Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} - 2 y = 4 - x$

Этап 1

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (x) d x}$ , где $P (x) = - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int - 2 d x}$

Этап 1.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$e^{- 2 x + C}$

Этап 1.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{- 2 x}$

Этап 2

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $e^{- 2 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член на $e^{- 2 x}$ .

$e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} + e^{- 2 x} (- 2 y) = e^{- 2 x} \cdot 4 + e^{- 2 x} (- x)$

Этап 2.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- 2 x} y = e^{- 2 x} \cdot 4 + e^{- 2 x} (- x)$

Этап 2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Перенесем $4$ влево от $e^{- 2 x}$ .

$e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- 2 x} y = 4 \cdot e^{- 2 x} + e^{- 2 x} (- x)$

Этап 2.3.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- 2 x} y = 4 e^{- 2 x} - e^{- 2 x} x$

Этап 2.4

Изменим порядок множителей в $e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- 2 x} y = 4 e^{- 2 x} - e^{- 2 x} x$ .

$e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} - 2 y e^{- 2 x} = 4 e^{- 2 x} - x e^{- 2 x}$

Этап 3

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [e^{- 2 x} y] = 4 e^{- 2 x} - x e^{- 2 x}$

Этап 4

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- 2 x} y] d x = \int 4 e^{- 2 x} - x e^{- 2 x} d x$

Этап 5

Проинтегрируем левую часть.

$e^{- 2 x} y = \int 4 e^{- 2 x} - x e^{- 2 x} d x$

Этап 6

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$e^{- 2 x} y = \int 4 e^{- 2 x} d x + \int - x e^{- 2 x} d x$

Этап 6.2

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$e^{- 2 x} y = 4 \int e^{- 2 x} d x + \int - x e^{- 2 x} d x$

Этап 6.3

Пусть $u_{1} = - 2 x$ . Тогда $d u_{1} = - 2 d x$ , следовательно $- \frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Пусть $u_{1} = - 2 x$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1

Дифференцируем $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

Этап 6.3.1.2

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 6.3.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Этап 6.3.1.4

Умножим $- 2$ на $1$ .

$- 2$

Этап 6.3.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$e^{- 2 x} y = 4 \int e^{u_{1}} \frac{1}{- 2} d u_{1} + \int - x e^{- 2 x} d x$

Этап 6.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$e^{- 2 x} y = 4 \int e^{u_{1}} (- \frac{1}{2}) d u_{1} + \int - x e^{- 2 x} d x$

Этап 6.4.2

Объединим $e^{u_{1}}$ и $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = 4 \int - \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1} + \int - x e^{- 2 x} d x$

Этап 6.5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$e^{- 2 x} y = 4 (- \int \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1}) + \int - x e^{- 2 x} d x$

Этап 6.6

Умножим $- 1$ на $4$ .

$e^{- 2 x} y = - 4 \int \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1} + \int - x e^{- 2 x} d x$

Этап 6.7

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$e^{- 2 x} y = - 4 (\frac{1}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int - x e^{- 2 x} d x$

Этап 6.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 4$ .

$e^{- 2 x} y = \frac{- 4}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int - x e^{- 2 x} d x$

Этап 6.8.2

Сократим общий множитель $- 4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 4$ .

$e^{- 2 x} y = \frac{2 \cdot - 2}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int - x e^{- 2 x} d x$

Этап 6.8.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$e^{- 2 x} y = \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int - x e^{- 2 x} d x$

Этап 6.8.2.2.2

Сократим общий множитель.

$e^{- 2 x} y = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int - x e^{- 2 x} d x$

Этап 6.8.2.2.3

Перепишем это выражение.

$e^{- 2 x} y = \frac{- 2}{1} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int - x e^{- 2 x} d x$

Этап 6.8.2.2.4

Разделим $- 2$ на $1$ .

$e^{- 2 x} y = - 2 \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int - x e^{- 2 x} d x$

Этап 6.9

Интеграл $e^{u_{1}}$ по $u_{1}$ имеет вид $e^{u_{1}}$ .

$e^{- 2 x} y = - 2 (e^{u_{1}} + C) + \int - x e^{- 2 x} d x$

Этап 6.10

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$e^{- 2 x} y = - 2 (e^{u_{1}} + C) - \int x e^{- 2 x} d x$

Этап 6.11

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x$ и $d v = e^{- 2 x}$ .

$e^{- 2 x} y = - 2 (e^{u_{1}} + C) - (x (- \frac{1}{2} e^{- 2 x}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x)$

Этап 6.12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.12.1

Объединим $e^{- 2 x}$ и $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = - 2 (e^{u_{1}} + C) - (x (- \frac{e^{- 2 x}}{2}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x)$

Этап 6.12.2

Объединим $x$ и $\frac{e^{- 2 x}}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = - 2 (e^{u_{1}} + C) - (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x)$

Этап 6.12.3

Объединим $e^{- 2 x}$ и $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = - 2 (e^{u_{1}} + C) - (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \int - \frac{e^{- 2 x}}{2} d x)$

Этап 6.13

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$e^{- 2 x} y = - 2 (e^{u_{1}} + C) - (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - - \int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x)$

Этап 6.14

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.14.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$e^{- 2 x} y = - 2 (e^{u_{1}} + C) - (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + 1 \int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x)$

Этап 6.14.2

Умножим $\int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x$ на $1$ .

$e^{- 2 x} y = - 2 (e^{u_{1}} + C) - (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x)$

Этап 6.15

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$e^{- 2 x} y = - 2 (e^{u_{1}} + C) - (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{- 2 x} d x)$

Этап 6.16

Пусть $u_{2} = - 2 x$ . Тогда $d u_{2} = - 2 d x$ , следовательно $- \frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.16.1

Пусть $u_{2} = - 2 x$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.16.1.1

Дифференцируем $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

Этап 6.16.1.2

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 6.16.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Этап 6.16.1.4

Умножим $- 2$ на $1$ .

$- 2$

Этап 6.16.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$e^{- 2 x} y = - 2 (e^{u_{1}} + C) - (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{u_{2}} \frac{1}{- 2} d u_{2})$

Этап 6.17

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.17.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$e^{- 2 x} y = - 2 (e^{u_{1}} + C) - (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{u_{2}} (- \frac{1}{2}) d u_{2})$

Этап 6.17.2

Объединим $e^{u_{2}}$ и $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = - 2 (e^{u_{1}} + C) - (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int - \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2})$

Этап 6.18

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$e^{- 2 x} y = - 2 (e^{u_{1}} + C) - (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} (- \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}))$

Этап 6.19

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$e^{- 2 x} y = - 2 (e^{u_{1}} + C) - (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} (- (\frac{1}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2})))$

Этап 6.20

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.20.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = - 2 (e^{u_{1}} + C) - (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Этап 6.20.2

Умножим $2$ на $2$ .

$e^{- 2 x} y = - 2 (e^{u_{1}} + C) - (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Этап 6.21

Интеграл $e^{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $e^{u_{2}}$ .

$e^{- 2 x} y = - 2 (e^{u_{1}} + C) - (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{2}} + C))$

Этап 6.22

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.22.1

Упростим.

$e^{- 2 x} y = - 2 e^{u_{1}} - (- \frac{1}{2} x e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u_{2}}) + C$

Этап 6.22.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.22.2.1

Объединим $x$ и $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = - 2 e^{u_{1}} - (- \frac{x}{2} e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u_{2}}) + C$

Этап 6.22.2.2

Объединим $e^{- 2 x}$ и $\frac{x}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = - 2 e^{u_{1}} - (- \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{1}{4} e^{u_{2}}) + C$

Этап 6.22.2.3

Объединим $e^{u_{2}}$ и $\frac{1}{4}$ .

$e^{- 2 x} y = - 2 e^{u_{1}} - (- \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{e^{u_{2}}}{4}) + C$

Этап 6.23

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.23.1

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $- 2 x$ .

$e^{- 2 x} y = - 2 e^{- 2 x} - (- \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{e^{u_{2}}}{4}) + C$

Этап 6.23.2

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $- 2 x$ .

$e^{- 2 x} y = - 2 e^{- 2 x} - (- \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

Этап 6.24

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.24.1

Применим свойство дистрибутивности.

$e^{- 2 x} y = - 2 e^{- 2 x} - - \frac{e^{- 2 x} x}{2} - - \frac{e^{- 2 x}}{4} + C$

Этап 6.24.2

Умножим $- - \frac{e^{- 2 x} x}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.24.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$e^{- 2 x} y = - 2 e^{- 2 x} + 1 \frac{e^{- 2 x} x}{2} - - \frac{e^{- 2 x}}{4} + C$

Этап 6.24.2.2

Умножим $\frac{e^{- 2 x} x}{2}$ на $1$ .

$e^{- 2 x} y = - 2 e^{- 2 x} + \frac{e^{- 2 x} x}{2} - - \frac{e^{- 2 x}}{4} + C$

Этап 6.24.3

Умножим $- - \frac{e^{- 2 x}}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.24.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$e^{- 2 x} y = - 2 e^{- 2 x} + \frac{e^{- 2 x} x}{2} + 1 \frac{e^{- 2 x}}{4} + C$

Этап 6.24.3.2

Умножим $\frac{e^{- 2 x}}{4}$ на $1$ .

$e^{- 2 x} y = - 2 e^{- 2 x} + \frac{e^{- 2 x} x}{2} + \frac{e^{- 2 x}}{4} + C$

Этап 6.24.4

Изменим порядок множителей в $\frac{e^{- 2 x} x}{2} + \frac{e^{- 2 x}}{4}$ .

$e^{- 2 x} y = - 2 e^{- 2 x} + \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{e^{- 2 x}}{4} + C$

Этап 6.25

Изменим порядок членов.

$e^{- 2 x} y = - 2 e^{- 2 x} + \frac{1}{2} x e^{- 2 x} + \frac{1}{4} e^{- 2 x} + C$

Этап 7

Разделим каждый член $e^{- 2 x} y = - 2 e^{- 2 x} + \frac{1}{2} x e^{- 2 x} + \frac{1}{4} e^{- 2 x} + C$ на $e^{- 2 x}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разделим каждый член $e^{- 2 x} y = - 2 e^{- 2 x} + \frac{1}{2} x e^{- 2 x} + \frac{1}{4} e^{- 2 x} + C$ на $e^{- 2 x}$ .

$\frac{e^{- 2 x} y}{e^{- 2 x}} = \frac{- 2 e^{- 2 x}}{e^{- 2 x}} + \frac{\frac{1}{2} x e^{- 2 x}}{e^{- 2 x}} + \frac{\frac{1}{4} e^{- 2 x}}{e^{- 2 x}} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

Этап 7.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Сократим общий множитель $e^{- 2 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{- 2 x} y}{e^{- 2 x}} = \frac{- 2 e^{- 2 x}}{e^{- 2 x}} + \frac{\frac{1}{2} x e^{- 2 x}}{e^{- 2 x}} + \frac{\frac{1}{4} e^{- 2 x}}{e^{- 2 x}} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

Этап 7.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{- 2 e^{- 2 x}}{e^{- 2 x}} + \frac{\frac{1}{2} x e^{- 2 x}}{e^{- 2 x}} + \frac{\frac{1}{4} e^{- 2 x}}{e^{- 2 x}} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

Этап 7.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{- 2 e^{- 2 x} + \frac{1}{2} x e^{- 2 x} + \frac{1}{4} e^{- 2 x} + C}{e^{- 2 x}}$

Этап 7.3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x$ .

$y = \frac{- 2 e^{- 2 x} + \frac{x}{2} e^{- 2 x} + \frac{1}{4} e^{- 2 x} + C}{e^{- 2 x}}$

Этап 7.3.2.2

Объединим $\frac{x}{2}$ и $e^{- 2 x}$ .

$y = \frac{- 2 e^{- 2 x} + \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{4} e^{- 2 x} + C}{e^{- 2 x}}$

Этап 7.3.2.3

Объединим $\frac{1}{4}$ и $e^{- 2 x}$ .

$y = \frac{- 2 e^{- 2 x} + \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Этап 7.3.3

Чтобы записать $- 2 e^{- 2 x}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{\frac{x e^{- 2 x}}{2} - 2 e^{- 2 x} \cdot \frac{4}{4} + \frac{e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Этап 7.3.4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.4.1

Объединим $- 2 e^{- 2 x}$ и $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{\frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{- 2 e^{- 2 x} \cdot 4}{4} + \frac{e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Этап 7.3.4.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{\frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{- 2 e^{- 2 x} \cdot 4 + e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Этап 7.3.4.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.4.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.4.3.1.1

Вынесем множитель $e^{- 2 x}$ из $- 2 e^{- 2 x} \cdot 4 + e^{- 2 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.4.3.1.1.1

Вынесем множитель $e^{- 2 x}$ из $- 2 e^{- 2 x} \cdot 4$ .

$y = \frac{\frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{e^{- 2 x} (- 2 \cdot 4) + e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Этап 7.3.4.3.1.1.2

Умножим на $1$ .

$y = \frac{\frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{e^{- 2 x} (- 2 \cdot 4) + e^{- 2 x} \cdot 1}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Этап 7.3.4.3.1.1.3

Вынесем множитель $e^{- 2 x}$ из $e^{- 2 x} (- 2 \cdot 4) + e^{- 2 x} \cdot 1$ .

$y = \frac{\frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{e^{- 2 x} (- 2 \cdot 4 + 1)}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Этап 7.3.4.3.1.2

Умножим $- 2$ на $4$ .

$y = \frac{\frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{e^{- 2 x} (- 8 + 1)}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Этап 7.3.4.3.1.3

Добавим $- 8$ и $1$ .

$y = \frac{\frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{e^{- 2 x} \cdot - 7}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Этап 7.3.4.3.2

Перенесем $- 7$ влево от $e^{- 2 x}$ .

$y = \frac{\frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{- 7 \cdot e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Этап 7.3.4.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = \frac{\frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{7 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Этап 7.3.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.5.1

Чтобы записать $\frac{x e^{- 2 x}}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{\frac{x e^{- 2 x}}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{7 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Этап 7.3.5.2

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $4$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.5.2.1

Умножим $\frac{x e^{- 2 x}}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{\frac{x e^{- 2 x} \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{7 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Этап 7.3.5.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$y = \frac{\frac{x e^{- 2 x} \cdot 2}{4} - \frac{7 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Этап 7.3.5.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{\frac{x e^{- 2 x} \cdot 2 - 7 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Этап 7.3.5.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.5.4.1

Перенесем $2$ влево от $x e^{- 2 x}$ .

$y = \frac{\frac{2 \cdot (x e^{- 2 x}) - 7 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Этап 7.3.5.4.2

Вынесем множитель $e^{- 2 x}$ из $2 x e^{- 2 x} - 7 e^{- 2 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.5.4.2.1

Вынесем множитель $e^{- 2 x}$ из $2 x e^{- 2 x}$ .

$y = \frac{\frac{e^{- 2 x} (2 x) - 7 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Этап 7.3.5.4.2.2

Вынесем множитель $e^{- 2 x}$ из $- 7 e^{- 2 x}$ .

$y = \frac{\frac{e^{- 2 x} (2 x) + e^{- 2 x} \cdot - 7}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Этап 7.3.5.4.2.3

Вынесем множитель $e^{- 2 x}$ из $e^{- 2 x} (2 x) + e^{- 2 x} \cdot - 7$ .

$y = \frac{\frac{e^{- 2 x} (2 x - 7)}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Этап 7.3.5.5

Чтобы записать $C$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{\frac{e^{- 2 x} (2 x - 7)}{4} + C \cdot \frac{4}{4}}{e^{- 2 x}}$

Этап 7.3.5.6

Объединим $C$ и $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{\frac{e^{- 2 x} (2 x - 7)}{4} + \frac{C \cdot 4}{4}}{e^{- 2 x}}$

Этап 7.3.5.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{\frac{e^{- 2 x} (2 x - 7) + C \cdot 4}{4}}{e^{- 2 x}}$

Этап 7.3.5.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.5.8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{\frac{e^{- 2 x} (2 x) + e^{- 2 x} \cdot - 7 + C \cdot 4}{4}}{e^{- 2 x}}$

Этап 7.3.5.8.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$y = \frac{\frac{2 e^{- 2 x} x + e^{- 2 x} \cdot - 7 + C \cdot 4}{4}}{e^{- 2 x}}$

Этап 7.3.5.8.3

Перенесем $- 7$ влево от $e^{- 2 x}$ .

$y = \frac{\frac{2 e^{- 2 x} x - 7 \cdot e^{- 2 x} + C \cdot 4}{4}}{e^{- 2 x}}$

Этап 7.3.5.8.4

Перенесем $4$ влево от $C$ .

$y = \frac{\frac{2 e^{- 2 x} x - 7 e^{- 2 x} + 4 C}{4}}{e^{- 2 x}}$

Этап 7.3.6

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$y = \frac{2 e^{- 2 x} x - 7 e^{- 2 x} + 4 C}{4} \cdot \frac{1}{e^{- 2 x}}$

Этап 7.3.7

Умножим $\frac{2 e^{- 2 x} x - 7 e^{- 2 x} + 4 C}{4}$ на $\frac{1}{e^{- 2 x}}$ .

$y = \frac{2 e^{- 2 x} x - 7 e^{- 2 x} + 4 C}{4 e^{- 2 x}}$

Этап 7.3.8

Изменим порядок множителей в $\frac{2 e^{- 2 x} x - 7 e^{- 2 x} + 4 C}{4 e^{- 2 x}}$ .

$y = \frac{2 x e^{- 2 x} - 7 e^{- 2 x} + 4 C}{4 e^{- 2 x}}$