Математический анализ Примеры

$3 (x^{2} + y^{2}) d x + x (x^{2} + 3 y^{2} + 6 y) d y = 0$

Этап 1

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = 3 (x^{2} + y^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 (x^{2} + y^{2})]$

Этап 1.2

Поскольку $3$ является константой относительно $y$ , производная $3 (x^{2} + y^{2})$ по $y$ равна $3 \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}]$

Этап 1.3

По правилу суммы производная $x^{2} + y^{2}$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 (\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}])$

Этап 1.4

Поскольку $x^{2}$ является константой относительно $y$ , производная $x^{2}$ относительно $y$ равна $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 (0 + \frac{d}{d y} [y^{2}])$

Этап 1.5

Добавим $0$ и $\frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Этап 1.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 (2 y)$

Этап 1.7

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 y$

Этап 2

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = x (x^{2} + 3 y^{2} + 6 y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x (x^{2} + 3 y^{2} + 6 y)]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = x^{2} + 3 y^{2} + 6 y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 y^{2} + 6 y] + (x^{2} + 3 y^{2} + 6 y) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

По правилу суммы производная $x^{2} + 3 y^{2} + 6 y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y]) + (x^{2} + 3 y^{2} + 6 y) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (2 x + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y]) + (x^{2} + 3 y^{2} + 6 y) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.3

Поскольку $3 y^{2}$ является константой относительно $x$ , производная $3 y^{2}$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (2 x + 0 + \frac{d}{d x} [6 y]) + (x^{2} + 3 y^{2} + 6 y) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.4

Добавим $2 x$ и $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (2 x + \frac{d}{d x} [6 y]) + (x^{2} + 3 y^{2} + 6 y) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.5

Поскольку $6 y$ является константой относительно $x$ , производная $6 y$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (2 x + 0) + (x^{2} + 3 y^{2} + 6 y) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.6

Добавим $2 x$ и $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (2 x) + (x^{2} + 3 y^{2} + 6 y) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.4

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (x^{1} x) + (x^{2} + 3 y^{2} + 6 y) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.5

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (x^{1} x^{1}) + (x^{2} + 3 y^{2} + 6 y) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x^{1 + 1} + (x^{2} + 3 y^{2} + 6 y) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.7

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x^{2} + (x^{2} + 3 y^{2} + 6 y) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x^{2} + (x^{2} + 3 y^{2} + 6 y) \cdot 1$

Этап 2.9

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1

Умножим $x^{2} + 3 y^{2} + 6 y$ на $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x^{2} + x^{2} + 3 y^{2} + 6 y$

Этап 2.9.2

Добавим $2 x^{2}$ и $x^{2}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + 3 y^{2} + 6 y$

Этап 3

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $6 y$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $3 x^{2} + 3 y^{2} + 6 y$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$6 y = 3 x^{2} + 3 y^{2} + 6 y$

Этап 3.2

Так как левая часть не равна правой, уравнение не является тождеством.

$6 y = 3 x^{2} + 3 y^{2} + 6 y$ не является тождеством.

Этап 4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $3 x^{2} + 3 y^{2} + 6 y$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{3 x^{2} + 3 y^{2} + 6 y - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Этап 4.2

Подставим $6 y$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{3 x^{2} + 3 y^{2} + 6 y - (6 y)}{M}$

Этап 4.3

Подставим $3 (x^{2} + y^{2})$ вместо $M$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Подставим $3 (x^{2} + y^{2})$ вместо $M$ .

$\frac{3 x^{2} + 3 y^{2} + 6 y - (6 y)}{3 (x^{2} + y^{2})}$

Этап 4.3.2

Сократим общий множитель $3 x^{2} + 3 y^{2} + 6 y - (6 y)$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Вынесем множитель $- 1$ из $3 x^{2}$ .

$\frac{- (- 3 x^{2}) + 3 y^{2} + 6 y - (6 y)}{3 (x^{2} + y^{2})}$

Этап 4.3.2.2

Вынесем множитель $- 1$ из $3 y^{2}$ .

$\frac{- (- 3 x^{2}) - (- 3 y^{2}) + 6 y - (6 y)}{3 (x^{2} + y^{2})}$

Этап 4.3.2.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (- 3 x^{2}) - (- 3 y^{2})$ .

$\frac{- (- 3 x^{2} - 3 y^{2}) + 6 y - (6 y)}{3 (x^{2} + y^{2})}$

Этап 4.3.2.4

Вынесем множитель $- 1$ из $6 y$ .

$\frac{- (- 3 x^{2} - 3 y^{2}) - (- 6 y) - (6 y)}{3 (x^{2} + y^{2})}$

Этап 4.3.2.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (- 3 x^{2} - 3 y^{2}) - (- 6 y)$ .

$\frac{- (- 3 x^{2} - 3 y^{2} - 6 y) - (6 y)}{3 (x^{2} + y^{2})}$

Этап 4.3.2.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (- 3 x^{2} - 3 y^{2} - 6 y) - (6 y)$ .

$\frac{- (- 3 x^{2} - 3 y^{2} - 6 y + 6 y)}{3 (x^{2} + y^{2})}$

Этап 4.3.2.7

Перепишем $- (- 3 x^{2} - 3 y^{2} - 6 y + 6 y)$ в виде $- 1 (- 3 x^{2} - 3 y^{2} - 6 y + 6 y)$ .

$\frac{- 1 (- 3 x^{2} - 3 y^{2} - 6 y + 6 y)}{3 (x^{2} + y^{2})}$

Этап 4.3.2.8

Вынесем множитель $3$ из $- 1 (- 3 x^{2} - 3 y^{2} - 6 y + 6 y)$ .

$\frac{3 (- 1 (- x^{2} - y^{2} - 2 y + 2 y))}{3 (x^{2} + y^{2})}$

Этап 4.3.2.9

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.9.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 (- 1 (- x^{2} - y^{2} - 2 y + 2 y))}{3 (x^{2} + y^{2})}$

Этап 4.3.2.9.2

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1 (- x^{2} - y^{2} - 2 y + 2 y)}{x^{2} + y^{2}}$

Этап 4.3.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Добавим $- 2 y$ и $2 y$ .

$\frac{- 1 (- x^{2} - y^{2} + 0)}{x^{2} + y^{2}}$

Этап 4.3.3.2

Добавим $- x^{2} - y^{2}$ и $0$ .

$\frac{- 1 (- x^{2} - y^{2})}{x^{2} + y^{2}}$

Этап 4.3.4

Сократим общий множитель $- x^{2} - y^{2}$ и $x^{2} + y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{2}$ .

$\frac{- 1 (- (x^{2}) - y^{2})}{x^{2} + y^{2}}$

Этап 4.3.4.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- y^{2}$ .

$\frac{- 1 (- (x^{2}) - (y^{2}))}{x^{2} + y^{2}}$

Этап 4.3.4.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2}) - (y^{2})$ .

$\frac{- 1 (- (x^{2} + y^{2}))}{x^{2} + y^{2}}$

Этап 4.3.4.4

Перепишем $- (x^{2} + y^{2})$ в виде $- 1 (x^{2} + y^{2})$ .

$\frac{- 1 (- 1 (x^{2} + y^{2}))}{x^{2} + y^{2}}$

Этап 4.3.4.5

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1 (- 1 (x^{2} + y^{2}))}{x^{2} + y^{2}}$

Этап 4.3.4.6

Разделим $- 1 \cdot (- 1)$ на $1$ .

$- 1 \cdot (- 1)$

Этап 4.3.5

Перепишем $- 1 \cdot (- 1)$ в виде $- (- 1)$ .

$- (- 1)$

Этап 4.3.6

Подставим $3 (x^{2} + y^{2})$ вместо $M$ .

$1$

Этап 4.4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int d y}$

Этап 5

Найдем интеграл $e^{\int d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$μ (x, y) = e^{y + C}$

Этап 5.2

Упростим.

$μ (x, y) = e^{y} + C$

Этап 6

Умножим обе стороны $3 (x^{2} + y^{2}) d x + x (x^{2} + 3 y^{2} + 6 y) d y = 0$ на коэффициент интегрирования $e^{y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $3 (x^{2} + y^{2})$ на $e^{y}$ .

$3 (x^{2} + y^{2}) e^{y} d x + x (x^{2} + 3 y^{2} + 6 y) d y = 0$

Этап 6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$(3 x^{2} + 3 y^{2}) e^{y} d x + x (x^{2} + 3 y^{2} + 6 y) d y = 0$

Этап 6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(3 x^{2} e^{y} + 3 y^{2} e^{y}) d x + x (x^{2} + 3 y^{2} + 6 y) d y = 0$

Этап 6.4

Умножим $x (x^{2} + 3 y^{2} + 6 y)$ на $e^{y}$ .

$(3 x^{2} e^{y} + 3 y^{2} e^{y}) d x + x (x^{2} + 3 y^{2} + 6 y) e^{y} d y = 0$

Этап 6.5

Применим свойство дистрибутивности.

$(3 x^{2} e^{y} + 3 y^{2} e^{y}) d x + (x \cdot x^{2} + x (3 y^{2}) + x (6 y)) e^{y} d y = 0$

Этап 6.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1.1

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$(3 x^{2} e^{y} + 3 y^{2} e^{y}) d x + (x^{1} x^{2} + x (3 y^{2}) + x (6 y)) e^{y} d y = 0$

Этап 6.6.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(3 x^{2} e^{y} + 3 y^{2} e^{y}) d x + (x^{1 + 2} + x (3 y^{2}) + x (6 y)) e^{y} d y = 0$

Этап 6.6.1.2

Добавим $1$ и $2$ .

$(3 x^{2} e^{y} + 3 y^{2} e^{y}) d x + (x^{3} + x (3 y^{2}) + x (6 y)) e^{y} d y = 0$

Этап 6.6.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$(3 x^{2} e^{y} + 3 y^{2} e^{y}) d x + (x^{3} + 3 x y^{2} + x (6 y)) e^{y} d y = 0$

Этап 6.6.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$(3 x^{2} e^{y} + 3 y^{2} e^{y}) d x + (x^{3} + 3 x y^{2} + 6 x y) e^{y} d y = 0$

Этап 6.7

Применим свойство дистрибутивности.

$(3 x^{2} e^{y} + 3 y^{2} e^{y}) d x + (x^{3} e^{y} + 3 x y^{2} e^{y} + 6 x y e^{y}) d y = 0$

Этап 7

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 3 x^{2} e^{y} + 3 y^{2} e^{y} d x$

Этап 8

Проинтегрируем $M (x, y) = 3 x^{2} e^{y} + 3 y^{2} e^{y}$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$f (x, y) = \int 3 x^{2} e^{y} d x + \int 3 y^{2} e^{y} d x$

Этап 8.2

Поскольку $3 e^{y}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3 e^{y}$ из-под знака интеграла.

$f (x, y) = 3 e^{y} \int x^{2} d x + \int 3 y^{2} e^{y} d x$

Этап 8.3

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$f (x, y) = 3 e^{y} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int 3 y^{2} e^{y} d x$

Этап 8.4

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$f (x, y) = 3 e^{y} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 3 y^{2} e^{y} x + C$

Этап 8.5

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$f (x, y) = 3 e^{y} (\frac{x^{3}}{3} + C) + 3 y^{2} e^{y} x + C$

Этап 8.6

Упростим.

$f (x, y) = e^{y} x^{3} + 3 y^{2} e^{y} x + C$

Этап 9

Так как интеграл $g (y)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (y)$ .

$f (x, y) = e^{y} x^{3} + 3 y^{2} e^{y} x + g (y)$

Этап 10

Зададим $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = x^{3} e^{y} + 3 x y^{2} e^{y} + 6 x y e^{y}$

Этап 11

Найдем $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Продифференцируем $f$ по $y$ .

$\frac{d}{d y} [e^{y} x^{3} + 3 y^{2} e^{y} x + g (y)] = x^{3} e^{y} + 3 x y^{2} e^{y} + 6 x y e^{y}$

Этап 11.2

По правилу суммы производная $e^{y} x^{3} + 3 y^{2} e^{y} x + g (y)$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [e^{y} x^{3}] + \frac{d}{d y} [3 y^{2} e^{y} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [e^{y} x^{3}] + \frac{d}{d y} [3 y^{2} e^{y} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} e^{y} + 3 x y^{2} e^{y} + 6 x y e^{y}$

Этап 11.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [e^{y} x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Поскольку $x^{3}$ является константой относительно $y$ , производная $e^{y} x^{3}$ по $y$ равна $x^{3} \frac{d}{d y} [e^{y}]$ .

$x^{3} \frac{d}{d y} [e^{y}] + \frac{d}{d y} [3 y^{2} e^{y} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} e^{y} + 3 x y^{2} e^{y} + 6 x y e^{y}$

Этап 11.3.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [a^{y}]$ имеет вид $a^{y} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$x^{3} e^{y} + \frac{d}{d y} [3 y^{2} e^{y} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} e^{y} + 3 x y^{2} e^{y} + 6 x y e^{y}$

Этап 11.4

Найдем значение $\frac{d}{d y} [3 y^{2} e^{y} x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.1

Поскольку $3 x$ является константой относительно $y$ , производная $3 y^{2} e^{y} x$ по $y$ равна $3 x \frac{d}{d y} [y^{2} e^{y}]$ .

$x^{3} e^{y} + 3 x \frac{d}{d y} [y^{2} e^{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} e^{y} + 3 x y^{2} e^{y} + 6 x y e^{y}$

Этап 11.4.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ имеет вид $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ , где $f (y) = y^{2}$ и $g (y) = e^{y}$ .

$x^{3} e^{y} + 3 x (y^{2} \frac{d}{d y} [e^{y}] + e^{y} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} e^{y} + 3 x y^{2} e^{y} + 6 x y e^{y}$

Этап 11.4.3

$x^{3} e^{y} + 3 x (y^{2} e^{y} + e^{y} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} e^{y} + 3 x y^{2} e^{y} + 6 x y e^{y}$

Этап 11.4.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$x^{3} e^{y} + 3 x (y^{2} e^{y} + e^{y} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} e^{y} + 3 x y^{2} e^{y} + 6 x y e^{y}$

Этап 11.5

Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от $g (y)$ равна $\frac{d g}{d y}$ .

$x^{3} e^{y} + 3 x (y^{2} e^{y} + e^{y} (2 y)) + \frac{d g}{d y} = x^{3} e^{y} + 3 x y^{2} e^{y} + 6 x y e^{y}$

Этап 11.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{3} e^{y} + 3 x (y^{2} e^{y}) + 3 x (e^{y} (2 y)) + \frac{d g}{d y} = x^{3} e^{y} + 3 x y^{2} e^{y} + 6 x y e^{y}$

Этап 11.6.2

Умножим $2$ на $3$ .

$x^{3} e^{y} + 3 x y^{2} e^{y} + 6 x e^{y} y + \frac{d g}{d y} = x^{3} e^{y} + 3 x y^{2} e^{y} + 6 x y e^{y}$

Этап 11.6.3

Изменим порядок членов.

$\frac{d g}{d y} + e^{y} x^{3} + 3 e^{y} y^{2} x + 6 e^{y} x y = x^{3} e^{y} + 3 x y^{2} e^{y} + 6 x y e^{y}$

Этап 11.6.4

Изменим порядок множителей в $\frac{d g}{d y} + e^{y} x^{3} + 3 e^{y} y^{2} x + 6 e^{y} x y$ .

$\frac{d g}{d y} + x^{3} e^{y} + 3 y^{2} x e^{y} + 6 x y e^{y} = x^{3} e^{y} + 3 x y^{2} e^{y} + 6 x y e^{y}$

Этап 12

Решим относительно $\frac{d g}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Перенесем все члены без $\frac{d g}{d y}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Вычтем $x^{3} e^{y}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d g}{d y} + 3 y^{2} x e^{y} + 6 x y e^{y} = x^{3} e^{y} + 3 x y^{2} e^{y} + 6 x y e^{y} - x^{3} e^{y}$

Этап 12.1.2

Вычтем $3 y^{2} x e^{y}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d g}{d y} + 6 x y e^{y} = x^{3} e^{y} + 3 x y^{2} e^{y} + 6 x y e^{y} - x^{3} e^{y} - 3 y^{2} x e^{y}$

Этап 12.1.3

Вычтем $6 x y e^{y}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d g}{d y} = x^{3} e^{y} + 3 x y^{2} e^{y} + 6 x y e^{y} - x^{3} e^{y} - 3 y^{2} x e^{y} - 6 x y e^{y}$

Этап 12.1.4

Объединим противоположные члены в $x^{3} e^{y} + 3 x y^{2} e^{y} + 6 x y e^{y} - x^{3} e^{y} - 3 y^{2} x e^{y} - 6 x y e^{y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.4.1

Вычтем $x^{3} e^{y}$ из $x^{3} e^{y}$ .

$\frac{d g}{d y} = 3 x y^{2} e^{y} + 6 x y e^{y} + 0 - 3 y^{2} x e^{y} - 6 x y e^{y}$

Этап 12.1.4.2

Добавим $3 x y^{2} e^{y} + 6 x y e^{y}$ и $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 3 x y^{2} e^{y} + 6 x y e^{y} - 3 y^{2} x e^{y} - 6 x y e^{y}$

Этап 12.1.4.3

Изменим порядок множителей в членах $3 x y^{2} e^{y}$ и $- 3 y^{2} x e^{y}$ .

$\frac{d g}{d y} = 3 e^{y} y^{2} x + 6 x y e^{y} - 3 e^{y} y^{2} x - 6 x y e^{y}$

Этап 12.1.4.4

Вычтем $3 e^{y} y^{2} x$ из $3 e^{y} y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d y} = 6 x y e^{y} + 0 - 6 x y e^{y}$

Этап 12.1.4.5

Добавим $6 x y e^{y}$ и $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 6 x y e^{y} - 6 x y e^{y}$

Этап 12.1.4.6

Вычтем $6 x y e^{y}$ из $6 x y e^{y}$ .

$\frac{d g}{d y} = 0$

Этап 13

Найдем первообразную $0$ , чтобы найти $g (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Проинтегрируем обе части $\frac{d g}{d y} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 0 d y$

Этап 13.2

Найдем значение $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 0 d y$

Этап 13.3

Интеграл $0$ по $y$ имеет вид $0$ .

$g (y) = 0 + C$

Этап 13.4

Добавим $0$ и $C$ .

$g (y) = C$

Этап 14

Подставим выражение для $g (y)$ в $f (x, y) = e^{y} x^{3} + 3 y^{2} e^{y} x + g (y)$ .

$f (x, y) = e^{y} x^{3} + 3 y^{2} e^{y} x + C$

Этап 15

Изменим порядок множителей в $f (x, y) = e^{y} x^{3} + 3 y^{2} e^{y} x + C$ .

$f (x, y) = x^{3} e^{y} + 3 y^{2} x e^{y} + C$