим обе части на $x$ .

$\frac{y}{x} x = \sin (\ln (| x |) + C) x$

Этап 8.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y}{x} x = \sin (\ln (| x |) + C) x$

Этап 8.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$y = \sin (\ln (| x |) + C) x$

Этап 8.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Изменим порядок множителей в $\sin (\ln (| x |) + C) x$ .

$y = x \sin (\ln (| x |) + C)$