Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x}$ of $y = - 2 x + 5$

Этап 1

Запишем задачу в виде математического выражения.

$\frac{d y}{d x} \cdot y = - 2 x + 5$

Этап 2

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разделим каждый член $\frac{d y}{d x} \cdot y = - 2 x + 5$ на $y$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Разделим каждый член $\frac{d y}{d x} \cdot y = - 2 x + 5$ на $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} \cdot y}{y} = \frac{- 2 x}{y} + \frac{5}{y}$

Этап 2.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{d y}{d x} \cdot y}{y} = \frac{- 2 x}{y} + \frac{5}{y}$

Этап 2.1.2.1.2

Разделим $\frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 2 x}{y} + \frac{5}{y}$

Этап 2.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x}{y} + \frac{5}{y}$

Этап 2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 2 x + 5}{y}$

Этап 2.3

Умножим обе части на $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{- 2 x + 5}{y}$

Этап 2.4

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Сократим общий множитель.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{- 2 x + 5}{y}$

Этап 2.4.2

Перепишем это выражение.

$y \frac{d y}{d x} = - 2 x + 5$

Этап 2.5

Перепишем уравнение.

$y d y = (- 2 x + 5) d x$

Этап 3

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int y d y = \int - 2 x + 5 d x$

Этап 3.2

По правилу степени интеграл $y$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - 2 x + 5 d x$

Этап 3.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - 2 x d x + \int 5 d x$

Этап 3.3.2

Поскольку $- 2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 2$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - 2 \int x d x + \int 5 d x$

Этап 3.3.3

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int 5 d x$

Этап 3.3.4

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + 5 x + C_{3}$

Этап 3.3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + 5 x + C_{3}$

Этап 3.3.5.2

Упростим.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - x^{2} + 5 x + C_{4}$

Этап 3.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = - x^{2} + 5 x + K$

Этап 4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- x^{2} + 5 x + K)$

Этап 4.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Упростим $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- x^{2} + 5 x + K)$

Этап 4.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- x^{2} + 5 x + K)$

Этап 4.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y^{2} = 2 (- x^{2} + 5 x + K)$

Этап 4.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Упростим $2 (- x^{2} + 5 x + K)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{2} = 2 (- x^{2}) + 2 (5 x) + 2 K$

Этап 4.2.2.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.2.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$y^{2} = - 2 x^{2} + 2 (5 x) + 2 K$

Этап 4.2.2.1.2.2

Умножим $5$ на $2$ .

$y^{2} = - 2 x^{2} + 10 x + 2 K$

Этап 4.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \pm \sqrt{- 2 x^{2} + 10 x + 2 K}$

Этап 4.4

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x^{2} + 10 x + 2 K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- x^{2}) + 10 x + 2 K}$

Этап 4.4.2

Вынесем множитель $2$ из $10 x$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- x^{2}) + 2 (5 x) + 2 K}$

Этап 4.4.3

Вынесем множитель $2$ из $2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- x^{2}) + 2 (5 x) + 2 K}$

Этап 4.4.4

Вынесем множитель $2$ из $2 (- x^{2}) + 2 (5 x)$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- x^{2} + 5 x) + 2 K}$

Этап 4.4.5

Вынесем множитель $2$ из $2 (- x^{2} + 5 x) + 2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- x^{2} + 5 x + K)}$

Этап 4.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \sqrt{2 (- x^{2} + 5 x + K)}$

Этап 4.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \sqrt{2 (- x^{2} + 5 x + K)}$

Этап 4.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \sqrt{2 (- x^{2} + 5 x + K)}$

$y = - \sqrt{2 (- x^{2} + 5 x + K)}$

$y = \sqrt{2 (- x^{2} + 5 x + K)}$

$y = - \sqrt{2 (- x^{2} + 5 x + K)}$

$y = \sqrt{2 (- x^{2} + 5 x + K)}$

$y = - \sqrt{2 (- x^{2} + 5 x + K)}$