Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x + 1}{3 y}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{2 x + 1}{3 y}$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $y$ из $3 y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{2 x + 1}{y \cdot 3}$

Этап 1.2.2

Сократим общий множитель.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{2 x + 1}{y \cdot 3}$

Этап 1.2.3

Перепишем это выражение.

$y \frac{d y}{d x} = \frac{2 x + 1}{3}$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$y d y = \frac{2 x + 1}{3} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int y d y = \int \frac{2 x + 1}{3} d x$

Этап 2.2

По правилу степени интеграл $y$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{2 x + 1}{3} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} \int 2 x + 1 d x$

Этап 2.3.2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} (\int 2 x d x + \int d x)$

Этап 2.3.3

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} (2 \int x d x + \int d x)$

Этап 2.3.4

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} (2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int d x)$

Этап 2.3.5

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} (2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + x + C_{3})$

Этап 2.3.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} (2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + x + C_{3})$

Этап 2.3.6.2

Упростим.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} (x^{2} + x) + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{3} (x^{2} + x) + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{1}{3} (x^{2} + x) + K)$

Этап 3.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Упростим $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{3} (x^{2} + x) + K)$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{3} (x^{2} + x) + K)$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{3} (x^{2} + x) + K)$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим $2 (\frac{1}{3} (x^{2} + x) + K)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{3} x^{2} + \frac{1}{3} x + K)$

Этап 3.2.2.1.1.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{2}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{x^{2}}{3} + \frac{1}{3} x + K)$

Этап 3.2.2.1.1.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x$ .

$y^{2} = 2 (\frac{x^{2}}{3} + \frac{x}{3} + K)$

Этап 3.2.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{2} = 2 \frac{x^{2}}{3} + 2 \frac{x}{3} + 2 K$

Этап 3.2.2.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.3.1

Объединим $2$ и $\frac{x^{2}}{3}$ .

$y^{2} = \frac{2 x^{2}}{3} + 2 \frac{x}{3} + 2 K$

Этап 3.2.2.1.3.2

Объединим $2$ и $\frac{x}{3}$ .

$y^{2} = \frac{2 x^{2}}{3} + \frac{2 x}{3} + 2 K$

Этап 3.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \pm \sqrt{\frac{2 x^{2}}{3} + \frac{2 x}{3} + 2 K}$

Этап 3.4

Упростим $\pm \sqrt{\frac{2 x^{2}}{3} + \frac{2 x}{3} + 2 K}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \pm \sqrt{\frac{2 x^{2} + 2 x}{3} + 2 K}$

Этап 3.4.2

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x^{2} + 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 x (x) + 2 x}{3} + 2 K}$

Этап 3.4.2.2

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 x (x) + 2 x (1)}{3} + 2 K}$

Этап 3.4.2.3

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x (x) + 2 x (1)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 x (x + 1)}{3} + 2 K}$

Этап 3.4.3

Чтобы записать $2 K$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 x (x + 1)}{3} + 2 K \cdot \frac{3}{3}}$

Этап 3.4.4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.1

Объединим $2 K$ и $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 x (x + 1)}{3} + \frac{2 K \cdot 3}{3}}$

Этап 3.4.4.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \pm \sqrt{\frac{2 x (x + 1) + 2 K \cdot 3}{3}}$

Этап 3.4.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.5.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x (x + 1) + 2 K \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.5.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x (x + 1)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (x (x + 1)) + 2 K \cdot 3}{3}}$

Этап 3.4.5.1.2

Вынесем множитель $2$ из $2 K \cdot 3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (x (x + 1)) + 2 (K \cdot 3)}{3}}$

Этап 3.4.5.1.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (x (x + 1)) + 2 (K \cdot 3)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (x (x + 1) + K \cdot 3)}{3}}$

Этап 3.4.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (x \cdot x + x \cdot 1 + K \cdot 3)}{3}}$

Этап 3.4.5.3

Умножим $x$ на $x$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (x^{2} + x \cdot 1 + K \cdot 3)}{3}}$

Этап 3.4.5.4

Умножим $x$ на $1$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (x^{2} + x + K \cdot 3)}{3}}$

Этап 3.4.5.5

Перенесем $3$ влево от $K$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (x^{2} + x + 3 K)}{3}}$

Этап 3.4.6

Перепишем $\sqrt{\frac{2 (x^{2} + x + 3 K)}{3}}$ в виде $\frac{\sqrt{2 (x^{2} + x + 3 K)}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{2} + x + 3 K)}}{\sqrt{3}}$

Этап 3.4.7

Умножим $\frac{\sqrt{2 (x^{2} + x + 3 K)}}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{2} + x + 3 K)}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Этап 3.4.8

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.8.1

Умножим $\frac{\sqrt{2 (x^{2} + x + 3 K)}}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{2} + x + 3 K)} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 3.4.8.2

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{2} + x + 3 K)} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Этап 3.4.8.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{2} + x + 3 K)} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Этап 3.4.8.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{2} + x + 3 K)} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Этап 3.4.8.5

Добавим $1$ и $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{2} + x + 3 K)} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Этап 3.4.8.6

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.8.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{2} + x + 3 K)} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 3.4.8.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{2} + x + 3 K)} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 3.4.8.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{2} + x + 3 K)} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 3.4.8.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.8.6.4.1

Сократим общий множитель.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{2} + x + 3 K)} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 3.4.8.6.4.2

Перепишем это выражение.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{2} + x + 3 K)} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Этап 3.4.8.6.5

Найдем экспоненту.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{2} + x + 3 K)} \sqrt{3}}{3}$

Этап 3.4.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.9.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{2} + x + 3 K) \cdot 3}}{3}$

Этап 3.4.9.2

Умножим $3$ на $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{6 (x^{2} + x + 3 K)}}{3}$

Этап 3.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \frac{\sqrt{6 (x^{2} + x + 3 K)}}{3}$

Этап 3.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \frac{\sqrt{6 (x^{2} + x + 3 K)}}{3}$

Этап 3.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \frac{\sqrt{6 (x^{2} + x + 3 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (x^{2} + x + 3 K)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{6 (x^{2} + x + 3 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (x^{2} + x + 3 K)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{6 (x^{2} + x + 3 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (x^{2} + x + 3 K)}}{3}$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \frac{\sqrt{6 (x^{2} + x + K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (x^{2} + x + K)}}{3}$