Математический анализ Примеры

$\frac{d u}{d t} = \frac{(2 + t^{4})}{u t^{2} + u^{4} t^{2}}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем множитель $u t^{2}$ из $u t^{2} + u^{4} t^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Вынесем множитель $u t^{2}$ из $u t^{2}$ .

$\frac{d u}{d t} = \frac{2 + t^{4}}{u t^{2} (1) + u^{4} t^{2}}$

Этап 1.1.1.2

Вынесем множитель $u t^{2}$ из $u^{4} t^{2}$ .

$\frac{d u}{d t} = \frac{2 + t^{4}}{u t^{2} (1) + u t^{2} (u^{3})}$

Этап 1.1.1.3

Вынесем множитель $u t^{2}$ из $u t^{2} (1) + u t^{2} (u^{3})$ .

$\frac{d u}{d t} = \frac{2 + t^{4}}{u t^{2} (1 + u^{3})}$

Этап 1.1.2

Перепишем $1$ в виде $1^{3}$ .

$\frac{d u}{d t} = \frac{2 + t^{4}}{u t^{2} (1^{3} + u^{3})}$

Этап 1.1.3

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу суммы кубов, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , где $a = 1$ и $b = u$ .

$\frac{d u}{d t} = \frac{2 + t^{4}}{u t^{2} ((1 + u) (1^{2} - 1 u + u^{2}))}$

Этап 1.1.4

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{d u}{d t} = \frac{2 + t^{4}}{u t^{2} ((1 + u) (1 - 1 u + u^{2}))}$

Этап 1.1.4.1.2

Перепишем $- 1 u$ в виде $- u$ .

$\frac{d u}{d t} = \frac{2 + t^{4}}{u t^{2} ((1 + u) (1 - u + u^{2}))}$

Этап 1.1.4.2

Избавимся от ненужных скобок.

$\frac{d u}{d t} = \frac{2 + t^{4}}{u t^{2} (1 + u) (1 - u + u^{2})}$

Этап 1.2

Перегруппируем множители.

$\frac{d u}{d t} = \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} \cdot \frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})}$

Этап 1.3

Умножим обе части на $u (1 + u) (1 - u + u^{2})$ .

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = u (1 + u) (1 - u + u^{2}) (\frac{2 + t^{4}}{t^{2}} \cdot \frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})})$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = (u \cdot 1 + u \cdot u) (1 - u + u^{2}) (\frac{2 + t^{4}}{t^{2}} \cdot \frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})})$

Этап 1.4.2

Умножим $u$ на $1$ .

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = (u + u \cdot u) (1 - u + u^{2}) (\frac{2 + t^{4}}{t^{2}} \cdot \frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})})$

Этап 1.4.3

Умножим $u$ на $u$ .

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = (u + u^{2}) (1 - u + u^{2}) (\frac{2 + t^{4}}{t^{2}} \cdot \frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})})$

Этап 1.4.4

Развернем $(u + u^{2}) (1 - u + u^{2})$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = (u \cdot 1 + u (- u) + u \cdot u^{2} + u^{2} \cdot 1 + u^{2} (- u) + u^{2} u^{2}) (\frac{2 + t^{4}}{t^{2}} \cdot \frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})})$

Этап 1.4.5

Объединим противоположные члены в $u \cdot 1 + u (- u) + u \cdot u^{2} + u^{2} \cdot 1 + u^{2} (- u) + u^{2} u^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.5.1

Изменим порядок множителей в членах $u \cdot u^{2}$ и $u^{2} (- u)$ .

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = (u \cdot 1 + u (- u) + u^{2} u + u^{2} \cdot 1 - u^{2} u + u^{2} u^{2}) (\frac{2 + t^{4}}{t^{2}} \cdot \frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})})$

Этап 1.4.5.2

Вычтем $u^{2} u$ из $u^{2} u$ .

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = (u \cdot 1 + u (- u) + u^{2} \cdot 1 + 0 + u^{2} u^{2}) (\frac{2 + t^{4}}{t^{2}} \cdot \frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})})$

Этап 1.4.5.3

Добавим $u \cdot 1 + u (- u) + u^{2} \cdot 1$ и $0$ .

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = (u \cdot 1 + u (- u) + u^{2} \cdot 1 + u^{2} u^{2}) (\frac{2 + t^{4}}{t^{2}} \cdot \frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})})$

Этап 1.4.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.6.1

Умножим $u$ на $1$ .

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = (u + u (- u) + u^{2} \cdot 1 + u^{2} u^{2}) (\frac{2 + t^{4}}{t^{2}} \cdot \frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})})$

Этап 1.4.6.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = (u - u \cdot u + u^{2} \cdot 1 + u^{2} u^{2}) (\frac{2 + t^{4}}{t^{2}} \cdot \frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})})$

Этап 1.4.6.3

Умножим $u$ на $u$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.6.3.1

Перенесем $u$ .

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = (u - (u \cdot u) + u^{2} \cdot 1 + u^{2} u^{2}) (\frac{2 + t^{4}}{t^{2}} \cdot \frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})})$

Этап 1.4.6.3.2

Умножим $u$ на $u$ .

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = (u - u^{2} + u^{2} \cdot 1 + u^{2} u^{2}) (\frac{2 + t^{4}}{t^{2}} \cdot \frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})})$

Этап 1.4.6.4

Умножим $u^{2}$ на $1$ .

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = (u - u^{2} + u^{2} + u^{2} u^{2}) (\frac{2 + t^{4}}{t^{2}} \cdot \frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})})$

Этап 1.4.6.5

Умножим $u^{2}$ на $u^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.6.5.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = (u - u^{2} + u^{2} + u^{2 + 2}) (\frac{2 + t^{4}}{t^{2}} \cdot \frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})})$

Этап 1.4.6.5.2

Добавим $2$ и $2$ .

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = (u - u^{2} + u^{2} + u^{4}) (\frac{2 + t^{4}}{t^{2}} \cdot \frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})})$

Этап 1.4.7

Объединим противоположные члены в $u - u^{2} + u^{2} + u^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.7.1

Добавим $- u^{2}$ и $u^{2}$ .

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = (u + 0 + u^{4}) (\frac{2 + t^{4}}{t^{2}} \cdot \frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})})$

Этап 1.4.7.2

Добавим $u$ и $0$ .

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = (u + u^{4}) (\frac{2 + t^{4}}{t^{2}} \cdot \frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})})$

Этап 1.4.8

Умножим $\frac{2 + t^{4}}{t^{2}}$ на $\frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})}$ .

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = (u + u^{4}) \frac{2 + t^{4}}{t^{2} (u (1 + u) (1 - u + u^{2}))}$

Этап 1.4.9

Избавимся от скобок.

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = (u + u^{4}) \frac{2 + t^{4}}{t^{2} u (1 + u) (1 - u + u^{2})}$

Этап 1.4.10

Умножим $u + u^{4}$ на $\frac{2 + t^{4}}{t^{2} u (1 + u) (1 - u + u^{2})}$ .

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = \frac{(u + u^{4}) (2 + t^{4})}{t^{2} u (1 + u) (1 - u + u^{2})}$

Этап 1.4.11

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.11.1

Вынесем множитель $u$ из $u + u^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.11.1.1

Возведем $u$ в степень $1$ .

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = \frac{(u^{1} + u^{4}) (2 + t^{4})}{t^{2} u (1 + u) (1 - u + u^{2})}$

Этап 1.4.11.1.2

Вынесем множитель $u$ из $u^{1}$ .

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = \frac{(u \cdot 1 + u^{4}) (2 + t^{4})}{t^{2} u (1 + u) (1 - u + u^{2})}$

Этап 1.4.11.1.3

Вынесем множитель $u$ из $u^{4}$ .

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = \frac{(u \cdot 1 + u \cdot u^{3}) (2 + t^{4})}{t^{2} u (1 + u) (1 - u + u^{2})}$

Этап 1.4.11.1.4

Вынесем множитель $u$ из $u \cdot 1 + u \cdot u^{3}$ .

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = \frac{u (1 + u^{3}) (2 + t^{4})}{t^{2} u (1 + u) (1 - u + u^{2})}$

Этап 1.4.11.2

Перепишем $1$ в виде $1^{3}$ .

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = \frac{u (1^{3} + u^{3}) (2 + t^{4})}{t^{2} u (1 + u) (1 - u + u^{2})}$

Этап 1.4.11.3

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = \frac{u ((1 + u) (1^{2} - 1 u + u^{2})) (2 + t^{4})}{t^{2} u (1 + u) (1 - u + u^{2})}$

Этап 1.4.11.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.11.4.1

Единица в любой степени равна единице.

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = \frac{u ((1 + u) (1 - 1 u + u^{2})) (2 + t^{4})}{t^{2} u (1 + u) (1 - u + u^{2})}$

Этап 1.4.11.4.2

Перепишем $- 1 u$ в виде $- u$ .

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = \frac{u ((1 + u) (1 - u + u^{2})) (2 + t^{4})}{t^{2} u (1 + u) (1 - u + u^{2})}$

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = \frac{u (1 + u) (1 - u + u^{2}) (2 + t^{4})}{t^{2} u (1 + u) (1 - u + u^{2})}$

Этап 1.4.12

Сократим общий множитель $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.12.1

Сократим общий множитель.

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = \frac{u (1 + u) (1 - u + u^{2}) (2 + t^{4})}{t^{2} u (1 + u) (1 - u + u^{2})}$

Этап 1.4.12.2

Перепишем это выражение.

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = \frac{((1 + u) (1 - u + u^{2})) (2 + t^{4})}{(t^{2} (1 + u)) (1 - u + u^{2})}$

Этап 1.4.13

Сократим общий множитель $1 + u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.13.1

Сократим общий множитель.

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = \frac{(1 + u) (1 - u + u^{2}) (2 + t^{4})}{t^{2} (1 + u) (1 - u + u^{2})}$

Этап 1.4.13.2

Перепишем это выражение.

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = \frac{(1 - u + u^{2}) (2 + t^{4})}{(t^{2}) (1 - u + u^{2})}$

Этап 1.4.14

Сократим общий множитель $1 - u + u^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.14.1

Сократим общий множитель.

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = \frac{(1 - u + u^{2}) (2 + t^{4})}{t^{2} (1 - u + u^{2})}$

Этап 1.4.14.2

Перепишем это выражение.

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = \frac{2 + t^{4}}{t^{2}}$

Этап 1.5

Перепишем уравнение.

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) d u = \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int u (1 + u) (1 - u + u^{2}) d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\int (u \cdot 1 + u \cdot u) (1 - u + u^{2}) d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Этап 2.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\int u \cdot 1 (1 - u + u^{2}) + u \cdot u (1 - u + u^{2}) d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Этап 2.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\int u \cdot 1 (1 - u) + u \cdot 1 u^{2} + u \cdot u (1 - u + u^{2}) d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Этап 2.2.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\int u \cdot 1 \cdot 1 + u \cdot 1 (- u) + u \cdot 1 u^{2} + u \cdot u (1 - u + u^{2}) d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Этап 2.2.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$\int u \cdot 1 \cdot 1 + u \cdot 1 (- u) + u \cdot 1 u^{2} + u \cdot u (1 - u) + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Этап 2.2.1.6

Применим свойство дистрибутивности.

$\int u \cdot 1 \cdot 1 + u \cdot 1 (- u) + u \cdot 1 u^{2} + u \cdot u \cdot 1 + u \cdot u (- u) + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Этап 2.2.1.7

Изменим порядок $u$ и $1$ .

$\int 1 \cdot u \cdot 1 + u \cdot 1 (- u) + u \cdot 1 u^{2} + u \cdot u \cdot 1 + u \cdot u (- u) + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Этап 2.2.1.8

Перенесем $u$ .

$\int 1 \cdot 1 u + u \cdot 1 (- u) + u \cdot 1 u^{2} + u \cdot u \cdot 1 + u \cdot u (- u) + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Этап 2.2.1.9

Изменим порядок $u$ и $1$ .

$\int 1 \cdot 1 u + 1 \cdot u (- u) + u \cdot 1 u^{2} + u \cdot u \cdot 1 + u \cdot u (- u) + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Этап 2.2.1.10

Перенесем $u$ .

$\int 1 \cdot 1 u + 1 \cdot - 1 u \cdot u + u \cdot 1 u^{2} + u \cdot u \cdot 1 + u \cdot u (- u) + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Этап 2.2.1.11

Изменим порядок $u$ и $1$ .

$\int 1 \cdot 1 u + 1 \cdot - 1 u \cdot u + 1 \cdot u \cdot u^{2} + u \cdot u \cdot 1 + u \cdot u (- u) + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Этап 2.2.1.12

Перенесем $u$ .

$\int 1 \cdot 1 u + 1 \cdot - 1 u \cdot u + 1 \cdot u \cdot u^{2} + u \cdot 1 u + u \cdot u (- u) + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Этап 2.2.1.13

Изменим порядок $u$ и $1$ .

$\int 1 \cdot 1 u + 1 \cdot - 1 u \cdot u + 1 \cdot u \cdot u^{2} + 1 \cdot u \cdot u + u \cdot u (- u) + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Этап 2.2.1.14

Перенесем $u$ .

$\int 1 \cdot 1 u + 1 \cdot - 1 u \cdot u + 1 \cdot u \cdot u^{2} + 1 \cdot u \cdot u + u \cdot - 1 u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Этап 2.2.1.15

Изменим порядок $u$ и $- 1$ .

$\int 1 \cdot 1 u + 1 \cdot - 1 u \cdot u + 1 \cdot u \cdot u^{2} + 1 \cdot u \cdot u - 1 \cdot u \cdot u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Этап 2.2.1.16

Умножим $1$ на $1$ .

$\int 1 u + 1 \cdot - 1 u \cdot u + 1 u \cdot u^{2} + 1 u \cdot u - 1 u \cdot u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Этап 2.2.1.17

Умножим $u$ на $1$ .

$\int u + 1 \cdot - 1 u \cdot u + 1 u \cdot u^{2} + 1 u \cdot u - 1 u \cdot u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Этап 2.2.1.18

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\int u - u \cdot u + 1 u \cdot u^{2} + 1 u \cdot u - 1 u \cdot u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Этап 2.2.1.19

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$\int u - (u \cdot u) + 1 u \cdot u^{2} + 1 u \cdot u - 1 u \cdot u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Этап 2.2.1.20

Возведем $u$ в степень $1$ .

$\int u - (u^{1} u) + 1 u \cdot u^{2} + 1 u \cdot u - 1 u \cdot u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Этап 2.2.1.21

Возведем $u$ в степень $1$ .

$\int u - (u^{1} u^{1}) + 1 u \cdot u^{2} + 1 u \cdot u - 1 u \cdot u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Этап 2.2.1.22

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int u - u^{1 + 1} + 1 u \cdot u^{2} + 1 u \cdot u - 1 u \cdot u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Этап 2.2.1.23

Добавим $1$ и $1$ .

$\int u - u^{2} + 1 u \cdot u^{2} + 1 u \cdot u - 1 u \cdot u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Этап 2.2.1.24

Умножим $u$ на $1$ .

$\int u - u^{2} + u \cdot u^{2} + 1 u \cdot u - 1 u \cdot u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Этап 2.2.1.25

Возведем $u$ в степень $1$ .

$\int u - u^{2} + u^{1} u^{2} + 1 u \cdot u - 1 u \cdot u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Этап 2.2.1.26

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int u - u^{2} + u^{1 + 2} + 1 u \cdot u - 1 u \cdot u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Этап 2.2.1.27

Добавим $1$ и $2$ .

$\int u - u^{2} + u^{3} + 1 u \cdot u - 1 u \cdot u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Этап 2.2.1.28

Умножим $u$ на $1$ .

$\int u - u^{2} + u^{3} + u \cdot u - 1 u \cdot u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Этап 2.2.1.29

Возведем $u$ в степень $1$ .

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{1} u - 1 u \cdot u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Этап 2.2.1.30

Возведем $u$ в степень $1$ .

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{1} u^{1} - 1 u \cdot u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Этап 2.2.1.31

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{1 + 1} - 1 u \cdot u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Этап 2.2.1.32

Добавим $1$ и $1$ .

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{2} - 1 u \cdot u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Этап 2.2.1.33

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{2} - (u \cdot u) u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Этап 2.2.1.34

Возведем $u$ в степень $1$ .

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{2} - (u^{1} u) u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Этап 2.2.1.35

Возведем $u$ в степень $1$ .

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{2} - (u^{1} u^{1}) u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Этап 2.2.1.36

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{2} - u^{1 + 1} u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Этап 2.2.1.37

Добавим $1$ и $1$ .

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{2} - u^{2} u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Этап 2.2.1.38

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{2} - (u^{2} u) + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Этап 2.2.1.39

Возведем $u$ в степень $1$ .

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{2} - (u^{2} u^{1}) + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Этап 2.2.1.40

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{2} - u^{2 + 1} + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Этап 2.2.1.41

Добавим $2$ и $1$ .

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{2} - u^{3} + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Этап 2.2.1.42

Возведем $u$ в степень $1$ .

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{2} - u^{3} + u^{1} u \cdot u^{2} d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Этап 2.2.1.43

Возведем $u$ в степень $1$ .

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{2} - u^{3} + u^{1} u^{1} u^{2} d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Этап 2.2.1.44

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{2} - u^{3} + u^{1 + 1} u^{2} d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Этап 2.2.1.45

Добавим $1$ и $1$ .

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{2} - u^{3} + u^{2} u^{2} d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Этап 2.2.1.46

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{2} - u^{3} + u^{2 + 2} d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Этап 2.2.1.47

Добавим $2$ и $2$ .

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{2} - u^{3} + u^{4} d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Этап 2.2.1.48

Изменим порядок $u$ и $- u^{2}$ .

$\int - u^{2} + u + u^{3} + u^{2} - u^{3} + u^{4} d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Этап 2.2.1.49

Перенесем $u$ .

$\int - u^{2} + u^{3} + u + u^{2} - u^{3} + u^{4} d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Этап 2.2.1.50

Изменим порядок $- u^{2}$ и $u^{3}$ .

$\int u^{3} - u^{2} + u + u^{2} - u^{3} + u^{4} d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Этап 2.2.1.51

Изменим порядок $u^{2}$ и $- u^{3}$ .

$\int u^{3} - u^{2} + u - u^{3} + u^{2} + u^{4} d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Этап 2.2.1.52

Перенесем $u^{2}$ .

$\int u^{3} - u^{2} + u - u^{3} + u^{4} + u^{2} d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Этап 2.2.1.53

Изменим порядок $- u^{3}$ и $u^{4}$ .

$\int u^{3} - u^{2} + u + u^{4} - u^{3} + u^{2} d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Этап 2.2.1.54

Перенесем $u$ .

$\int u^{3} - u^{2} + u^{4} - u^{3} + u^{2} + u d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Этап 2.2.1.55

Перенесем $- u^{2}$ .

$\int u^{3} + u^{4} - u^{3} + u^{2} - u^{2} + u d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Этап 2.2.1.56

Изменим порядок $u^{3}$ и $u^{4}$ .

$\int u^{4} + u^{3} - u^{3} + u^{2} - u^{2} + u d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Этап 2.2.1.57

Вычтем $u^{3}$ из $u^{3}$ .

$\int u^{4} + 0 + u^{2} - u^{2} + u d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Этап 2.2.1.58

Добавим $u^{4}$ и $0$ .

$\int u^{4} + u^{2} - u^{2} + u d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Этап 2.2.1.59

Вычтем $u^{2}$ из $u^{2}$ .

$\int u^{4} + 0 + u d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Этап 2.2.1.60

Добавим $u^{4}$ и $0$ .

$\int u^{4} + u d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Этап 2.2.2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int u^{4} d u + \int u d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Этап 2.2.3

По правилу степени интеграл $u^{4}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + C_{1} + \int u d u = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Этап 2.2.4

По правилу степени интеграл $u$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + C_{1} + \frac{1}{2} u^{2} + C_{2} = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Этап 2.2.5

Упростим.

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{2} u^{2} + C_{3} = \int \frac{2 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Вынесем $t^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{2} u^{2} + C_{3} = \int (2 + t^{4}) {(t^{2})}^{- 1} d t$

Этап 2.3.1.2

Перемножим экспоненты в ${(t^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{2} u^{2} + C_{3} = \int (2 + t^{4}) t^{2 \cdot - 1} d t$

Этап 2.3.1.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{2} u^{2} + C_{3} = \int (2 + t^{4}) t^{- 2} d t$

Этап 2.3.2

Умножим $(2 + t^{4}) t^{- 2}$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{2} u^{2} + C_{3} = \int 2 t^{- 2} + t^{4} t^{- 2} d t$

Этап 2.3.3

Умножим $t^{4}$ на $t^{- 2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{2} u^{2} + C_{3} = \int 2 t^{- 2} + t^{4 - 2} d t$

Этап 2.3.3.2

Вычтем $2$ из $4$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{2} u^{2} + C_{3} = \int 2 t^{- 2} + t^{2} d t$

Этап 2.3.4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{2} u^{2} + C_{3} = \int 2 t^{- 2} d t + \int t^{2} d t$

Этап 2.3.5

Поскольку $2$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{2} u^{2} + C_{3} = 2 \int t^{- 2} d t + \int t^{2} d t$

Этап 2.3.6

По правилу степени интеграл $t^{- 2}$ по $t$ имеет вид $- t^{- 1}$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{2} u^{2} + C_{3} = 2 (- t^{- 1} + C_{4}) + \int t^{2} d t$

Этап 2.3.7

По правилу степени интеграл $t^{2}$ по $t$ имеет вид $\frac{1}{3} t^{3}$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{2} u^{2} + C_{3} = 2 (- t^{- 1} + C_{4}) + \frac{1}{3} t^{3} + C_{5}$

Этап 2.3.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.8.1

Упростим.

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{2} u^{2} + C_{3} = 2 (- \frac{1}{t}) + \frac{1}{3} t^{3} + C_{6}$

Этап 2.3.8.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.8.2.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{2} u^{2} + C_{3} = - 2 \frac{1}{t} + \frac{1}{3} t^{3} + C_{6}$

Этап 2.3.8.2.2

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{t}$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{2} u^{2} + C_{3} = \frac{- 2}{t} + \frac{1}{3} t^{3} + C_{6}$

Этап 2.3.8.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{2} u^{2} + C_{3} = - \frac{2}{t} + \frac{1}{3} t^{3} + C_{6}$

Этап 2.3.9

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{2} u^{2} + C_{3} = \frac{1}{3} t^{3} - \frac{2}{t} + C_{6}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{2} u^{2} = \frac{1}{3} t^{3} - \frac{2}{t} + K$