Математический анализ Примеры

$x^{2} + y^{2} + x y y' = 0$

Этап 1

Перепишем дифференциальное уравнение.

$x^{2} + y^{2} + x y \frac{d y}{d x} = 0$

Этап 2

Перепишем дифференциальное уравнение в виде функции от $\frac{y}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Решим относительно $\frac{d y}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Перенесем все члены без $\frac{d y}{d x}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Вычтем $x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$y^{2} + x y \frac{d y}{d x} = - x^{2}$

Этап 2.1.1.2

Вычтем $y^{2}$ из обеих частей уравнения.

$x y \frac{d y}{d x} = - x^{2} - y^{2}$

Этап 2.1.2

Разделим каждый член $x y \frac{d y}{d x} = - x^{2} - y^{2}$ на $x y$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Разделим каждый член $x y \frac{d y}{d x} = - x^{2} - y^{2}$ на $x y$ .

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{- x^{2}}{x y} + \frac{- y^{2}}{x y}$

Этап 2.1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{- x^{2}}{x y} + \frac{- y^{2}}{x y}$

Этап 2.1.2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{- x^{2}}{x y} + \frac{- y^{2}}{x y}$

Этап 2.1.2.2.2

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{- x^{2}}{x y} + \frac{- y^{2}}{x y}$

Этап 2.1.2.2.2.2

Разделим $\frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x^{2}}{x y} + \frac{- y^{2}}{x y}$

Этап 2.1.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.1.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.1.1.1

Вынесем множитель $x$ из $- x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (- x)}{x y} + \frac{- y^{2}}{x y}$

Этап 2.1.2.3.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.1.1.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (- x)}{x (y)} + \frac{- y^{2}}{x y}$

Этап 2.1.2.3.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (- x)}{x y} + \frac{- y^{2}}{x y}$

Этап 2.1.2.3.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x}{y} + \frac{- y^{2}}{x y}$

Этап 2.1.2.3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{y} + \frac{- y^{2}}{x y}$

Этап 2.1.2.3.1.3

Сократим общий множитель $y^{2}$ и $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.1.3.1

Вынесем множитель $y$ из $- y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{y} + \frac{y (- y)}{x y}$

Этап 2.1.2.3.1.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.1.3.2.1

Вынесем множитель $y$ из $x y$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{y} + \frac{y (- y)}{y x}$

Этап 2.1.2.3.1.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{y} + \frac{y (- y)}{y x}$

Этап 2.1.2.3.1.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{y} + \frac{- y}{x}$

Этап 2.1.2.3.1.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{y} - \frac{y}{x}$

Этап 2.2

Перепишем $\frac{x}{y}$ в виде ${(\frac{y}{x})}^{- 1}$ .

$\frac{d y}{d x} = - {(\frac{y}{x})}^{- 1} - \frac{y}{x}$

Этап 3

Пусть $V = \frac{y}{x}$ . Подставим $V$ вместо $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - V^{- 1} - V$

Этап 4

Решим $V = \frac{y}{x}$ относительно $y$ .

$y = V x$

Этап 5

Применим правило умножения, чтобы найти производную $y = V x$ по $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Этап 6

Подставим $x \frac{d V}{d x} + V$ вместо $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = - V^{- 1} - V$

Этап 7

Решим подставленное дифференциальное уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Решим относительно $\frac{d V}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = - \frac{1}{V} - V$

Этап 7.1.1.2

Перенесем все члены без $\frac{d V}{d x}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.2.1

Вычтем $V$ из обеих частей уравнения.

$x \frac{d V}{d x} = - \frac{1}{V} - V - V$

Этап 7.1.1.2.2

Вычтем $V$ из $- V$ .

$x \frac{d V}{d x} = - \frac{1}{V} - 2 V$

Этап 7.1.1.3

Разделим каждый член $x \frac{d V}{d x} = - \frac{1}{V} - 2 V$ на $x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.3.1

Разделим каждый член $x \frac{d V}{d x} = - \frac{1}{V} - 2 V$ на $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{- \frac{1}{V}}{x} + \frac{- 2 V}{x}$

Этап 7.1.1.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.3.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{- \frac{1}{V}}{x} + \frac{- 2 V}{x}$

Этап 7.1.1.3.2.1.2

Разделим $\frac{d V}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{1}{V}}{x} + \frac{- 2 V}{x}$

Этап 7.1.1.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.3.3.1.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{d V}{d x} = - \frac{1}{V} \cdot \frac{1}{x} + \frac{- 2 V}{x}$

Этап 7.1.1.3.3.1.2

Умножим $\frac{1}{x}$ на $\frac{1}{V}$ .

$\frac{d V}{d x} = - \frac{1}{x V} + \frac{- 2 V}{x}$

Этап 7.1.1.3.3.1.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{d V}{d x} = - \frac{1}{x V} - \frac{2 V}{x}$

Этап 7.1.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- \frac{1}{x V} - \frac{2 V}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.1.1

Изменим порядок $- \frac{1}{x V}$ и $- \frac{2 V}{x}$ .

$\frac{d V}{d x} = - \frac{2 V}{x} - \frac{1}{x V}$

Этап 7.1.2.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- \frac{2 V}{x}$ .

$\frac{d V}{d x} = - (\frac{2 V}{x}) - \frac{1}{x V}$

Этап 7.1.2.1.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- \frac{1}{x V}$ .

$\frac{d V}{d x} = - (\frac{2 V}{x}) - (\frac{1}{x V})$

Этап 7.1.2.1.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (\frac{2 V}{x}) - (\frac{1}{x V})$ .

$\frac{d V}{d x} = - (\frac{2 V}{x} + \frac{1}{x V})$

Этап 7.1.2.2

Чтобы записать $\frac{2 V}{x}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{V}{V}$ .

$\frac{d V}{d x} = - (\frac{2 V}{x} \cdot \frac{V}{V} + \frac{1}{x V})$

Этап 7.1.2.3

Умножим $\frac{2 V}{x}$ на $\frac{V}{V}$ .

$\frac{d V}{d x} = - (\frac{2 V \cdot V}{x V} + \frac{1}{x V})$

Этап 7.1.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d V}{d x} = - \frac{2 V \cdot V + 1}{x V}$

Этап 7.1.2.5

Умножим $V$ на $V$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.5.1

Перенесем $V$ .

$\frac{d V}{d x} = - \frac{2 (V \cdot V) + 1}{x V}$

Этап 7.1.2.5.2

Умножим $V$ на $V$ .

$\frac{d V}{d x} = - \frac{2 V^{2} + 1}{x V}$

Этап 7.1.3

Перегруппируем множители.

$\frac{d V}{d x} = - \frac{2 V^{2} + 1}{V} \cdot \frac{1}{x}$

Этап 7.1.4

Умножим обе части на $\frac{V}{2 V^{2} + 1}$ .

$\frac{V}{2 V^{2} + 1} \frac{d V}{d x} = \frac{V}{2 V^{2} + 1} (- \frac{2 V^{2} + 1}{V} \cdot \frac{1}{x})$

Этап 7.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.5.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{V}{2 V^{2} + 1} \frac{d V}{d x} = - \frac{V}{2 V^{2} + 1} (\frac{2 V^{2} + 1}{V} \cdot \frac{1}{x})$

Этап 7.1.5.2

Умножим $\frac{2 V^{2} + 1}{V}$ на $\frac{1}{x}$ .

$\frac{V}{2 V^{2} + 1} \frac{d V}{d x} = - \frac{V}{2 V^{2} + 1} \cdot \frac{2 V^{2} + 1}{V x}$

Этап 7.1.5.3

Сократим общий множитель $V$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.5.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{V}{2 V^{2} + 1}$ в числитель.

$\frac{V}{2 V^{2} + 1} \frac{d V}{d x} = \frac{- V}{2 V^{2} + 1} \cdot \frac{2 V^{2} + 1}{V x}$

Этап 7.1.5.3.2

Вынесем множитель $V$ из $- V$ .

$\frac{V}{2 V^{2} + 1} \frac{d V}{d x} = \frac{V \cdot - 1}{2 V^{2} + 1} \cdot \frac{2 V^{2} + 1}{V x}$

Этап 7.1.5.3.3

Вынесем множитель $V$ из $V x$ .

$\frac{V}{2 V^{2} + 1} \frac{d V}{d x} = \frac{V \cdot - 1}{2 V^{2} + 1} \cdot \frac{2 V^{2} + 1}{V (x)}$

Этап 7.1.5.3.4

Сократим общий множитель.

$\frac{V}{2 V^{2} + 1} \frac{d V}{d x} = \frac{V \cdot - 1}{2 V^{2} + 1} \cdot \frac{2 V^{2} + 1}{V x}$

Этап 7.1.5.3.5

Перепишем это выражение.

$\frac{V}{2 V^{2} + 1} \frac{d V}{d x} = \frac{- 1}{2 V^{2} + 1} \cdot \frac{2 V^{2} + 1}{x}$

Этап 7.1.5.4

Сократим общий множитель $2 V^{2} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.5.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{V}{2 V^{2} + 1} \frac{d V}{d x} = \frac{- 1}{2 V^{2} + 1} \cdot \frac{2 V^{2} + 1}{x}$

Этап 7.1.5.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{V}{2 V^{2} + 1} \frac{d V}{d x} = - \frac{1}{x}$

Этап 7.1.6

Перепишем уравнение.

$\frac{V}{2 V^{2} + 1} d V = - \frac{1}{x} d x$

Этап 7.2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{V}{2 V^{2} + 1} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 7.2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Пусть $u = 2 V^{2} + 1$ . Тогда $d u = 4 V d V$ , следовательно $\frac{1}{4} d u = V d V$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.1

Пусть $u = 2 V^{2} + 1$ . Найдем $\frac{d u}{d V}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.1.1

Дифференцируем $2 V^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d V} [2 V^{2} + 1]$

Этап 7.2.2.1.1.2

По правилу суммы производная $2 V^{2} + 1$ по $V$ имеет вид $\frac{d}{d V} [2 V^{2}] + \frac{d}{d V} [1]$ .

$\frac{d}{d V} [2 V^{2}] + \frac{d}{d V} [1]$

Этап 7.2.2.1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d V} [2 V^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.1.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $V$ , производная $2 V^{2}$ по $V$ равна $2 \frac{d}{d V} [V^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d V} [V^{2}] + \frac{d}{d V} [1]$

Этап 7.2.2.1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ имеет вид $n V^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 (2 V) + \frac{d}{d V} [1]$

Этап 7.2.2.1.1.3.3

Умножим $2$ на $2$ .

$4 V + \frac{d}{d V} [1]$

Этап 7.2.2.1.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.1.4.1

Поскольку $1$ является константой относительно $V$ , производная $1$ относительно $V$ равна $0$ .

$4 V + 0$

Этап 7.2.2.1.1.4.2

Добавим $4 V$ и $0$ .

$4 V$

Этап 7.2.2.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{4} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 7.2.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.2.1

Умножим $\frac{1}{u}$ на $\frac{1}{4}$ .

$\int \frac{1}{u \cdot 4} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 7.2.2.2.2

Перенесем $4$ влево от $u$ .

$\int \frac{1}{4 u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 7.2.2.3

Поскольку $\frac{1}{4}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 7.2.2.4

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{4} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 7.2.2.5

Упростим.

$\frac{1}{4} \ln (| u |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 7.2.2.6

Заменим все вхождения $u$ на $2 V^{2} + 1$ .

$\frac{1}{4} \ln (| 2 V^{2} + 1 |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 7.2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{4} \ln (| 2 V^{2} + 1 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

Этап 7.2.3.2

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{4} \ln (| 2 V^{2} + 1 |) + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

Этап 7.2.3.3

Упростим.

$\frac{1}{4} \ln (| 2 V^{2} + 1 |) + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

Этап 7.2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\frac{1}{4} \ln (| 2 V^{2} + 1 |) = - \ln (| x |) + C$

Этап 7.3

Решим относительно $V$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Умножим обе части уравнения на $4$ .

$4 (\frac{1}{4} \ln (| 2 V^{2} + 1 |)) = 4 (- \ln (| x |) + C)$

Этап 7.3.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1.1

Упростим $4 (\frac{1}{4} \ln (| 2 V^{2} + 1 |))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1.1.1

Объединим $\frac{1}{4}$ и $\ln (| 2 V^{2} + 1 |)$ .

$4 \frac{\ln (| 2 V^{2} + 1 |)}{4} = 4 (- \ln (| x |) + C)$

Этап 7.3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$4 \frac{\ln (| 2 V^{2} + 1 |)}{4} = 4 (- \ln (| x |) + C)$

Этап 7.3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$\ln (| 2 V^{2} + 1 |) = 4 (- \ln (| x |) + C)$

Этап 7.3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.2.1

Упростим $4 (- \ln (| x |) + C)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (| 2 V^{2} + 1 |) = 4 (- \ln (| x |)) + 4 C$

Этап 7.3.2.2.1.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\ln (| 2 V^{2} + 1 |) = - 4 \ln (| x |) + 4 C$

Этап 7.3.3

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\ln (| 2 V^{2} + 1 |) + 4 \ln (| x |) = 4 C$

Этап 7.3.4

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.4.1

Упростим $\ln (| 2 V^{2} + 1 |) + 4 \ln (| x |)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.4.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.4.1.1.1

Упростим $4 \ln (| x |)$ путем переноса $4$ под логарифм.

$\ln (| 2 V^{2} + 1 |) + \ln ({| x |}^{4}) = 4 C$

Этап 7.3.4.1.1.2

Уберем знак модуля в ${| x |}^{4}$ , поскольку любое число в четной степени всегда положительное.

$\ln (| 2 V^{2} + 1 |) + \ln (x^{4}) = 4 C$

Этап 7.3.4.1.2

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| 2 V^{2} + 1 | x^{4}) = 4 C$

Этап 7.3.4.1.3

Изменим порядок множителей в $\ln (| 2 V^{2} + 1 | x^{4})$ .

$\ln (x^{4} | 2 V^{2} + 1 |) = 4 C$

Этап 7.3.5

Чтобы решить относительно $V$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (x^{4} | 2 V^{2} + 1 |)} = e^{4 C}$

Этап 7.3.6

Перепишем $\ln (x^{4} | 2 V^{2} + 1 |) = 4 C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{4 C} = x^{4} | 2 V^{2} + 1 |$

Этап 7.3.7

Решим относительно $V$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.7.1

Перепишем уравнение в виде $x^{4} | 2 V^{2} + 1 | = e^{4 C}$ .

$x^{4} | 2 V^{2} + 1 | = e^{4 C}$

Этап 7.3.7.2

Разделим каждый член $x^{4} | 2 V^{2} + 1 | = e^{4 C}$ на $x^{4}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.7.2.1

Разделим каждый член $x^{4} | 2 V^{2} + 1 | = e^{4 C}$ на $x^{4}$ .

$\frac{x^{4} | 2 V^{2} + 1 |}{x^{4}} = \frac{e^{4 C}}{x^{4}}$

Этап 7.3.7.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.7.2.2.1

Сократим общий множитель $x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.7.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{4} | 2 V^{2} + 1 |}{x^{4}} = \frac{e^{4 C}}{x^{4}}$

Этап 7.3.7.2.2.1.2

Разделим $| 2 V^{2} + 1 |$ на $1$ .

$| 2 V^{2} + 1 | = \frac{e^{4 C}}{x^{4}}$

Этап 7.3.7.3

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$2 V^{2} + 1 = \pm \frac{e^{4 C}}{x^{4}}$

Этап 7.3.7.4

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$2 V^{2} = \pm \frac{e^{4 C}}{x^{4}} - 1$

Этап 7.3.7.5

Разделим каждый член $2 V^{2} = \pm \frac{e^{4 C}}{x^{4}} - 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.7.5.1

Разделим каждый член $2 V^{2} = \pm \frac{e^{4 C}}{x^{4}} - 1$ на $2$ .

$\frac{2 V^{2}}{2} = \frac{\pm \frac{e^{4 C}}{x^{4}}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Этап 7.3.7.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.7.5.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.7.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 V^{2}}{2} = \frac{\pm \frac{e^{4 C}}{x^{4}}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Этап 7.3.7.5.2.1.2

Разделим $V^{2}$ на $1$ .

$V^{2} = \frac{\pm \frac{e^{4 C}}{x^{4}}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Этап 7.3.7.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.7.5.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$V^{2} = \frac{\pm \frac{e^{4 C}}{x^{4}}}{2} - \frac{1}{2}$

Этап 7.3.7.6

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$V = \pm \sqrt{\frac{\pm \frac{e^{4 C}}{x^{4}}}{2} - \frac{1}{2}}$

Этап 7.3.7.7

Упростим $\pm \sqrt{\frac{\pm \frac{e^{4 C}}{x^{4}}}{2} - \frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.7.7.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$V = \pm \sqrt{\frac{\pm \frac{e^{4 C}}{x^{4}} - 1}{2}}$

Этап 7.3.7.7.2

Перепишем $\sqrt{\frac{\pm \frac{e^{4 C}}{x^{4}} - 1}{2}}$ в виде $\frac{\sqrt{\pm \frac{e^{4 C}}{x^{4}} - 1}}{\sqrt{2}}$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm \frac{e^{4 C}}{x^{4}} - 1}}{\sqrt{2}}$

Этап 7.3.7.7.3

Умножим $\frac{\sqrt{\pm \frac{e^{4 C}}{x^{4}} - 1}}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm \frac{e^{4 C}}{x^{4}} - 1}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Этап 7.3.7.7.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.7.7.4.1

Умножим $\frac{\sqrt{\pm \frac{e^{4 C}}{x^{4}} - 1}}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm \frac{e^{4 C}}{x^{4}} - 1} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 7.3.7.7.4.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm \frac{e^{4 C}}{x^{4}} - 1} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Этап 7.3.7.7.4.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm \frac{e^{4 C}}{x^{4}} - 1} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Этап 7.3.7.7.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm \frac{e^{4 C}}{x^{4}} - 1} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Этап 7.3.7.7.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm \frac{e^{4 C}}{x^{4}} - 1} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Этап 7.3.7.7.4.6

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.7.7.4.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm \frac{e^{4 C}}{x^{4}} - 1} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 7.3.7.7.4.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm \frac{e^{4 C}}{x^{4}} - 1} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 7.3.7.7.4.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm \frac{e^{4 C}}{x^{4}} - 1} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 7.3.7.7.4.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.7.7.4.6.4.1

Сократим общий множитель.

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm \frac{e^{4 C}}{x^{4}} - 1} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 7.3.7.7.4.6.4.2

Перепишем это выражение.

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm \frac{e^{4 C}}{x^{4}} - 1} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Этап 7.3.7.7.4.6.5

Найдем экспоненту.

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm \frac{e^{4 C}}{x^{4}} - 1} \sqrt{2}}{2}$

Этап 7.3.7.7.5

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$V = \pm \frac{\sqrt{(\pm \frac{e^{4 C}}{x^{4}} - 1) \cdot 2}}{2}$

Этап 7.3.7.7.6

Изменим порядок множителей в $\pm \frac{\sqrt{(\pm \frac{e^{4 C}}{x^{4}} - 1) \cdot 2}}{2}$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{2 (\pm \frac{e^{4 C}}{x^{4}} - 1)}}{2}$

Этап 7.4

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Упростим постоянную интегрирования.

$V = \pm \frac{\sqrt{2 (\pm \frac{C}{x^{4}} - 1)}}{2}$

Этап 7.4.2

Объединим константы с плюсом или минусом.

$V = \pm \frac{\sqrt{2 (C \frac{1}{x^{4}} - 1)}}{2}$

Этап 8

Подставим $\frac{y}{x}$ вместо $V$ .

$\frac{y}{x} = \pm \frac{\sqrt{2 (C \frac{1}{x^{4}} - 1)}}{2}$

Этап 9

Решим $\frac{y}{x} = \pm \frac{\sqrt{2 (C \frac{1}{x^{4}} - 1)}}{2}$ относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Умножим обе части на $x$ .

$\frac{y}{x} x = (\pm \frac{\sqrt{2 (C (\frac{1}{x^{4}}) - 1)}}{2}) x$

Этап 9.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y}{x} x = (\pm \frac{\sqrt{2 (C (\frac{1}{x^{4}}) - 1)}}{2}) x$

Этап 9.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$y = (\pm \frac{\sqrt{2 (C (\frac{1}{x^{4}}) - 1)}}{2}) x$

Этап 9.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1

Упростим $(\pm \frac{\sqrt{2 (C (\frac{1}{x^{4}}) - 1)}}{2}) x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1.1.1

Объединим $C$ и $\frac{1}{x^{4}}$ .

$y = (\pm \frac{\sqrt{2 (\frac{C}{x^{4}} - 1)}}{2}) x$

Этап 9.2.2.1.1.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x^{4}}{x^{4}}$ .

$y = (\pm \frac{\sqrt{2 (\frac{C}{x^{4}} - 1 \cdot \frac{x^{4}}{x^{4}})}}{2}) x$

Этап 9.2.2.1.1.3

Объединим $- 1$ и $\frac{x^{4}}{x^{4}}$ .

$y = (\pm \frac{\sqrt{2 (\frac{C}{x^{4}} + \frac{- x^{4}}{x^{4}})}}{2}) x$

Этап 9.2.2.1.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = (\pm \frac{\sqrt{2 \frac{C - x^{4}}{x^{4}}}}{2}) x$

Этап 9.2.2.1.1.5

Объединим $2$ и $\frac{C - x^{4}}{x^{4}}$ .

$y = (\pm \frac{\sqrt{\frac{2 (C - x^{4})}{x^{4}}}}{2}) x$

Этап 9.2.2.1.1.6

Перепишем $\frac{2 (C - x^{4})}{x^{4}}$ в виде ${(\frac{1}{x^{2}})}^{2} (2 (C - x^{4}))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1.1.6.1

Вынесем полную степень $1^{2}$ из $2 (C - x^{4})$ .

$y = (\pm \frac{\sqrt{\frac{1^{2} (2 (C - x^{4}))}{x^{4}}}}{2}) x$

Этап 9.2.2.1.1.6.2

Вынесем полную степень ${(x^{2})}^{2}$ из $x^{4}$ .

$y = (\pm \frac{\sqrt{\frac{1^{2} (2 (C - x^{4}))}{{(x^{2})}^{2} \cdot 1}}}{2}) x$

Этап 9.2.2.1.1.6.3

Перегруппируем дробь $\frac{1^{2} (2 (C - x^{4}))}{{(x^{2})}^{2} \cdot 1}$ .

$y = (\pm \frac{\sqrt{{(\frac{1}{x^{2}})}^{2} (2 (C - x^{4}))}}{2}) x$

Этап 9.2.2.1.1.7

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = (\pm \frac{\frac{1}{x^{2}} \sqrt{2 (C - x^{4})}}{2}) x$

Этап 9.2.2.1.1.8

Объединим $\frac{1}{x^{2}}$ и $\sqrt{2 (C - x^{4})}$ .

$y = (\pm \frac{\frac{\sqrt{2 (C - x^{4})}}{x^{2}}}{2}) x$

Этап 9.2.2.1.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$y = (\pm \frac{\sqrt{2 (C - x^{4})}}{x^{2}} \cdot \frac{1}{2}) x$

Этап 9.2.2.1.3

Объединим.

$y = (\pm \frac{\sqrt{2 (C - x^{4})} \cdot 1}{x^{2} \cdot 2}) x$

Этап 9.2.2.1.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1.4.1

Умножим $\sqrt{2 (C - x^{4})}$ на $1$ .

$y = (\pm \frac{\sqrt{2 (C - x^{4})}}{x^{2} \cdot 2}) x$

Этап 9.2.2.1.4.2

Перенесем $2$ влево от $x^{2}$ .

$y = (\pm \frac{\sqrt{2 (C - x^{4})}}{2 x^{2}}) x$