Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{1 - x}$ , $y (0) = 1$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2}}{1 - x}$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2}}{1 - x}$

Этап 1.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 - x}$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{1}{1 - x} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{y^{2}} d y = \int \frac{1}{1 - x} d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Вынесем $y^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int {(y^{2})}^{- 1} d y = \int \frac{1}{1 - x} d x$

Этап 2.2.1.2

Перемножим экспоненты в ${(y^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{2 \cdot - 1} d y = \int \frac{1}{1 - x} d x$

Этап 2.2.1.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\int y^{- 2} d y = \int \frac{1}{1 - x} d x$

Этап 2.2.2

По правилу степени интеграл $y^{- 2}$ по $y$ имеет вид $- y^{- 1}$ .

$- y^{- 1} + C_{1} = \int \frac{1}{1 - x} d x$

Этап 2.2.3

Перепишем $- y^{- 1} + C_{1}$ в виде $- \frac{1}{y} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int \frac{1}{1 - x} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Пусть $u = 1 - x$ . Тогда $d u = - d x$ , следовательно $- d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Пусть $u = 1 - x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.1

Перепишем.

$\frac{- 1}{1}$

Этап 2.3.1.1.2

Разделим $- 1$ на $1$ .

$- 1$

Этап 2.3.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int \frac{- 1}{u} d u$

Этап 2.3.2

Разделим дробь на несколько дробей.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int - \frac{1}{u} d u$

Этап 2.3.3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \int \frac{1}{u} d u$

Этап 2.3.4

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - (\ln (| u |) + C_{2})$

Этап 2.3.5

Упростим.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \ln (| u |) + C_{2}$

Этап 2.3.6

Заменим все вхождения $u$ на $1 - x$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \ln (| 1 - x |) + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$- \frac{1}{y} = - \ln (| 1 - x |) + C$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$y, 1, 1$

Этап 3.1.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$y$

Этап 3.2

Каждый член в $- \frac{1}{y} = - \ln (| 1 - x |) + C$ умножим на $y$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Умножим каждый член $- \frac{1}{y} = - \ln (| 1 - x |) + C$ на $y$ .

$- \frac{1}{y} y = - \ln (| 1 - x |) y + C y$

Этап 3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{y}$ в числитель.

$\frac{- 1}{y} y = - \ln (| 1 - x |) y + C y$

Этап 3.2.2.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1}{y} y = - \ln (| 1 - x |) y + C y$

Этап 3.2.2.1.3

Перепишем это выражение.

$- 1 = - \ln (| 1 - x |) y + C y$

Этап 3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Изменим порядок множителей в $- \ln (| 1 - x |) y + C y$ .

$- 1 = - y \ln (| 1 - x |) + C y$

Этап 3.3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем уравнение в виде $- y \ln (| 1 - x |) + C y = - 1$ .

$- y \ln (| 1 - x |) + C y = - 1$

Этап 3.3.2

Вынесем множитель $y$ из $- y \ln (| 1 - x |) + C y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Вынесем множитель $y$ из $- y \ln (| 1 - x |)$ .

$y (- 1 \ln (| 1 - x |)) + C y = - 1$

Этап 3.3.2.2

Вынесем множитель $y$ из $C y$ .

$y (- 1 \ln (| 1 - x |)) + y C = - 1$

Этап 3.3.2.3

Вынесем множитель $y$ из $y (- 1 \ln (| 1 - x |)) + y C$ .

$y (- 1 \ln (| 1 - x |) + C) = - 1$

Этап 3.3.3

Перепишем $- 1 \ln (| 1 - x |)$ в виде $- \ln (| 1 - x |)$ .

$y (- \ln (| 1 - x |) + C) = - 1$

Этап 3.3.4

Разделим каждый член $y (- \ln (| 1 - x |) + C) = - 1$ на $- \ln (| 1 - x |) + C$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.1

Разделим каждый член $y (- \ln (| 1 - x |) + C) = - 1$ на $- \ln (| 1 - x |) + C$ .

$\frac{y (- \ln (| 1 - x |) + C)}{- \ln (| 1 - x |) + C} = \frac{- 1}{- \ln (| 1 - x |) + C}$

Этап 3.3.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.2.1

Сократим общий множитель $- \ln (| 1 - x |) + C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y (- \ln (| 1 - x |) + C)}{- \ln (| 1 - x |) + C} = \frac{- 1}{- \ln (| 1 - x |) + C}$

Этап 3.3.4.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{- 1}{- \ln (| 1 - x |) + C}$

Этап 3.3.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{1}{- \ln (| 1 - x |) + C}$

Этап 3.3.4.3.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- \ln (| 1 - x |)$ .

$y = - \frac{1}{- (\ln (| 1 - x |)) + C}$

Этап 3.3.4.3.3

Вынесем множитель $- 1$ из $C$ .

$y = - \frac{1}{- (\ln (| 1 - x |)) - 1 (- C)}$

Этап 3.3.4.3.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (\ln (| 1 - x |)) - 1 (- C)$ .

$y = - \frac{1}{- (\ln (| 1 - x |) - C)}$

Этап 3.3.4.3.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.3.5.1

Перепишем $- (\ln (| 1 - x |) - C)$ в виде $- 1 (\ln (| 1 - x |) - C)$ .

$y = - \frac{1}{- 1 (\ln (| 1 - x |) - C)}$

Этап 3.3.4.3.5.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - - \frac{1}{\ln (| 1 - x |) - C}$

Этап 3.3.4.3.5.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y = 1 \frac{1}{\ln (| 1 - x |) - C}$

Этап 3.3.4.3.5.4

Умножим $\frac{1}{\ln (| 1 - x |) - C}$ на $1$ .

$y = \frac{1}{\ln (| 1 - x |) - C}$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \frac{1}{\ln (| 1 - x |) + C}$

Этап 5

Используем начальное условие, чтобы найти значение $C$ , подставив $0$ вместо $x$ и $1$ вместо $y$ в $y = \frac{1}{\ln (| 1 - x |) + C}$ .

$1 = \frac{1}{\ln (| 1 + 0 |) + C}$

Этап 6

Решим относительно $C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{1}{\ln (| 1 + 0 |) + C} = 1$ .

$\frac{1}{\ln (| 1 + 0 |) + C} = 1$

Этап 6.2

Разложим на множители каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{1}{\ln (| 1 |) + C} = 1$

Этап 6.2.2

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{1}{\ln (1) + C} = 1$

Этап 6.2.3

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$\frac{1}{0 + C} = 1$

Этап 6.2.4

Добавим $0$ и $C$ .

$\frac{1}{C} = 1$

Этап 6.3

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$C, 1$

Этап 6.3.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$C$

Этап 6.4

Каждый член в $\frac{1}{C} = 1$ умножим на $C$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Умножим каждый член $\frac{1}{C} = 1$ на $C$ .

$\frac{1}{C} C = 1 C$

Этап 6.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1

Сократим общий множитель $C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{C} C = 1 C$

Этап 6.4.2.1.2

Перепишем это выражение.

$1 = 1 C$

Этап 6.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.3.1

Умножим $C$ на $1$ .

$1 = C$

Этап 6.5

Перепишем уравнение в виде $C = 1$ .

$C = 1$

Этап 7

Подставим $1$ вместо $C$ в $y = \frac{1}{\ln (| 1 - x |) + C}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Подставим $1$ вместо $C$ .

$y = \frac{1}{\ln (| 1 - x |) + 1}$