Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d t} = \sin (t) + 1$ , $y (\frac{π}{3}) = \frac{1}{2}$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d y = (\sin (t) + 1) d t$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int \sin (t) + 1 d t$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int \sin (t) + 1 d t$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$y + C_{1} = \int \sin (t) d t + \int d t$

Этап 2.3.2

Интеграл $\sin (t)$ по $t$ имеет вид $- \cos (t)$ .

$y + C_{1} = - \cos (t) + C_{2} + \int d t$

Этап 2.3.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = - \cos (t) + C_{2} + t + C_{3}$

Этап 2.3.4

Упростим.

$y + C_{1} = - \cos (t) + t + C_{4}$

Этап 2.3.5

Изменим порядок членов.

$y + C_{1} = t - \cos (t) + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$y = t - \cos (t) + K$

Этап 3

Используем начальное условие, чтобы найти значение $K$ , подставив $\frac{π}{3}$ вместо $t$ и $\frac{1}{2}$ вместо $y$ в $y = t - \cos (t) + K$ .

$\frac{1}{2} = \frac{π}{3} - \cos (\frac{π}{3}) + K$

Этап 4

Решим относительно $K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{π}{3} - \cos (\frac{π}{3}) + K = \frac{1}{2}$ .

$\frac{π}{3} - \cos (\frac{π}{3}) + K = \frac{1}{2}$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Точное значение $\cos (\frac{π}{3})$ : $\frac{1}{2}$ .

$\frac{π}{3} - \frac{1}{2} + K = \frac{1}{2}$

Этап 4.3

Перенесем все члены без $K$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Вычтем $\frac{π}{3}$ из обеих частей уравнения.

$- \frac{1}{2} + K = \frac{1}{2} - \frac{π}{3}$

Этап 4.3.2

Добавим $\frac{1}{2}$ к обеим частям уравнения.

$K = \frac{1}{2} - \frac{π}{3} + \frac{1}{2}$

Этап 4.3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$K = \frac{1 + 1}{2} + \frac{- π}{3}$

Этап 4.3.4

Добавим $1$ и $1$ .

$K = \frac{2}{2} + \frac{- π}{3}$

Этап 4.3.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.1

Разделим $2$ на $2$ .

$K = 1 + \frac{- π}{3}$

Этап 4.3.5.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$K = 1 - \frac{π}{3}$

Этап 5

Подставим $1 - \frac{π}{3}$ вместо $K$ в $y = t - \cos (t) + K$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подставим $1 - \frac{π}{3}$ вместо $K$ .

$y = t - \cos (t) + 1 - \frac{π}{3}$