Математический анализ Примеры

$(4 t e^{2 x}) d y = y e^{2 x} d x$

Этап 1

Умножим обе части на $\frac{1}{e^{2 x} y}$ .

$\frac{1}{e^{2 x} y} (4 t e^{2 x}) d y = \frac{1}{e^{2 x} y} (y e^{2 x}) d x$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$4 \frac{1}{e^{2 x} y} (t e^{2 x}) d y = \frac{1}{e^{2 x} y} (y e^{2 x}) d x$

Этап 2.2

Объединим $4$ и $\frac{1}{e^{2 x} y}$ .

$\frac{4}{e^{2 x} y} (t e^{2 x}) d y = \frac{1}{e^{2 x} y} (y e^{2 x}) d x$

Этап 2.3

Сократим общий множитель $e^{2 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Вынесем множитель $e^{2 x}$ из $e^{2 x} y$ .

$\frac{4}{e^{2 x} (y)} (t e^{2 x}) d y = \frac{1}{e^{2 x} y} (y e^{2 x}) d x$

Этап 2.3.2

Вынесем множитель $e^{2 x}$ из $t e^{2 x}$ .

$\frac{4}{e^{2 x} (y)} (e^{2 x} t) d y = \frac{1}{e^{2 x} y} (y e^{2 x}) d x$

Этап 2.3.3

Сократим общий множитель.

$\frac{4}{e^{2 x} y} (e^{2 x} t) d y = \frac{1}{e^{2 x} y} (y e^{2 x}) d x$

Этап 2.3.4

Перепишем это выражение.

$\frac{4}{y} t d y = \frac{1}{e^{2 x} y} (y e^{2 x}) d x$

Этап 2.4

Объединим $\frac{4}{y}$ и $t$ .

$\frac{4 t}{y} d y = \frac{1}{e^{2 x} y} (y e^{2 x}) d x$

Этап 2.5

Сократим общий множитель $y e^{2 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Вынесем множитель $y e^{2 x}$ из $e^{2 x} y$ .

$\frac{4 t}{y} d y = \frac{1}{y e^{2 x} (1)} (y e^{2 x}) d x$

Этап 2.5.2

Сократим общий множитель.

$\frac{4 t}{y} d y = \frac{1}{y e^{2 x} \cdot 1} (y e^{2 x}) d x$

Этап 2.5.3

Перепишем это выражение.

$\frac{4 t}{y} d y = 1 d x$

Этап 3

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{4 t}{y} d y = \int d x$

Этап 3.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $4 t$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $4 t$ из-под знака интеграла.

$4 t \int \frac{1}{y} d y = \int d x$

Этап 3.2.2

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$4 t (\ln (| y |) + C_{1}) = \int d x$

Этап 3.2.3

Упростим.

$4 t \ln (| y |) + C_{1} = \int d x$

Этап 3.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$4 t \ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2}$

Этап 3.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$4 t \ln (| y |) = x + C$

Этап 4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разделим каждый член $4 t \ln (| y |) = x + C$ на $4 t$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Разделим каждый член $4 t \ln (| y |) = x + C$ на $4 t$ .

$\frac{4 t \ln (| y |)}{4 t} = \frac{x}{4 t} + \frac{C}{4 t}$

Этап 4.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 t \ln (| y |)}{4 t} = \frac{x}{4 t} + \frac{C}{4 t}$

Этап 4.1.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{t \ln (| y |)}{t} = \frac{x}{4 t} + \frac{C}{4 t}$

Этап 4.1.2.2

Сократим общий множитель $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{t \ln (| y |)}{t} = \frac{x}{4 t} + \frac{C}{4 t}$

Этап 4.1.2.2.2

Разделим $\ln (| y |)$ на $1$ .

$\ln (| y |) = \frac{x}{4 t} + \frac{C}{4 t}$

Этап 4.2

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (| y |)} = e^{\frac{x}{4 t} + \frac{C}{4 t}}$

Этап 4.3

Перепишем $\ln (| y |) = \frac{x}{4 t} + \frac{C}{4 t}$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{x}{4 t} + \frac{C}{4 t}} = | y |$

Этап 4.4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Перепишем уравнение в виде $| y | = e^{\frac{x}{4 t} + \frac{C}{4 t}}$ .

$| y | = e^{\frac{x}{4 t} + \frac{C}{4 t}}$

Этап 4.4.2

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{\frac{x}{4 t} + \frac{C}{4 t}}$