Математический анализ Примеры

$(5 x + 3 e^{y}) d x + 2 x e^{y} d y = 0$

Этап 1

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = 5 x + 3 e^{y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [5 x + 3 e^{y}]$

Этап 1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $5 x + 3 e^{y}$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [5 x] + \frac{d}{d y} [3 e^{y}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [5 x] + \frac{d}{d y} [3 e^{y}]$

Этап 1.2.2

Поскольку $5 x$ является константой относительно $y$ , производная $5 x$ относительно $y$ равна $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [3 e^{y}]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [3 e^{y}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $3$ является константой относительно $y$ , производная $3 e^{y}$ по $y$ равна $3 \frac{d}{d y} [e^{y}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 3 \frac{d}{d y} [e^{y}]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [a^{y}]$ имеет вид $a^{y} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 3 e^{y}$

Этап 1.4

Добавим $0$ и $3 e^{y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 e^{y}$

Этап 2

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = 2 x e^{y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x e^{y}]$

Этап 2.2

Поскольку $2 e^{y}$ является константой относительно $x$ , производная $2 x e^{y}$ по $x$ равна $2 e^{y} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 e^{y} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 e^{y} \cdot 1$

Этап 2.4

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 e^{y}$

Этап 3

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $3 e^{y}$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $2 e^{y}$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$3 e^{y} = 2 e^{y}$

Этап 3.2

Так как левая часть не равна правой, уравнение не является тождеством.

$3 e^{y} = 2 e^{y}$ не является тождеством.

Этап 4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $3 e^{y}$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{3 e^{y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Этап 4.2

Подставим $2 e^{y}$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{3 e^{y} - (2 e^{y})}{N}$

Этап 4.3

Подставим $2 x e^{y}$ вместо $N$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Подставим $2 x e^{y}$ вместо $N$ .

$\frac{3 e^{y} - (2 e^{y})}{2 x e^{y}}$

Этап 4.3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Вынесем множитель $e^{y}$ из $3 e^{y} - 1 \cdot 2 e^{y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Вынесем множитель $e^{y}$ из $3 e^{y}$ .

$\frac{e^{y} \cdot 3 - 1 \cdot 2 e^{y}}{2 x e^{y}}$

Этап 4.3.2.1.2

Вынесем множитель $e^{y}$ из $- 1 \cdot 2 e^{y}$ .

$\frac{e^{y} \cdot 3 + e^{y} (- 1 \cdot 2)}{2 x e^{y}}$

Этап 4.3.2.1.3

Вынесем множитель $e^{y}$ из $e^{y} \cdot 3 + e^{y} (- 1 \cdot 2)$ .

$\frac{e^{y} (3 - 1 \cdot 2)}{2 x e^{y}}$

Этап 4.3.2.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{e^{y} (3 - 2)}{2 x e^{y}}$

Этап 4.3.2.3

Вычтем $2$ из $3$ .

$\frac{e^{y} \cdot 1}{2 x e^{y}}$

Этап 4.3.3

Умножим $e^{y}$ на $1$ .

$\frac{e^{y}}{2 x e^{y}}$

Этап 4.3.4

Сократим общий множитель $e^{y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{y}}{2 x e^{y}}$

Этап 4.3.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2 x}$

Этап 4.4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{2 x} d x}$

Этап 5

Найдем интеграл $e^{\int \frac{1}{2 x} d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$μ (x, y) = e^{\frac{1}{2} \int \frac{1}{x} d x}$

Этап 5.2

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C)}$

Этап 5.3

Упростим.

$μ (x, y) = e^{\frac{1}{2} \ln (| x |)} + C$

Этап 5.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Упростим $\frac{1}{2} \ln (| x |)$ путем переноса $\frac{1}{2}$ под логарифм.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})} + C$

Этап 5.4.2

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$μ (x, y) = {| x |}^{\frac{1}{2}} + C$

Этап 6

Умножим обе стороны $(5 x + 3 e^{y}) d x + 2 x e^{y} d y = 0$ на коэффициент интегрирования $x^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $5 x + 3 e^{y}$ на $x^{\frac{1}{2}}$ .

$(5 x + 3 e^{y}) x^{\frac{1}{2}} d x + 2 x e^{y} d y = 0$

Этап 6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$(5 x \cdot x^{\frac{1}{2}} + 3 e^{y} x^{\frac{1}{2}}) d x + 2 x e^{y} d y = 0$

Этап 6.3

Умножим $x$ на $x^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Перенесем $x^{\frac{1}{2}}$ .

$(5 (x^{\frac{1}{2}} x) + 3 e^{y} x^{\frac{1}{2}}) d x + 2 x e^{y} d y = 0$

Этап 6.3.2

Умножим $x^{\frac{1}{2}}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$(5 (x^{\frac{1}{2}} x^{1}) + 3 e^{y} x^{\frac{1}{2}}) d x + 2 x e^{y} d y = 0$

Этап 6.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(5 x^{\frac{1}{2} + 1} + 3 e^{y} x^{\frac{1}{2}}) d x + 2 x e^{y} d y = 0$

Этап 6.3.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$(5 x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} + 3 e^{y} x^{\frac{1}{2}}) d x + 2 x e^{y} d y = 0$

Этап 6.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$(5 x^{\frac{1 + 2}{2}} + 3 e^{y} x^{\frac{1}{2}}) d x + 2 x e^{y} d y = 0$

Этап 6.3.5

Добавим $1$ и $2$ .

$(5 x^{\frac{3}{2}} + 3 e^{y} x^{\frac{1}{2}}) d x + 2 x e^{y} d y = 0$

Этап 6.4

Умножим $2 x e^{y}$ на $x^{\frac{1}{2}}$ .

$(5 x^{\frac{3}{2}} + 3 e^{y} x^{\frac{1}{2}}) d x + 2 x e^{y} x^{\frac{1}{2}} d y = 0$

Этап 6.5

Умножим $x$ на $x^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Перенесем $x^{\frac{1}{2}}$ .

$(5 x^{\frac{3}{2}} + 3 e^{y} x^{\frac{1}{2}}) d x + 2 (x^{\frac{1}{2}} x) e^{y} d y = 0$

Этап 6.5.2

Умножим $x^{\frac{1}{2}}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$(5 x^{\frac{3}{2}} + 3 e^{y} x^{\frac{1}{2}}) d x + 2 (x^{\frac{1}{2}} x^{1}) e^{y} d y = 0$

Этап 6.5.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(5 x^{\frac{3}{2}} + 3 e^{y} x^{\frac{1}{2}}) d x + 2 x^{\frac{1}{2} + 1} e^{y} d y = 0$

Этап 6.5.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$(5 x^{\frac{3}{2}} + 3 e^{y} x^{\frac{1}{2}}) d x + 2 x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} e^{y} d y = 0$

Этап 6.5.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$(5 x^{\frac{3}{2}} + 3 e^{y} x^{\frac{1}{2}}) d x + 2 x^{\frac{1 + 2}{2}} e^{y} d y = 0$

Этап 6.5.5

Добавим $1$ и $2$ .

$(5 x^{\frac{3}{2}} + 3 e^{y} x^{\frac{1}{2}}) d x + 2 x^{\frac{3}{2}} e^{y} d y = 0$

Этап 7

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 2 x^{\frac{3}{2}} e^{y} d y$

Этап 8

Проинтегрируем $N (x, y) = 2 x^{\frac{3}{2}} e^{y}$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Поскольку $2 x^{\frac{3}{2}}$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $2 x^{\frac{3}{2}}$ из-под знака интеграла.

$f (x, y) = 2 x^{\frac{3}{2}} \int e^{y} d y$

Этап 8.2

Интеграл $e^{y}$ по $y$ имеет вид $e^{y}$ .

$f (x, y) = 2 x^{\frac{3}{2}} (e^{y} + C)$

Этап 8.3

Упростим.

$f (x, y) = 2 x^{\frac{3}{2}} e^{y} + C$

Этап 9

Так как интеграл $g (x)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (x)$ .

$f (x, y) = 2 x^{\frac{3}{2}} e^{y} + g (x)$

Этап 10

Зададим $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 5 x^{\frac{3}{2}} + 3 e^{y} x^{\frac{1}{2}}$

Этап 11

Найдем $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Продифференцируем $f$ по $x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{3}{2}} e^{y} + g (x)] = 5 x^{\frac{3}{2}} + 3 e^{y} x^{\frac{1}{2}}$

Этап 11.2

По правилу суммы производная $2 x^{\frac{3}{2}} e^{y} + g (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{3}{2}} e^{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{3}{2}} e^{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 5 x^{\frac{3}{2}} + 3 e^{y} x^{\frac{1}{2}}$

Этап 11.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{3}{2}} e^{y}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Поскольку $2 e^{y}$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{\frac{3}{2}} e^{y}$ по $x$ равна $2 e^{y} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$2 e^{y} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 5 x^{\frac{3}{2}} + 3 e^{y} x^{\frac{1}{2}}$

Этап 11.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{3}{2}$ .

$2 e^{y} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 5 x^{\frac{3}{2}} + 3 e^{y} x^{\frac{1}{2}}$

Этап 11.3.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$2 e^{y} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 5 x^{\frac{3}{2}} + 3 e^{y} x^{\frac{1}{2}}$

Этап 11.3.4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$2 e^{y} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 5 x^{\frac{3}{2}} + 3 e^{y} x^{\frac{1}{2}}$

Этап 11.3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 e^{y} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 5 x^{\frac{3}{2}} + 3 e^{y} x^{\frac{1}{2}}$

Этап 11.3.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$2 e^{y} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 5 x^{\frac{3}{2}} + 3 e^{y} x^{\frac{1}{2}}$

Этап 11.3.6.2

Вычтем $2$ из $3$ .

$2 e^{y} (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 5 x^{\frac{3}{2}} + 3 e^{y} x^{\frac{1}{2}}$

Этап 11.3.7

Объединим $\frac{3}{2}$ и $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 e^{y} \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 5 x^{\frac{3}{2}} + 3 e^{y} x^{\frac{1}{2}}$

Этап 11.3.8

Объединим $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ и $2$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} e^{y} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 5 x^{\frac{3}{2}} + 3 e^{y} x^{\frac{1}{2}}$

Этап 11.3.9

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{2} e^{y} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 5 x^{\frac{3}{2}} + 3 e^{y} x^{\frac{1}{2}}$

Этап 11.3.10

Объединим $\frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ и $e^{y}$ .

$\frac{6 x^{\frac{1}{2}} e^{y}}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 5 x^{\frac{3}{2}} + 3 e^{y} x^{\frac{1}{2}}$

Этап 11.3.11

Вынесем множитель $2$ из $6 x^{\frac{1}{2}} e^{y}$ .

$\frac{2 (3 x^{\frac{1}{2}} e^{y})}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 5 x^{\frac{3}{2}} + 3 e^{y} x^{\frac{1}{2}}$

Этап 11.3.12

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.12.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (3 x^{\frac{1}{2}} e^{y})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 5 x^{\frac{3}{2}} + 3 e^{y} x^{\frac{1}{2}}$

Этап 11.3.12.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (3 x^{\frac{1}{2}} e^{y})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 5 x^{\frac{3}{2}} + 3 e^{y} x^{\frac{1}{2}}$

Этап 11.3.12.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} e^{y}}{1} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 5 x^{\frac{3}{2}} + 3 e^{y} x^{\frac{1}{2}}$

Этап 11.3.12.4

Разделим $3 x^{\frac{1}{2}} e^{y}$ на $1$ .

$3 x^{\frac{1}{2}} e^{y} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 5 x^{\frac{3}{2}} + 3 e^{y} x^{\frac{1}{2}}$

Этап 11.4

Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от $g (x)$ равна $\frac{d g}{d x}$ .

$3 x^{\frac{1}{2}} e^{y} + \frac{d g}{d x} = 5 x^{\frac{3}{2}} + 3 e^{y} x^{\frac{1}{2}}$

Этап 11.5

Изменим порядок членов.

$\frac{d g}{d x} + 3 e^{y} x^{\frac{1}{2}} = 5 x^{\frac{3}{2}} + 3 e^{y} x^{\frac{1}{2}}$

Этап 12

Решим относительно $\frac{d g}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Решим относительно $\frac{d g}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Найдем общий множитель $x^{\frac{3}{2}}$ , который присутствует в каждом члене.

${({(\frac{d g}{d x})}^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} + 3 {(e x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2 y}{3} + \frac{1}{3}} - 5 x^{\frac{3}{2}} - 3 {(e x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2 y}{3} + \frac{1}{3}}$

Этап 12.1.2

Подставим $u$ вместо $x^{\frac{3}{2}}$ .

${({(\frac{d g}{d x})}^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} + 3 {(e (u))}^{\frac{2 y}{3} + \frac{1}{3}} - 5 u - 3 {(e (u))}^{\frac{2 y}{3} + \frac{1}{3}} = 0$

Этап 12.1.3

Решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.3.1

Упростим ${({(\frac{d g}{d x})}^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} + 3 {(e u)}^{\frac{2 y}{3} + \frac{1}{3}} - 5 u - 3 {(e u)}^{\frac{2 y}{3} + \frac{1}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.3.1.1

Объединим противоположные члены в ${({(\frac{d g}{d x})}^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} + 3 {(e u)}^{\frac{2 y}{3} + \frac{1}{3}} - 5 u - 3 {(e u)}^{\frac{2 y}{3} + \frac{1}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.3.1.1.1

Вычтем $3 {(e u)}^{\frac{2 y}{3} + \frac{1}{3}}$ из $3 {(e u)}^{\frac{2 y}{3} + \frac{1}{3}}$ .

${({(\frac{d g}{d x})}^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} - 5 u + 0 = 0$

Этап 12.1.3.1.1.2

Добавим ${({(\frac{d g}{d x})}^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} - 5 u$ и $0$ .

${({(\frac{d g}{d x})}^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} - 5 u = 0$

Этап 12.1.3.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.3.1.2.1

Перемножим экспоненты в ${({(\frac{d g}{d x})}^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.3.1.2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(\frac{d g}{d x})}^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}} - 5 u = 0$

Этап 12.1.3.1.2.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.3.1.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(\frac{d g}{d x})}^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}} - 5 u = 0$

Этап 12.1.3.1.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(\frac{d g}{d x})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 5 u = 0$

Этап 12.1.3.1.2.1.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.3.1.2.1.3.1

Сократим общий множитель.

${(\frac{d g}{d x})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 5 u = 0$

Этап 12.1.3.1.2.1.3.2

Перепишем это выражение.

${(\frac{d g}{d x})}^{1} - 5 u = 0$

Этап 12.1.3.1.2.2

Упростим.

$\frac{d g}{d x} - 5 u = 0$

Этап 12.1.3.2

Вычтем $\frac{d g}{d x}$ из обеих частей уравнения.

$- 5 u = - \frac{d g}{d x}$

Этап 12.1.3.3

Разделим каждый член $- 5 u = - \frac{d g}{d x}$ на $- 5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.3.3.1

Разделим каждый член $- 5 u = - \frac{d g}{d x}$ на $- 5$ .

$\frac{- 5 u}{- 5} = \frac{- \frac{d g}{d x}}{- 5}$

Этап 12.1.3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.3.3.2.1

Сократим общий множитель $- 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 5 u}{- 5} = \frac{- \frac{d g}{d x}}{- 5}$

Этап 12.1.3.3.2.1.2

Разделим $u$ на $1$ .

$u = \frac{- \frac{d g}{d x}}{- 5}$

Этап 12.1.3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.3.3.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$u = \frac{\frac{d g}{d x}}{5}$

Этап 12.1.4

Подставим $\frac{d g}{d x}$ вместо $u$ .

$x^{\frac{3}{2}} = \frac{\frac{d g}{d x}}{5}$

Этап 13

Найдем первообразную $\frac{\frac{d g}{d x}}{5}$ , чтобы найти $g (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Проинтегрируем обе части $x^{\frac{3}{2}} = \frac{\frac{d g}{d x}}{5}$ .

$\int x^{\frac{3}{2}} d x = \int \frac{\frac{d g}{d x}}{5} d x$

Этап 13.2

Найдем значение $\int x^{\frac{3}{2}} d x$ .

$g (x) = \int \frac{\frac{d g}{d x}}{5} d x$

Этап 13.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$g (x) = \frac{\frac{d g}{d x}}{5} x + C$

Этап 14

Подставим выражение для $g (x)$ в $f (x, y) = 2 x^{\frac{3}{2}} e^{y} + g (x)$ .

$f (x, y) = 2 x^{\frac{3}{2}} e^{y} + \frac{\frac{d g}{d x}}{5} x + C$

Этап 15

Упростим $f (x, y) = 2 x^{\frac{3}{2}} e^{y} + \frac{\frac{d g}{d x}}{5} x + C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Объединим $\frac{\frac{d g}{d x}}{5}$ и $x$ .

$f (x, y) = 2 x^{\frac{3}{2}} e^{y} + \frac{\frac{d g}{d x} x}{5} + C$

Этап 15.2

Изменим порядок множителей в $f (x, y) = 2 x^{\frac{3}{2}} e^{y} + \frac{\frac{d g}{d x} x}{5} + C$ .

$f (x, y) = 2 x^{\frac{3}{2}} e^{y} + \frac{x \frac{d g}{d x}}{5} + C$