Математический анализ Примеры

$(x + 1) \frac{d y}{d x} - y = e^{x} {(x + 1)}^{2}$

Этап 1

Перепишем дифференциальное уравнение в виде $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим каждый член $(x + 1) \frac{d y}{d x} - y = e^{x} {(x + 1)}^{2}$ на $x + 1$ .

$\frac{(x + 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{- y}{x + 1} = \frac{e^{x} {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(x + 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{- y}{x + 1} = \frac{e^{x} {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Этап 1.2.2

Разделим $\frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x + 1} = \frac{e^{x} {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Этап 1.3

Сократим общий множитель ${(x + 1)}^{2}$ и $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Вынесем множитель $x + 1$ из $e^{x} {(x + 1)}^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x + 1} = \frac{(x + 1) (e^{x} (x + 1))}{x + 1}$

Этап 1.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Умножим на $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x + 1} = \frac{(x + 1) (e^{x} (x + 1))}{(x + 1) \cdot 1}$

Этап 1.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x + 1} = \frac{(x + 1) (e^{x} (x + 1))}{(x + 1) \cdot 1}$

Этап 1.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x + 1} = \frac{e^{x} (x + 1)}{1}$

Этап 1.3.2.4

Разделим $e^{x} (x + 1)$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x + 1} = e^{x} (x + 1)$

Этап 1.4

Вынесем множитель $y$ из $\frac{- y}{x + 1}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{- 1}{x + 1} = e^{x} (x + 1)$

Этап 1.5

Изменим порядок $y$ и $\frac{- 1}{x + 1}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 1}{x + 1} y = e^{x} (x + 1)$

Этап 2

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (x) d x}$ , где $P (x) = \frac{- 1}{x + 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int \frac{- 1}{x + 1} d x}$

Этап 2.2

Проинтегрируем $\frac{- 1}{x + 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$e^{\int - \frac{1}{x + 1} d x}$

Этап 2.2.2

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$e^{- \int \frac{1}{x + 1} d x}$

Этап 2.2.3

Пусть $u = x + 1$ . Тогда $d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Пусть $u = x + 1$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1.1

Дифференцируем $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Этап 2.2.3.1.2

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.2.3.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.2.3.1.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 2.2.3.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 2.2.3.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$e^{- \int \frac{1}{u} d u}$

Этап 2.2.4

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$e^{- (\ln (| u |) + C)}$

Этап 2.2.5

Упростим.

$e^{- \ln (| u |) + C}$

Этап 2.2.6

Заменим все вхождения $u$ на $x + 1$ .

$e^{- \ln (| x + 1 |) + C}$

Этап 2.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{- \ln (x + 1)}$

Этап 2.4

Применим правило степени для логарифма.

$e^{\ln ({(x + 1)}^{- 1})}$

Этап 2.5

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

${(x + 1)}^{- 1}$

Этап 2.6

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x + 1}$

Этап 3

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $\frac{1}{x + 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член на $\frac{1}{x + 1}$ .

$\frac{1}{x + 1} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x + 1} (\frac{- 1}{x + 1} y) = \frac{1}{x + 1} (e^{x} (x + 1))$

Этап 3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Объединим $\frac{1}{x + 1}$ и $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{1}{x + 1} (\frac{- 1}{x + 1} y) = \frac{1}{x + 1} (e^{x} (x + 1))$

Этап 3.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{1}{x + 1} (- \frac{1}{x + 1} y) = \frac{1}{x + 1} (e^{x} (x + 1))$

Этап 3.2.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x + 1} - \frac{1}{x + 1} (\frac{1}{x + 1} y) = \frac{1}{x + 1} (e^{x} (x + 1))$

Этап 3.2.4

Объединим $\frac{1}{x + 1}$ и $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x + 1} - \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{y}{x + 1} = \frac{1}{x + 1} (e^{x} (x + 1))$

Этап 3.2.5

Умножим $- \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{y}{x + 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1

Умножим $\frac{y}{x + 1}$ на $\frac{1}{x + 1}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x + 1} - \frac{y}{(x + 1) (x + 1)} = \frac{1}{x + 1} (e^{x} (x + 1))$

Этап 3.2.5.2

Возведем $x + 1$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x + 1} - \frac{y}{{(x + 1)}^{1} (x + 1)} = \frac{1}{x + 1} (e^{x} (x + 1))$

Этап 3.2.5.3

Возведем $x + 1$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x + 1} - \frac{y}{{(x + 1)}^{1} {(x + 1)}^{1}} = \frac{1}{x + 1} (e^{x} (x + 1))$

Этап 3.2.5.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x + 1} - \frac{y}{{(x + 1)}^{1 + 1}} = \frac{1}{x + 1} (e^{x} (x + 1))$

Этап 3.2.5.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x + 1} - \frac{y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{1}{x + 1} (e^{x} (x + 1))$

Этап 3.3

Чтобы записать $\frac{\frac{d y}{d x}}{x + 1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x + 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} - \frac{y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{1}{x + 1} (e^{x} (x + 1))$

Этап 3.4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем ${(x + 1)}^{2}$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Умножим $\frac{\frac{d y}{d x}}{x + 1}$ на $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} (x + 1)}{(x + 1) (x + 1)} - \frac{y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{1}{x + 1} (e^{x} (x + 1))$

Этап 3.4.2

Возведем $x + 1$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{1} (x + 1)} - \frac{y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{1}{x + 1} (e^{x} (x + 1))$

Этап 3.4.3

Возведем $x + 1$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{1} {(x + 1)}^{1}} - \frac{y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{1}{x + 1} (e^{x} (x + 1))$

Этап 3.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\frac{d y}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{1 + 1}} - \frac{y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{1}{x + 1} (e^{x} (x + 1))$

Этап 3.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{1}{x + 1} (e^{x} (x + 1))$

Этап 3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{d y}{d x} (x + 1) - y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{1}{x + 1} (e^{x} (x + 1))$

Этап 3.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} \cdot 1 - y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{1}{x + 1} (e^{x} (x + 1))$

Этап 3.6.2

Умножим $\frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} - y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{1}{x + 1} (e^{x} (x + 1))$

Этап 3.7

Сократим общий множитель $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Вынесем множитель $x + 1$ из $e^{x} (x + 1)$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} - y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{1}{x + 1} ((x + 1) e^{x})$

Этап 3.7.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} - y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{1}{x + 1} ((x + 1) e^{x})$

Этап 3.7.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} - y}{{(x + 1)}^{2}} = e^{x}$

Этап 3.8

Изменим порядок множителей в $\frac{\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} - y}{{(x + 1)}^{2}} = e^{x}$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} - y}{{(x + 1)}^{2}} = e^{x}$

Этап 4

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x + 1} y] = e^{x}$

Этап 5

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x + 1} y] d x = \int e^{x} d x$

Этап 6

Проинтегрируем левую часть.

$\frac{1}{x + 1} y = \int e^{x} d x$

Этап 7

Интеграл $e^{x}$ по $x$ имеет вид $e^{x}$ .

$\frac{1}{x + 1} y = e^{x} + C$

Этап 8

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Объединим $\frac{1}{x + 1}$ и $y$ .

$\frac{y}{x + 1} = e^{x} + C$

Этап 8.2

Умножим обе части на $x + 1$ .

$\frac{y}{x + 1} (x + 1) = (e^{x} + C) (x + 1)$

Этап 8.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1

Сократим общий множитель $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y}{x + 1} (x + 1) = (e^{x} + C) (x + 1)$

Этап 8.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$y = (e^{x} + C) (x + 1)$

Этап 8.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1

Упростим $(e^{x} + C) (x + 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1.1

Развернем $(e^{x} + C) (x + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = e^{x} (x + 1) + C (x + 1)$

Этап 8.3.2.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = e^{x} x + e^{x} \cdot 1 + C (x + 1)$

Этап 8.3.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = e^{x} x + e^{x} \cdot 1 + C x + C \cdot 1$

Этап 8.3.2.1.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1.2.1.1

Умножим $e^{x}$ на $1$ .

$y = e^{x} x + e^{x} + C x + C \cdot 1$

Этап 8.3.2.1.2.1.2

Умножим $C$ на $1$ .

$y = e^{x} x + e^{x} + C x + C$

Этап 8.3.2.1.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1.2.2.1

Изменим порядок множителей в $e^{x} x + e^{x} + C x + C$ .

$y = x e^{x} + e^{x} + C x + C$

Этап 8.3.2.1.2.2.2

Перенесем $e^{x}$ .

$y = x e^{x} + C x + C + e^{x}$

Этап 8.3.2.1.2.2.3

Перенесем $x e^{x}$ .

$y = C x + C + x e^{x} + e^{x}$