Математический анализ Примеры

$(1 + x^{3}) d y = 3 x^{2} (y d) x$

Этап 1

Умножим обе части на $\frac{1}{(1 + x^{3}) y}$ .

$\frac{1}{(1 + x^{3}) y} (1 + x^{3}) d y = \frac{1}{(1 + x^{3}) y} (3 x^{2} y) d x$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Сократим общий множитель $1 + x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вынесем множитель $1 + x^{3}$ из $(1 + x^{3}) y$ .

$\frac{1}{(1 + x^{3}) (y)} (1 + x^{3}) d y = \frac{1}{(1 + x^{3}) y} (3 x^{2} y) d x$

Этап 2.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{(1 + x^{3}) y} (1 + x^{3}) d y = \frac{1}{(1 + x^{3}) y} (3 x^{2} y) d x$

Этап 2.1.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{(1 + x^{3}) y} (3 x^{2} y) d x$

Этап 2.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{1}{y} d y = 3 \frac{1}{(1 + x^{3}) y} (x^{2} y) d x$

Этап 2.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Перепишем $1$ в виде $1^{3}$ .

$\frac{1}{y} d y = 3 \frac{1}{(1^{3} + x^{3}) y} (x^{2} y) d x$

Этап 2.3.2

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу суммы кубов, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , где $a = 1$ и $b = x$ .

$\frac{1}{y} d y = 3 \frac{1}{(1 + x) (1^{2} - 1 x + x^{2}) y} (x^{2} y) d x$

Этап 2.3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{y} d y = 3 \frac{1}{(1 + x) (1 - 1 x + x^{2}) y} (x^{2} y) d x$

Этап 2.3.3.2

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$\frac{1}{y} d y = 3 \frac{1}{(1 + x) (1 - x + x^{2}) y} (x^{2} y) d x$

Этап 2.4

Объединим $3$ и $\frac{1}{(1 + x) (1 - x + x^{2}) y}$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{3}{(1 + x) (1 - x + x^{2}) y} (x^{2} y) d x$

Этап 2.5

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Вынесем множитель $y$ из $(1 + x) (1 - x + x^{2}) y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{3}{y ((1 + x) (1 - x + x^{2}))} (x^{2} y) d x$

Этап 2.5.2

Вынесем множитель $y$ из $x^{2} y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{3}{y ((1 + x) (1 - x + x^{2}))} (y x^{2}) d x$

Этап 2.5.3

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y} d y = \frac{3}{y ((1 + x) (1 - x + x^{2}))} (y x^{2}) d x$

Этап 2.5.4

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y} d y = \frac{3}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} x^{2} d x$

Этап 2.6

Объединим $\frac{3}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$ и $x^{2}$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{3 x^{2}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} d x$

Этап 3

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{3 x^{2}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} d x$

Этап 3.2

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{3 x^{2}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} d x$

Этап 3.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$\ln (| y |) + C_{1} = 3 \int \frac{x^{2}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} d x$

Этап 3.3.2

Пусть $u = (1 + x) (1 - x + x^{2})$ . Тогда $d u = 3 x^{2} d x$ , следовательно $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Пусть $u = (1 + x) (1 - x + x^{2})$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Дифференцируем $(1 + x) (1 - x + x^{2})$ .

$\frac{d}{d x} [(1 + x) (1 - x + x^{2})]$

Этап 3.3.2.1.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = 1 + x$ и $g (x) = 1 - x + x^{2}$ .

$(1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x + x^{2}] + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Этап 3.3.2.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.3.1

По правилу суммы производная $1 - x + x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(1 + x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Этап 3.3.2.1.3.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$(1 + x) (0 + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Этап 3.3.2.1.3.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$(1 + x) (\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Этап 3.3.2.1.3.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$(1 + x) (- \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Этап 3.3.2.1.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(1 + x) (- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Этап 3.3.2.1.3.6

Умножим $- 1$ на $1$ .

$(1 + x) (- 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Этап 3.3.2.1.3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$(1 + x) (- 1 + 2 x) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Этап 3.3.2.1.3.8

По правилу суммы производная $1 + x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$(1 + x) (- 1 + 2 x) + (1 - x + x^{2}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.3.2.1.3.9

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$(1 + x) (- 1 + 2 x) + (1 - x + x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.3.2.1.3.10

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [x]$ .

$(1 + x) (- 1 + 2 x) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.3.2.1.3.11

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(1 + x) (- 1 + 2 x) + (1 - x + x^{2}) \cdot 1$

Этап 3.3.2.1.3.12

Умножим $1 - x + x^{2}$ на $1$ .

$(1 + x) (- 1 + 2 x) + 1 - x + x^{2}$

Этап 3.3.2.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(1 + x) \cdot - 1 + (1 + x) (2 x) + 1 - x + x^{2}$

Этап 3.3.2.1.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$1 \cdot - 1 + x \cdot - 1 + (1 + x) (2 x) + 1 - x + x^{2}$

Этап 3.3.2.1.4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$1 \cdot - 1 + x \cdot - 1 + 1 (2 x) + x (2 x) + 1 - x + x^{2}$

Этап 3.3.2.1.4.4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.4.4.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 1 + x \cdot - 1 + 1 (2 x) + x (2 x) + 1 - x + x^{2}$

Этап 3.3.2.1.4.4.2

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$- 1 - 1 \cdot x + 1 (2 x) + x (2 x) + 1 - x + x^{2}$

Этап 3.3.2.1.4.4.3

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$- 1 - x + 1 (2 x) + x (2 x) + 1 - x + x^{2}$

Этап 3.3.2.1.4.4.4

Умножим $2$ на $1$ .

$- 1 - x + 2 x + x (2 x) + 1 - x + x^{2}$

Этап 3.3.2.1.4.4.5

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- 1 - x + 2 x + 2 (x^{1} x) + 1 - x + x^{2}$

Этап 3.3.2.1.4.4.6

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- 1 - x + 2 x + 2 (x^{1} x^{1}) + 1 - x + x^{2}$

Этап 3.3.2.1.4.4.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 1 - x + 2 x + 2 x^{1 + 1} + 1 - x + x^{2}$

Этап 3.3.2.1.4.4.8

Добавим $1$ и $1$ .

$- 1 - x + 2 x + 2 x^{2} + 1 - x + x^{2}$

Этап 3.3.2.1.4.4.9

Добавим $- x$ и $2 x$ .

$- 1 + x + 2 x^{2} + 1 - x + x^{2}$

Этап 3.3.2.1.4.4.10

Добавим $- 1$ и $1$ .

$x + 2 x^{2} + 0 - x + x^{2}$

Этап 3.3.2.1.4.4.11

Добавим $x + 2 x^{2}$ и $0$ .

$x + 2 x^{2} - x + x^{2}$

Этап 3.3.2.1.4.4.12

Вычтем $x$ из $x$ .

$2 x^{2} + 0 + x^{2}$

Этап 3.3.2.1.4.4.13

Добавим $2 x^{2}$ и $0$ .

$2 x^{2} + x^{2}$

Этап 3.3.2.1.4.4.14

Добавим $2 x^{2}$ и $x^{2}$ .

$3 x^{2}$

Этап 3.3.2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 3 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{3} d u$

Этап 3.3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Умножим $\frac{1}{u}$ на $\frac{1}{3}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 3 \int \frac{1}{u \cdot 3} d u$

Этап 3.3.3.2

Перенесем $3$ влево от $u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 3 \int \frac{1}{3 u} d u$

Этап 3.3.4

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$\ln (| y |) + C_{1} = 3 (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u)$

Этап 3.3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $3$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{3}{3} \int \frac{1}{u} d u$

Этап 3.3.5.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.2.1

Сократим общий множитель.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{3}{3} \int \frac{1}{u} d u$

Этап 3.3.5.2.2

Перепишем это выражение.

$\ln (| y |) + C_{1} = 1 \int \frac{1}{u} d u$

Этап 3.3.5.3

Умножим $\int \frac{1}{u} d u$ на $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u} d u$

Этап 3.3.6

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \ln (| u |) + C_{2}$

Этап 3.3.7

Заменим все вхождения $u$ на $(1 + x) (1 - x + x^{2})$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \ln (| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |) + C_{2}$

Этап 3.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\ln (| y |) = \ln (| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |) + C$

Этап 4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\ln (| y |) - \ln (| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |) = C$

Этап 4.2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |}) = C$

Этап 4.3

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (\frac{| y |}{| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |})} = e^{C}$

Этап 4.4

Перепишем $\ln (\frac{| y |}{| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |}) = C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| y |}{| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |}$

Этап 4.5

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{| y |}{| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |} = e^{C}$ .

$\frac{| y |}{| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |} = e^{C}$

Этап 4.5.2

Умножим обе части на $| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |$ .

$\frac{| y |}{| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |} | (1 + x) (1 - x + x^{2}) | = e^{C} | (1 + x) (1 - x + x^{2}) |$

Этап 4.5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.3.1.1

Сократим общий множитель $| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{| y |}{| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |} | (1 + x) (1 - x + x^{2}) | = e^{C} | (1 + x) (1 - x + x^{2}) |$

Этап 4.5.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$| y | = e^{C} | (1 + x) (1 - x + x^{2}) |$

Этап 4.5.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.3.2.1

Упростим $e^{C} | (1 + x) (1 - x + x^{2}) |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.3.2.1.1

Развернем $(1 + x) (1 - x + x^{2})$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$| y | = e^{C} | 1 \cdot 1 + 1 (- x) + 1 x^{2} + x \cdot 1 + x (- x) + x \cdot x^{2} |$

Этап 4.5.3.2.1.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.3.2.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.3.2.1.2.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$| y | = e^{C} | 1 + 1 (- x) + 1 x^{2} + x \cdot 1 + x (- x) + x \cdot x^{2} |$

Этап 4.5.3.2.1.2.1.2

Умножим $- x$ на $1$ .

$| y | = e^{C} | 1 - x + 1 x^{2} + x \cdot 1 + x (- x) + x \cdot x^{2} |$

Этап 4.5.3.2.1.2.1.3

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$| y | = e^{C} | 1 - x + x^{2} + x \cdot 1 + x (- x) + x \cdot x^{2} |$

Этап 4.5.3.2.1.2.1.4

Умножим $x$ на $1$ .

$| y | = e^{C} | 1 - x + x^{2} + x + x (- x) + x \cdot x^{2} |$

Этап 4.5.3.2.1.2.1.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$| y | = e^{C} | 1 - x + x^{2} + x - x \cdot x + x \cdot x^{2} |$

Этап 4.5.3.2.1.2.1.6

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.3.2.1.2.1.6.1

Перенесем $x$ .

$| y | = e^{C} | 1 - x + x^{2} + x - (x \cdot x) + x \cdot x^{2} |$

Этап 4.5.3.2.1.2.1.6.2

Умножим $x$ на $x$ .

$| y | = e^{C} | 1 - x + x^{2} + x - x^{2} + x \cdot x^{2} |$

Этап 4.5.3.2.1.2.1.7

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.3.2.1.2.1.7.1

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.3.2.1.2.1.7.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$| y | = e^{C} | 1 - x + x^{2} + x - x^{2} + x^{1} x^{2} |$

Этап 4.5.3.2.1.2.1.7.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$| y | = e^{C} | 1 - x + x^{2} + x - x^{2} + x^{1 + 2} |$

Этап 4.5.3.2.1.2.1.7.2

Добавим $1$ и $2$ .

$| y | = e^{C} | 1 - x + x^{2} + x - x^{2} + x^{3} |$

Этап 4.5.3.2.1.2.2

Объединим противоположные члены в $1 - x + x^{2} + x - x^{2} + x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.3.2.1.2.2.1

Добавим $- x$ и $x$ .

$| y | = e^{C} | 1 + x^{2} + 0 - x^{2} + x^{3} |$

Этап 4.5.3.2.1.2.2.2

Добавим $1 + x^{2}$ и $0$ .

$| y | = e^{C} | 1 + x^{2} - x^{2} + x^{3} |$

Этап 4.5.3.2.1.2.2.3

Вычтем $x^{2}$ из $x^{2}$ .

$| y | = e^{C} | 1 + 0 + x^{3} |$

Этап 4.5.3.2.1.2.2.4

Добавим $1$ и $0$ .

$| y | = e^{C} | 1 + x^{3} |$

Этап 4.5.4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.4.1

Изменим порядок множителей в $e^{C} | 1 + x^{3} |$ .

$| y | = | 1 + x^{3} | e^{C}$

Этап 4.5.4.2

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$y = \pm | 1 + x^{3} | e^{C}$

Этап 5

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \pm | 1 + x^{3} | C$

Этап 5.2

Объединим константы с плюсом или минусом.

$y = C | 1 + x^{3} |$