Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x^{2}}{9 y^{2} - 4}$ , $y (2) = 0$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $9 y^{2} - 4$ .

$(9 y^{2} - 4) \frac{d y}{d x} = (9 y^{2} - 4) \frac{6 x^{2}}{9 y^{2} - 4}$

Этап 1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Перепишем $9 y^{2}$ в виде ${(3 y)}^{2}$ .

$(9 y^{2} - 4) \frac{d y}{d x} = (9 y^{2} - 4) \frac{6 x^{2}}{{(3 y)}^{2} - 4}$

Этап 1.2.1.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$(9 y^{2} - 4) \frac{d y}{d x} = (9 y^{2} - 4) \frac{6 x^{2}}{{(3 y)}^{2} - 2^{2}}$

Этап 1.2.1.3

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 3 y$ и $b = 2$ .

$(9 y^{2} - 4) \frac{d y}{d x} = (9 y^{2} - 4) \frac{6 x^{2}}{(3 y + 2) (3 y - 2)}$

Этап 1.2.2

Умножим $9 y^{2} - 4$ на $\frac{6 x^{2}}{(3 y + 2) (3 y - 2)}$ .

$(9 y^{2} - 4) \frac{d y}{d x} = \frac{(9 y^{2} - 4) (6 x^{2})}{(3 y + 2) (3 y - 2)}$

Этап 1.2.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Перепишем $9 y^{2}$ в виде ${(3 y)}^{2}$ .

$(9 y^{2} - 4) \frac{d y}{d x} = \frac{({(3 y)}^{2} - 4) \cdot 6 x^{2}}{(3 y + 2) (3 y - 2)}$

Этап 1.2.3.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$(9 y^{2} - 4) \frac{d y}{d x} = \frac{({(3 y)}^{2} - 2^{2}) \cdot 6 x^{2}}{(3 y + 2) (3 y - 2)}$

Этап 1.2.3.3

$(9 y^{2} - 4) \frac{d y}{d x} = \frac{(3 y + 2) (3 y - 2) \cdot 6 x^{2}}{(3 y + 2) (3 y - 2)}$

Этап 1.2.4

Сократим общий множитель $3 y + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Сократим общий множитель.

$(9 y^{2} - 4) \frac{d y}{d x} = \frac{(3 y + 2) (3 y - 2) \cdot 6 x^{2}}{(3 y + 2) (3 y - 2)}$

Этап 1.2.4.2

Перепишем это выражение.

$(9 y^{2} - 4) \frac{d y}{d x} = \frac{(3 y - 2) \cdot 6 x^{2}}{3 y - 2}$

Этап 1.2.5

Сократим общий множитель $3 y - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Сократим общий множитель.

$(9 y^{2} - 4) \frac{d y}{d x} = \frac{(3 y - 2) \cdot 6 x^{2}}{3 y - 2}$

Этап 1.2.5.2

Разделим $6 x^{2}$ на $1$ .

$(9 y^{2} - 4) \frac{d y}{d x} = 6 x^{2}$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$(9 y^{2} - 4) d y = 6 x^{2} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int 9 y^{2} - 4 d y = \int 6 x^{2} d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 9 y^{2} d y + \int - 4 d y = \int 6 x^{2} d x$

Этап 2.2.2

Поскольку $9$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $9$ из-под знака интеграла.

$9 \int y^{2} d y + \int - 4 d y = \int 6 x^{2} d x$

Этап 2.2.3

По правилу степени интеграл $y^{2}$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$9 (\frac{1}{3} y^{3} + C_{1}) + \int - 4 d y = \int 6 x^{2} d x$

Этап 2.2.4

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$9 (\frac{1}{3} y^{3} + C_{1}) - 4 y + C_{2} = \int 6 x^{2} d x$

Этап 2.2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $y^{3}$ .

$9 (\frac{y^{3}}{3} + C_{1}) - 4 y + C_{2} = \int 6 x^{2} d x$

Этап 2.2.5.2

Упростим.

$3 y^{3} - 4 y + C_{3} = \int 6 x^{2} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $6$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $6$ из-под знака интеграла.

$3 y^{3} - 4 y + C_{3} = 6 \int x^{2} d x$

Этап 2.3.2

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$3 y^{3} - 4 y + C_{3} = 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{4})$

Этап 2.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Перепишем $6 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{4})$ в виде $6 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{4}$ .

$3 y^{3} - 4 y + C_{3} = 6 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{4}$

Этап 2.3.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.1

Объединим $6$ и $\frac{1}{3}$ .

$3 y^{3} - 4 y + C_{3} = \frac{6}{3} x^{3} + C_{4}$

Этап 2.3.3.2.2

Сократим общий множитель $6$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$3 y^{3} - 4 y + C_{3} = \frac{3 \cdot 2}{3} x^{3} + C_{4}$

Этап 2.3.3.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$3 y^{3} - 4 y + C_{3} = \frac{3 \cdot 2}{3 (1)} x^{3} + C_{4}$

Этап 2.3.3.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$3 y^{3} - 4 y + C_{3} = \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} x^{3} + C_{4}$

Этап 2.3.3.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$3 y^{3} - 4 y + C_{3} = \frac{2}{1} x^{3} + C_{4}$

Этап 2.3.3.2.2.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$3 y^{3} - 4 y + C_{3} = 2 x^{3} + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$3 y^{3} - 4 y = 2 x^{3} + K$

Этап 3

Используем начальное условие, чтобы найти значение $K$ , подставив $2$ вместо $x$ и $0$ вместо $y$ в $3 y^{3} - 4 y = 2 x^{3} + K$ .

$3 \cdot 0^{3} - 4 \cdot 0 = 2 \cdot 2^{3} + K$

Этап 4

Решим относительно $K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $2 \cdot 2^{3} + K = 3 \cdot 0^{3} - 4 \cdot 0$ .

$2 \cdot 2^{3} + K = 3 \cdot 0^{3} - 4 \cdot 0$

Этап 4.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Умножим $2$ на $2^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Умножим $2$ на $2^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.1

Возведем $2$ в степень $1$ .

$2^{1} \cdot 2^{3} + K = 3 \cdot 0^{3} - 4 \cdot 0$

Этап 4.2.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2^{1 + 3} + K = 3 \cdot 0^{3} - 4 \cdot 0$

Этап 4.2.1.2

Добавим $1$ и $3$ .

$2^{4} + K = 3 \cdot 0^{3} - 4 \cdot 0$

Этап 4.2.2

Возведем $2$ в степень $4$ .

$16 + K = 3 \cdot 0^{3} - 4 \cdot 0$

Этап 4.3

Упростим $3 \cdot 0^{3} - 4 \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$16 + K = 3 \cdot 0 - 4 \cdot 0$

Этап 4.3.1.2

Умножим $3$ на $0$ .

$16 + K = 0 - 4 \cdot 0$

Этап 4.3.1.3

Умножим $- 4$ на $0$ .

$16 + K = 0 + 0$

Этап 4.3.2

Добавим $0$ и $0$ .

$16 + K = 0$

Этап 4.4

Вычтем $16$ из обеих частей уравнения.

$K = - 16$

Этап 5

Подставим $- 16$ вместо $K$ в $3 y^{3} - 4 y = 2 x^{3} + K$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подставим $- 16$ вместо $K$ .

$3 y^{3} - 4 y = 2 x^{3} - 16$