Математический анализ Примеры

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + 3 \frac{d y}{d x} = 3$

Этап 1

Пусть $v = \frac{d y}{d x}$ . Тогда $\frac{d v}{d x} = \frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ . Подставим $v$ вместо $\frac{d y}{d x}$ и $\frac{d v}{d x}$ вместо $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ , чтобы получить дифференциальное уравнение с зависимой переменной $v$ и независимой переменной $x$ .

$\frac{d v}{d x} + 3 v = 3$

Этап 2

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (x) d x}$ , где $P (x) = 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int 3 d x}$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$e^{3 x + C_{1}}$

Этап 2.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{3 x}$

Этап 3

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $e^{3 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член на $e^{3 x}$ .

$e^{3 x} \frac{d v}{d x} + e^{3 x} (3 v) = e^{3 x} \cdot 3$

Этап 3.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$e^{3 x} \frac{d v}{d x} + 3 e^{3 x} v = e^{3 x} \cdot 3$

Этап 3.3

Перенесем $3$ влево от $e^{3 x}$ .

$e^{3 x} \frac{d v}{d x} + 3 e^{3 x} v = 3 \cdot e^{3 x}$

Этап 3.4

Изменим порядок множителей в $e^{3 x} \frac{d v}{d x} + 3 e^{3 x} v = 3 e^{3 x}$ .

$e^{3 x} \frac{d v}{d x} + 3 v e^{3 x} = 3 e^{3 x}$

Этап 4

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [e^{3 x} v] = 3 e^{3 x}$

Этап 5

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [e^{3 x} v] d x = \int 3 e^{3 x} d x$

Этап 6

Проинтегрируем левую часть.

$e^{3 x} v = \int 3 e^{3 x} d x$

Этап 7

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$e^{3 x} v = 3 \int e^{3 x} d x$

Этап 7.2

Пусть $u_{1} = 3 x$ . Тогда $d u_{1} = 3 d x$ , следовательно $\frac{1}{3} d u_{1} = d x$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Пусть $u_{1} = 3 x$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Дифференцируем $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Этап 7.2.1.2

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 7.2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Этап 7.2.1.4

Умножим $3$ на $1$ .

$3$

Этап 7.2.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$e^{3 x} v = 3 \int e^{u_{1}} \frac{1}{3} d u_{1}$

Этап 7.3

Объединим $e^{u_{1}}$ и $\frac{1}{3}$ .

$e^{3 x} v = 3 \int \frac{e^{u_{1}}}{3} d u_{1}$

Этап 7.4

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$e^{3 x} v = 3 (\frac{1}{3} \int e^{u_{1}} d u_{1})$

Этап 7.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $3$ .

$e^{3 x} v = \frac{3}{3} \int e^{u_{1}} d u_{1}$

Этап 7.5.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.2.1

Сократим общий множитель.

$e^{3 x} v = \frac{3}{3} \int e^{u_{1}} d u_{1}$

Этап 7.5.2.2

Перепишем это выражение.

$e^{3 x} v = 1 \int e^{u_{1}} d u_{1}$

Этап 7.5.3

Умножим $\int e^{u_{1}} d u_{1}$ на $1$ .

$e^{3 x} v = \int e^{u_{1}} d u_{1}$

Этап 7.6

Интеграл $e^{u_{1}}$ по $u_{1}$ имеет вид $e^{u_{1}}$ .

$e^{3 x} v = e^{u_{1}} + C_{2}$

Этап 7.7

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $3 x$ .

$e^{3 x} v = e^{3 x} + C_{2}$

Этап 8

Разделим каждый член $e^{3 x} v = e^{3 x} + C_{2}$ на $e^{3 x}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Разделим каждый член $e^{3 x} v = e^{3 x} + C_{2}$ на $e^{3 x}$ .

$\frac{e^{3 x} v}{e^{3 x}} = \frac{e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{C_{2}}{e^{3 x}}$

Этап 8.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Сократим общий множитель $e^{3 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{3 x} v}{e^{3 x}} = \frac{e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{C_{2}}{e^{3 x}}$

Этап 8.2.1.2

Разделим $v$ на $1$ .

$v = \frac{e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{C_{2}}{e^{3 x}}$

Этап 8.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Сократим общий множитель $e^{3 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1

Сократим общий множитель.

$v = \frac{e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{C_{2}}{e^{3 x}}$

Этап 8.3.1.2

Перепишем это выражение.

$v = 1 + \frac{C_{2}}{e^{3 x}}$

Этап 9

Заменим все вхождения $v$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 1 + \frac{C_{2}}{e^{3 x}}$

Этап 10

Перепишем уравнение.

$d y = (1 + \frac{C_{2}}{e^{3 x}}) d x$

Этап 11

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int 1 + \frac{C_{2}}{e^{3 x}} d x$

Этап 11.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{3} = \int 1 + \frac{C_{2}}{e^{3 x}} d x$

Этап 11.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$y + C_{3} = \int d x + \int \frac{C_{2}}{e^{3 x}} d x$

Этап 11.3.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{3} = x + C_{4} + \int \frac{C_{2}}{e^{3 x}} d x$

Этап 11.3.3

Поскольку $C_{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $C_{2}$ из-под знака интеграла.

$y + C_{3} = x + C_{4} + C_{2} \int \frac{1}{e^{3 x}} d x$

Этап 11.3.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.4.1

Поменяем знак экспоненты $e^{3 x}$ и вынесем ее из знаменателя.

$y + C_{3} = x + C_{4} + C_{2} \int 1 {(e^{3 x})}^{- 1} d x$

Этап 11.3.4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.4.2.1

Перемножим экспоненты в ${(e^{3 x})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.4.2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{3} = x + C_{4} + C_{2} \int 1 e^{3 x \cdot - 1} d x$

Этап 11.3.4.2.1.2

Умножим $- 1$ на $3$ .

$y + C_{3} = x + C_{4} + C_{2} \int 1 e^{- 3 x} d x$

Этап 11.3.4.2.2

Умножим $e^{- 3 x}$ на $1$ .

$y + C_{3} = x + C_{4} + C_{2} \int e^{- 3 x} d x$

Этап 11.3.5

Пусть $u_{2} = - 3 x$ . Тогда $d u_{2} = - 3 d x$ , следовательно $- \frac{1}{3} d u_{2} = d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.5.1

Пусть $u_{2} = - 3 x$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.5.1.1

Дифференцируем $- 3 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x]$

Этап 11.3.5.1.2

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 11.3.5.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 3 \cdot 1$

Этап 11.3.5.1.4

Умножим $- 3$ на $1$ .

$- 3$

Этап 11.3.5.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$y + C_{3} = x + C_{4} + C_{2} \int e^{u_{2}} \frac{1}{- 3} d u_{2}$

Этап 11.3.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.6.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y + C_{3} = x + C_{4} + C_{2} \int e^{u_{2}} (- \frac{1}{3}) d u_{2}$

Этап 11.3.6.2

Объединим $e^{u_{2}}$ и $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{3} = x + C_{4} + C_{2} \int - \frac{e^{u_{2}}}{3} d u_{2}$

Этап 11.3.7

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$y + C_{3} = x + C_{4} + C_{2} (- \int \frac{e^{u_{2}}}{3} d u_{2})$

Этап 11.3.8

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$y + C_{3} = x + C_{4} + C_{2} (- (\frac{1}{3} \int e^{u_{2}} d u_{2}))$

Этап 11.3.9

Интеграл $e^{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $e^{u_{2}}$ .

$y + C_{3} = x + C_{4} + C_{2} (- \frac{1}{3} (e^{u_{2}} + C_{5}))$

Этап 11.3.10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.10.1

Упростим.

$y + C_{3} = x - \frac{1}{3} C_{2} e^{u_{2}} + C_{6}$

Этап 11.3.10.2

Объединим $e^{u_{2}}$ и $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{3} = x - \frac{e^{u_{2}}}{3} C_{2} + C_{6}$

Этап 11.3.11

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $- 3 x$ .

$y + C_{3} = x - \frac{e^{- 3 x}}{3} C_{2} + C_{6}$

Этап 11.3.12

Изменим порядок членов.

$y + C_{3} = x - \frac{1}{3} e^{- 3 x} C_{2} + C_{6}$

Этап 11.3.13

Изменим порядок членов.

$y + C_{3} = - \frac{1}{3} e^{- 3 x} C_{2} + x + C_{6}$

Этап 11.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $D$ .

$y = - \frac{1}{3} e^{- 3 x} C + x + D$