Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = y^{2} (1 + e^{x})$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} (y^{2} (1 + e^{x}))$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} (y^{2} (1 + e^{x}))$

Этап 1.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = 1 + e^{x}$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{y^{2}} d y = (1 + e^{x}) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{y^{2}} d y = \int 1 + e^{x} d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Вынесем $y^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int {(y^{2})}^{- 1} d y = \int 1 + e^{x} d x$

Этап 2.2.1.2

Перемножим экспоненты в ${(y^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{2 \cdot - 1} d y = \int 1 + e^{x} d x$

Этап 2.2.1.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\int y^{- 2} d y = \int 1 + e^{x} d x$

Этап 2.2.2

По правилу степени интеграл $y^{- 2}$ по $y$ имеет вид $- y^{- 1}$ .

$- y^{- 1} + C_{1} = \int 1 + e^{x} d x$

Этап 2.2.3

Перепишем $- y^{- 1} + C_{1}$ в виде $- \frac{1}{y} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int 1 + e^{x} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int d x + \int e^{x} d x$

Этап 2.3.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = x + C_{2} + \int e^{x} d x$

Этап 2.3.3

Интеграл $e^{x}$ по $x$ имеет вид $e^{x}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = x + C_{2} + e^{x} + C_{3}$

Этап 2.3.4

Упростим.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = x + e^{x} + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$- \frac{1}{y} = x + e^{x} + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$y, 1, 1, 1$

Этап 3.1.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$y$

Этап 3.2

Каждый член в $- \frac{1}{y} = x + e^{x} + K$ умножим на $y$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Умножим каждый член $- \frac{1}{y} = x + e^{x} + K$ на $y$ .

$- \frac{1}{y} y = x y + e^{x} y + K y$

Этап 3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{y}$ в числитель.

$\frac{- 1}{y} y = x y + e^{x} y + K y$

Этап 3.2.2.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1}{y} y = x y + e^{x} y + K y$

Этап 3.2.2.1.3

Перепишем это выражение.

$- 1 = x y + e^{x} y + K y$

Этап 3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Изменим порядок множителей в $x y + e^{x} y + K y$ .

$- 1 = x y + y e^{x} + K y$

Этап 3.3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем уравнение в виде $x y + y e^{x} + K y = - 1$ .

$x y + y e^{x} + K y = - 1$

Этап 3.3.2

Вынесем множитель $y$ из $x y + y e^{x} + K y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Вынесем множитель $y$ из $x y$ .

$y x + y e^{x} + K y = - 1$

Этап 3.3.2.2

Вынесем множитель $y$ из $y e^{x}$ .

$y x + y (e^{x}) + K y = - 1$

Этап 3.3.2.3

Вынесем множитель $y$ из $K y$ .

$y x + y (e^{x}) + y K = - 1$

Этап 3.3.2.4

Вынесем множитель $y$ из $y x + y (e^{x})$ .

$y (x + e^{x}) + y K = - 1$

Этап 3.3.2.5

Вынесем множитель $y$ из $y (x + e^{x}) + y K$ .

$y (x + e^{x} + K) = - 1$

Этап 3.3.3

Разделим каждый член $y (x + e^{x} + K) = - 1$ на $x + e^{x} + K$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Разделим каждый член $y (x + e^{x} + K) = - 1$ на $x + e^{x} + K$ .

$\frac{y (x + e^{x} + K)}{x + e^{x} + K} = \frac{- 1}{x + e^{x} + K}$

Этап 3.3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.1

Сократим общий множитель $x + e^{x} + K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y (x + e^{x} + K)}{x + e^{x} + K} = \frac{- 1}{x + e^{x} + K}$

Этап 3.3.3.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{- 1}{x + e^{x} + K}$

Этап 3.3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{1}{x + e^{x} + K}$