Математический анализ Примеры

$(4 + 5 y) d x + (1 + 5 x) d y = 0$

Этап 1

Вычтем $(4 + 5 y) d x$ из обеих частей уравнения.

$(1 + 5 x) d y = - (4 + 5 y) d x$

Этап 2

Умножим обе части на $\frac{1}{(1 + 5 x) (4 + 5 y)}$ .

$\frac{1}{(1 + 5 x) (4 + 5 y)} (1 + 5 x) d y = \frac{1}{(1 + 5 x) (4 + 5 y)} (- (4 + 5 y)) d x$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Сократим общий множитель $1 + 5 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{(1 + 5 x) (4 + 5 y)} (1 + 5 x) d y = \frac{1}{(1 + 5 x) (4 + 5 y)} (- (4 + 5 y)) d x$

Этап 3.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{4 + 5 y} d y = \frac{1}{(1 + 5 x) (4 + 5 y)} (- (4 + 5 y)) d x$

Этап 3.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{1}{4 + 5 y} d y = - \frac{1}{(1 + 5 x) (4 + 5 y)} (4 + 5 y) d x$

Этап 3.3

Сократим общий множитель $4 + 5 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{(1 + 5 x) (4 + 5 y)}$ в числитель.

$\frac{1}{4 + 5 y} d y = \frac{- 1}{(1 + 5 x) (4 + 5 y)} (4 + 5 y) d x$

Этап 3.3.2

Вынесем множитель $4 + 5 y$ из $(1 + 5 x) (4 + 5 y)$ .

$\frac{1}{4 + 5 y} d y = \frac{- 1}{(4 + 5 y) (1 + 5 x)} (4 + 5 y) d x$

Этап 3.3.3

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{4 + 5 y} d y = \frac{- 1}{(4 + 5 y) (1 + 5 x)} (4 + 5 y) d x$

Этап 3.3.4

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{4 + 5 y} d y = \frac{- 1}{1 + 5 x} d x$

Этап 3.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{4 + 5 y} d y = - \frac{1}{1 + 5 x} d x$

Этап 4

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{4 + 5 y} d y = \int - \frac{1}{1 + 5 x} d x$

Этап 4.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Пусть $u_{1} = 4 + 5 y$ . Тогда $d u_{1} = 5 d y$ , следовательно $\frac{1}{5} d u_{1} = d y$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Пусть $u_{1} = 4 + 5 y$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.1

Дифференцируем $4 + 5 y$ .

$\frac{d}{d y} [4 + 5 y]$

Этап 4.2.1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.2.1

По правилу суммы производная $4 + 5 y$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [4] + \frac{d}{d y} [5 y]$ .

$\frac{d}{d y} [4] + \frac{d}{d y} [5 y]$

Этап 4.2.1.1.2.2

Поскольку $4$ является константой относительно $y$ , производная $4$ относительно $y$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [5 y]$

Этап 4.2.1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [5 y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.3.1

Поскольку $5$ является константой относительно $y$ , производная $5 y$ по $y$ равна $5 \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 + 5 \frac{d}{d y} [y]$

Этап 4.2.1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 + 5 \cdot 1$

Этап 4.2.1.1.3.3

Умножим $5$ на $1$ .

$0 + 5$

Этап 4.2.1.1.4

Добавим $0$ и $5$ .

$5$

Этап 4.2.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{5} d u_{1} = \int - \frac{1}{1 + 5 x} d x$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Умножим $\frac{1}{u_{1}}$ на $\frac{1}{5}$ .

$\int \frac{1}{u_{1} \cdot 5} d u_{1} = \int - \frac{1}{1 + 5 x} d x$

Этап 4.2.2.2

Перенесем $5$ влево от $u_{1}$ .

$\int \frac{1}{5 u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{1}{1 + 5 x} d x$

Этап 4.2.3

Поскольку $\frac{1}{5}$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $\frac{1}{5}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{5} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{1}{1 + 5 x} d x$

Этап 4.2.4

Интеграл $\frac{1}{u_{1}}$ по $u_{1}$ имеет вид $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{1}{5} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int - \frac{1}{1 + 5 x} d x$

Этап 4.2.5

Упростим.

$\frac{1}{5} \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int - \frac{1}{1 + 5 x} d x$

Этап 4.2.6

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $4 + 5 y$ .

$\frac{1}{5} \ln (| 4 + 5 y |) + C_{1} = \int - \frac{1}{1 + 5 x} d x$

Этап 4.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{5} \ln (| 4 + 5 y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{1 + 5 x} d x$

Этап 4.3.2

Пусть $u_{2} = 1 + 5 x$ . Тогда $d u_{2} = 5 d x$ , следовательно $\frac{1}{5} d u_{2} = d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Пусть $u_{2} = 1 + 5 x$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Дифференцируем $1 + 5 x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + 5 x]$

Этап 4.3.2.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.2.1

По правилу суммы производная $1 + 5 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [5 x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [5 x]$

Этап 4.3.2.1.2.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [5 x]$

Этап 4.3.2.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.3.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + 5 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.3.2.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 + 5 \cdot 1$

Этап 4.3.2.1.3.3

Умножим $5$ на $1$ .

$0 + 5$

Этап 4.3.2.1.4

Добавим $0$ и $5$ .

$5$

Этап 4.3.2.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$\frac{1}{5} \ln (| 4 + 5 y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{5} d u_{2}$

Этап 4.3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Умножим $\frac{1}{u_{2}}$ на $\frac{1}{5}$ .

$\frac{1}{5} \ln (| 4 + 5 y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2} \cdot 5} d u_{2}$

Этап 4.3.3.2

Перенесем $5$ влево от $u_{2}$ .

$\frac{1}{5} \ln (| 4 + 5 y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{5 u_{2}} d u_{2}$

Этап 4.3.4

Поскольку $\frac{1}{5}$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $\frac{1}{5}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{5} \ln (| 4 + 5 y |) + C_{1} = - (\frac{1}{5} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Этап 4.3.5

Интеграл $\frac{1}{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{5} \ln (| 4 + 5 y |) + C_{1} = - \frac{1}{5} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Этап 4.3.6

Упростим.

$\frac{1}{5} \ln (| 4 + 5 y |) + C_{1} = - \frac{1}{5} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Этап 4.3.7

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $1 + 5 x$ .

$\frac{1}{5} \ln (| 4 + 5 y |) + C_{1} = - \frac{1}{5} \ln (| 1 + 5 x |) + C_{2}$

Этап 4.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\frac{1}{5} \ln (| 4 + 5 y |) = - \frac{1}{5} \ln (| 1 + 5 x |) + C$

Этап 5

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим обе части уравнения на $5$ .

$5 (\frac{1}{5} \ln (| 4 + 5 y |)) = 5 (- \frac{1}{5} \ln (| 1 + 5 x |) + C)$

Этап 5.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Упростим $5 (\frac{1}{5} \ln (| 4 + 5 y |))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.1

Объединим $\frac{1}{5}$ и $\ln (| 4 + 5 y |)$ .

$5 \frac{\ln (| 4 + 5 y |)}{5} = 5 (- \frac{1}{5} \ln (| 1 + 5 x |) + C)$

Этап 5.2.1.1.2

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$5 \frac{\ln (| 4 + 5 y |)}{5} = 5 (- \frac{1}{5} \ln (| 1 + 5 x |) + C)$

Этап 5.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$\ln (| 4 + 5 y |) = 5 (- \frac{1}{5} \ln (| 1 + 5 x |) + C)$

Этап 5.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Упростим $5 (- \frac{1}{5} \ln (| 1 + 5 x |) + C)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Объединим $\ln (| 1 + 5 x |)$ и $\frac{1}{5}$ .

$\ln (| 4 + 5 y |) = 5 (- \frac{\ln (| 1 + 5 x |)}{5} + C)$

Этап 5.2.2.1.2

Чтобы записать $C$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$\ln (| 4 + 5 y |) = 5 (- \frac{\ln (| 1 + 5 x |)}{5} + C \cdot \frac{5}{5})$

Этап 5.2.2.1.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.3.1

Объединим $C$ и $\frac{5}{5}$ .

$\ln (| 4 + 5 y |) = 5 (- \frac{\ln (| 1 + 5 x |)}{5} + \frac{C \cdot 5}{5})$

Этап 5.2.2.1.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\ln (| 4 + 5 y |) = 5 \frac{- \ln (| 1 + 5 x |) + C \cdot 5}{5}$

Этап 5.2.2.1.3.3

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.3.3.1

Сократим общий множитель.

$\ln (| 4 + 5 y |) = 5 \frac{- \ln (| 1 + 5 x |) + C \cdot 5}{5}$

Этап 5.2.2.1.3.3.2

Перепишем это выражение.

$\ln (| 4 + 5 y |) = - \ln (| 1 + 5 x |) + C \cdot 5$

Этап 5.2.2.1.4

Перенесем $5$ влево от $C$ .

$\ln (| 4 + 5 y |) = - \ln (| 1 + 5 x |) + 5 C$

Этап 5.3

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\ln (| 4 + 5 y |) + \ln (| 1 + 5 x |) = 5 C$

Этап 5.4

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| 4 + 5 y | | 1 + 5 x |) = 5 C$

Этап 5.5

Для перемножения модулей следует перемножить члены внутри каждого модуля.

$\ln (| (4 + 5 y) (1 + 5 x) |) = 5 C$

Этап 5.6

Развернем $(4 + 5 y) (1 + 5 x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (| 4 (1 + 5 x) + 5 y (1 + 5 x) |) = 5 C$

Этап 5.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (| 4 \cdot 1 + 4 (5 x) + 5 y (1 + 5 x) |) = 5 C$

Этап 5.6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (| 4 \cdot 1 + 4 (5 x) + 5 y \cdot 1 + 5 y (5 x) |) = 5 C$

Этап 5.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1

Умножим $4$ на $1$ .

$\ln (| 4 + 4 (5 x) + 5 y \cdot 1 + 5 y (5 x) |) = 5 C$

Этап 5.7.2

Умножим $5$ на $4$ .

$\ln (| 4 + 20 x + 5 y \cdot 1 + 5 y (5 x) |) = 5 C$

Этап 5.7.3

Умножим $5$ на $1$ .

$\ln (| 4 + 20 x + 5 y + 5 y (5 x) |) = 5 C$

Этап 5.7.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\ln (| 4 + 20 x + 5 y + 5 \cdot (5 y x) |) = 5 C$

Этап 5.7.5

Умножим $5$ на $5$ .

$\ln (| 4 + 20 x + 5 y + 25 y x |) = 5 C$

Этап 5.8

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (| 4 + 20 x + 5 y + 25 y x |)} = e^{5 C}$

Этап 5.9

Перепишем $\ln (| 4 + 20 x + 5 y + 25 y x |) = 5 C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{5 C} = | 4 + 20 x + 5 y + 25 y x |$

Этап 5.10

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.10.1

Перепишем уравнение в виде $| 4 + 20 x + 5 y + 25 y x | = e^{5 C}$ .

$| 4 + 20 x + 5 y + 25 y x | = e^{5 C}$

Этап 5.10.2

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$4 + 20 x + 5 y + 25 y x = \pm e^{5 C}$

Этап 5.10.3

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.10.3.1

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$20 x + 5 y + 25 y x = \pm e^{5 C} - 4$

Этап 5.10.3.2

Вычтем $20 x$ из обеих частей уравнения.

$5 y + 25 y x = \pm e^{5 C} - 4 - 20 x$

Этап 5.10.4

Вынесем множитель $5 y$ из $5 y + 25 y x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.10.4.1

Вынесем множитель $5 y$ из $5 y$ .

$5 y (1) + 25 y x = \pm e^{5 C} - 4 - 20 x$

Этап 5.10.4.2

Вынесем множитель $5 y$ из $25 y x$ .

$5 y (1) + 5 y (5 x) = \pm e^{5 C} - 4 - 20 x$

Этап 5.10.4.3

Вынесем множитель $5 y$ из $5 y (1) + 5 y (5 x)$ .

$5 y (1 + 5 x) = \pm e^{5 C} - 4 - 20 x$

Этап 5.10.5

Разделим каждый член $5 y (1 + 5 x) = \pm e^{5 C} - 4 - 20 x$ на $5 (1 + 5 x)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.10.5.1

Разделим каждый член $5 y (1 + 5 x) = \pm e^{5 C} - 4 - 20 x$ на $5 (1 + 5 x)$ .

$\frac{5 y (1 + 5 x)}{5 (1 + 5 x)} = \frac{\pm e^{5 C}}{5 (1 + 5 x)} + \frac{- 4}{5 (1 + 5 x)} + \frac{- 20 x}{5 (1 + 5 x)}$

Этап 5.10.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.10.5.2.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.10.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 y (1 + 5 x)}{5 (1 + 5 x)} = \frac{\pm e^{5 C}}{5 (1 + 5 x)} + \frac{- 4}{5 (1 + 5 x)} + \frac{- 20 x}{5 (1 + 5 x)}$

Этап 5.10.5.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y (1 + 5 x)}{1 + 5 x} = \frac{\pm e^{5 C}}{5 (1 + 5 x)} + \frac{- 4}{5 (1 + 5 x)} + \frac{- 20 x}{5 (1 + 5 x)}$

Этап 5.10.5.2.2

Сократим общий множитель $1 + 5 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.10.5.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y (1 + 5 x)}{1 + 5 x} = \frac{\pm e^{5 C}}{5 (1 + 5 x)} + \frac{- 4}{5 (1 + 5 x)} + \frac{- 20 x}{5 (1 + 5 x)}$

Этап 5.10.5.2.2.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\pm e^{5 C}}{5 (1 + 5 x)} + \frac{- 4}{5 (1 + 5 x)} + \frac{- 20 x}{5 (1 + 5 x)}$

Этап 5.10.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.10.5.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.10.5.3.1.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = \frac{\pm e^{5 C}}{5 (1 + 5 x)} - \frac{4}{5 (1 + 5 x)} + \frac{- 20 x}{5 (1 + 5 x)}$

Этап 5.10.5.3.1.2

Сократим общий множитель $- 20$ и $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.10.5.3.1.2.1

Вынесем множитель $5$ из $- 20 x$ .

$y = \frac{\pm e^{5 C}}{5 (1 + 5 x)} - \frac{4}{5 (1 + 5 x)} + \frac{5 (- 4 x)}{5 (1 + 5 x)}$

Этап 5.10.5.3.1.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.10.5.3.1.2.2.1

Сократим общий множитель.

$y = \frac{\pm e^{5 C}}{5 (1 + 5 x)} - \frac{4}{5 (1 + 5 x)} + \frac{5 (- 4 x)}{5 (1 + 5 x)}$

Этап 5.10.5.3.1.2.2.2

Перепишем это выражение.

$y = \frac{\pm e^{5 C}}{5 (1 + 5 x)} - \frac{4}{5 (1 + 5 x)} + \frac{- 4 x}{1 + 5 x}$

Этап 5.10.5.3.1.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = \frac{\pm e^{5 C}}{5 (1 + 5 x)} - \frac{4}{5 (1 + 5 x)} - \frac{4 x}{1 + 5 x}$

Этап 5.10.5.3.2

Чтобы записать $- \frac{4 x}{1 + 5 x}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{\pm e^{5 C}}{5 (1 + 5 x)} - \frac{4 x}{1 + 5 x} \cdot \frac{5}{5} - \frac{4}{5 (1 + 5 x)}$

Этап 5.10.5.3.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $5 (1 + 5 x)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.10.5.3.3.1

Умножим $\frac{4 x}{1 + 5 x}$ на $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{\pm e^{5 C}}{5 (1 + 5 x)} - \frac{4 x \cdot 5}{(1 + 5 x) \cdot 5} - \frac{4}{5 (1 + 5 x)}$

Этап 5.10.5.3.3.2

Изменим порядок множителей в $(1 + 5 x) \cdot 5$ .

$y = \frac{\pm e^{5 C}}{5 (1 + 5 x)} - \frac{4 x \cdot 5}{5 (1 + 5 x)} - \frac{4}{5 (1 + 5 x)}$

Этап 5.10.5.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{\pm e^{5 C} - 4 x \cdot 5}{5 (1 + 5 x)} - \frac{4}{5 (1 + 5 x)}$

Этап 5.10.5.3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{\pm e^{5 C} - 4 x \cdot 5 - 4}{5 (1 + 5 x)}$

Этап 5.10.5.3.6

Умножим $5$ на $- 4$ .

$y = \frac{\pm e^{5 C} - 20 x - 4}{5 (1 + 5 x)}$

Этап 6

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \frac{C - 20 x - 4}{5 (1 + 5 x)}$