Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} - \frac{2 \cos (x)}{\sin (x)} y = g (x)$

Этап 1

Перепишем дифференциальное уравнение.

$\frac{d y}{d x} - \frac{2 \cos (x)}{\sin (x)} y = y$

Этап 2

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Решим относительно $\frac{d y}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Упростим $\frac{d y}{d x} - \frac{2 \cos (x)}{\sin (x)} y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1.1.1

Разделим дроби.

$\frac{d y}{d x} - (\frac{2}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) y = y$

Этап 2.1.1.1.1.2

Переведем $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ в $\cot (x)$ .

$\frac{d y}{d x} - (\frac{2}{1} \cot (x)) y = y$

Этап 2.1.1.1.1.3

Разделим $2$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} - (2 \cot (x)) y = y$

Этап 2.1.1.1.1.4

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{d y}{d x} - 2 \cot (x) y = y$

Этап 2.1.1.1.2

Изменим порядок множителей в $\frac{d y}{d x} - 2 \cot (x) y$ .

$\frac{d y}{d x} - 2 y \cot (x) = y$

Этап 2.1.2

Добавим $2 y \cot (x)$ к обеим частям уравнения.

$\frac{d y}{d x} = y + 2 y \cot (x)$

Этап 2.2

Вынесем множитель $y$ из $y + 2 y \cot (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Возведем $y$ в степень $1$ .

$\frac{d y}{d x} = y^{1} + 2 y \cot (x)$

Этап 2.2.2

Вынесем множитель $y$ из $y^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} = y \cdot 1 + 2 y \cot (x)$

Этап 2.2.3

Вынесем множитель $y$ из $2 y \cot (x)$ .

$\frac{d y}{d x} = y \cdot 1 + y (2 \cot (x))$

Этап 2.2.4

Вынесем множитель $y$ из $y \cdot 1 + y (2 \cot (x))$ .

$\frac{d y}{d x} = y (1 + 2 \cot (x))$

Этап 2.3

Умножим обе части на $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (1 + 2 \cot (x)))$

Этап 2.4

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (1 + 2 \cot (x)))$

Этап 2.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 1 + 2 \cot (x)$

Этап 2.5

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{y} d y = (1 + 2 \cot (x)) d x$

Этап 3

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{y} d y = \int 1 + 2 \cot (x) d x$

Этап 3.2

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 1 + 2 \cot (x) d x$

Этап 3.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int d x + \int 2 \cot (x) d x$

Этап 3.3.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} + \int 2 \cot (x) d x$

Этап 3.3.3

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} + 2 \int \cot (x) d x$

Этап 3.3.4

Интеграл $\cot (x)$ по $x$ имеет вид $\ln (| \sin (x) |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} + 2 (\ln (| \sin (x) |) + C_{3})$

Этап 3.3.5

Упростим.

$\ln (| y |) + C_{1} = x + 2 \ln (| \sin (x) |) + C_{4}$

Этап 3.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\ln (| y |) = x + 2 \ln (| \sin (x) |) + C$

Этап 4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\ln (| y |) - 2 \ln (| \sin (x) |) = x + C$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим $\ln (| y |) - 2 \ln (| \sin (x) |)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.1

Упростим $- 2 \ln (| \sin (x) |)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\ln (| y |) - \ln ({| \sin (x) |}^{2}) = x + C$

Этап 4.2.1.1.2

Уберем знак модуля в ${| \sin (x) |}^{2}$ , поскольку любое число в четной степени всегда положительное.

$\ln (| y |) - \ln (\sin^{2} (x)) = x + C$

Этап 4.2.1.2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{\sin^{2} (x)}) = x + C$

Этап 4.2.1.3

Умножим на $1$ .

$\ln (\frac{| y |}{\sin^{2} (x) \cdot 1}) = x + C$

Этап 4.2.1.4

Разделим дроби.

$\ln (\frac{| y |}{1} \cdot \frac{1}{\sin^{2} (x)}) = x + C$

Этап 4.2.1.5

Переведем $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ в $\csc^{2} (x)$ .

$\ln (\frac{| y |}{1} \csc^{2} (x)) = x + C$

Этап 4.2.1.6

Разделим $| y |$ на $1$ .

$\ln (| y | \csc^{2} (x)) = x + C$

Этап 4.3

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (| y | \csc^{2} (x))} = e^{x + C}$

Этап 4.4

Перепишем $\ln (| y | \csc^{2} (x)) = x + C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{x + C} = | y | \csc^{2} (x)$

Этап 4.5

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Перепишем уравнение в виде $| y | \csc^{2} (x) = e^{x + C}$ .

$| y | \csc^{2} (x) = e^{x + C}$

Этап 4.5.2

Разделим каждый член $| y | \csc^{2} (x) = e^{x + C}$ на $\csc^{2} (x)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1

Разделим каждый член $| y | \csc^{2} (x) = e^{x + C}$ на $\csc^{2} (x)$ .

$\frac{| y | \csc^{2} (x)}{\csc^{2} (x)} = \frac{e^{x + C}}{\csc^{2} (x)}$

Этап 4.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.2.1

Сократим общий множитель $\csc^{2} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{| y | \csc^{2} (x)}{\csc^{2} (x)} = \frac{e^{x + C}}{\csc^{2} (x)}$

Этап 4.5.2.2.1.2

Разделим $| y |$ на $1$ .

$| y | = \frac{e^{x + C}}{\csc^{2} (x)}$

Этап 4.5.3

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$y = \pm \frac{e^{x + C}}{\csc^{2} (x)}$

Этап 5

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем $e^{x + C}$ в виде $e^{x} e^{C}$ .

$y = \pm \frac{e^{x} e^{C}}{\csc^{2} (x)}$

Этап 5.2

Изменим порядок $e^{x}$ и $e^{C}$ .

$y = \pm \frac{e^{C} e^{x}}{\csc^{2} (x)}$

Этап 5.3

Объединим константы с плюсом или минусом.

$y = C \frac{C e^{x}}{\csc^{2} (x)}$