Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x^{2} - y^{2}}{2 x y}$

Этап 1

Перепишем дифференциальное уравнение в виде функции от $\frac{y}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим $\frac{6 x^{2} - y^{2}}{2 x y}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Разобьем дробь $\frac{6 x^{2} - y^{2}}{2 x y}$ на две дроби.

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x^{2}}{2 x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Этап 1.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Сократим общий множитель $6$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $6 x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 (3 x^{2})}{2 x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Этап 1.1.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 (3 x^{2})}{2 (x y)} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Этап 1.1.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 (3 x^{2})}{2 (x y)} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Этап 1.1.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2}}{x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Этап 1.1.2.2

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.1

Вынесем множитель $x$ из $3 x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (3 x)}{x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Этап 1.1.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (3 x)}{x (y)} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Этап 1.1.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (3 x)}{x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Этап 1.1.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x}{y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Этап 1.1.2.3

Сократим общий множитель $y^{2}$ и $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Вынесем множитель $y$ из $- y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x}{y} + \frac{y (- y)}{2 x y}$

Этап 1.1.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.2.1

Вынесем множитель $y$ из $2 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x}{y} + \frac{y (- y)}{y (2 x)}$

Этап 1.1.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x}{y} + \frac{y (- y)}{y (2 x)}$

Этап 1.1.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x}{y} + \frac{- y}{2 x}$

Этап 1.1.2.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x}{y} - \frac{y}{2 x}$

Этап 1.2

Перепишем дифференциальное уравнение в виде $f (\frac{y}{x})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $\frac{x}{y}$ из $\frac{3 x}{y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Вынесем множитель $\frac{x}{y}$ из $\frac{3 x}{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} \cdot 3 - \frac{y}{2 x}$

Этап 1.2.1.2

Изменим порядок $\frac{x}{y}$ и $3$ .

$\frac{d y}{d x} = 3 \cdot \frac{x}{y} - \frac{y}{2 x}$

Этап 1.2.2

Перепишем $\frac{x}{y}$ в виде ${(\frac{y}{x})}^{- 1}$ .

$\frac{d y}{d x} = 3 \cdot {(\frac{y}{x})}^{- 1} - \frac{y}{2 x}$

Этап 1.3

Вынесем множитель $\frac{y}{x}$ из $\frac{y}{2 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Вынесем множитель $\frac{y}{x}$ из $\frac{y}{2 x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 3 \cdot {(\frac{y}{x})}^{- 1} - (\frac{y}{x} \cdot \frac{1}{2})$

Этап 1.3.2

Изменим порядок $\frac{y}{x}$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = 3 \cdot {(\frac{y}{x})}^{- 1} - (\frac{1}{2} \cdot \frac{y}{x})$

Этап 2

Пусть $V = \frac{y}{x}$ . Подставим $V$ вместо $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 3 \cdot V^{- 1} - (\frac{1}{2} V)$

Этап 3

Решим $V = \frac{y}{x}$ относительно $y$ .

$y = V x$

Этап 4

Применим правило умножения, чтобы найти производную $y = V x$ по $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Этап 5

Подставим $x \frac{d V}{d x} + V$ вместо $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = 3 \cdot V^{- 1} - (\frac{1}{2} V)$

Этап 6

Решим подставленное дифференциальное уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Решим относительно $\frac{d V}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = 3 \cdot \frac{1}{V} - \frac{1}{2} V$

Этап 6.1.1.1.2

Объединим $3$ и $\frac{1}{V}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{3}{V} - \frac{1}{2} V$

Этап 6.1.1.1.3

Объединим $V$ и $\frac{1}{2}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{3}{V} - \frac{V}{2}$

Этап 6.1.1.2

Вычтем $V$ из обеих частей уравнения.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{3}{V} - \frac{V}{2} - V$

Этап 6.1.1.3

Разделим каждый член $x \frac{d V}{d x} = \frac{3}{V} - \frac{V}{2} - V$ на $x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.1

Разделим каждый член $x \frac{d V}{d x} = \frac{3}{V} - \frac{V}{2} - V$ на $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{3}{V}}{x} + \frac{- \frac{V}{2}}{x} + \frac{- V}{x}$

Этап 6.1.1.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{3}{V}}{x} + \frac{- \frac{V}{2}}{x} + \frac{- V}{x}$

Этап 6.1.1.3.2.1.2

Разделим $\frac{d V}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3}{V}}{x} + \frac{- \frac{V}{2}}{x} + \frac{- V}{x}$

Этап 6.1.1.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3}{V} - \frac{V}{2} - V}{x}$

Этап 6.1.1.3.3.2

Чтобы записать $- V$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3}{V} - \frac{V}{2} - V \cdot \frac{2}{2}}{x}$

Этап 6.1.1.3.3.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.3.3.1

Объединим $- V$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3}{V} - \frac{V}{2} + \frac{- V \cdot 2}{2}}{x}$

Этап 6.1.1.3.3.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3}{V} + \frac{- V - V \cdot 2}{2}}{x}$

Этап 6.1.1.3.3.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.3.3.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.3.3.3.1.1

Вынесем множитель $V$ из $- V - V \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.3.3.3.1.1.1

Вынесем множитель $V$ из $- V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3}{V} + \frac{V \cdot - 1 - V \cdot 2}{2}}{x}$

Этап 6.1.1.3.3.3.3.1.1.2

Вынесем множитель $V$ из $- V \cdot 2$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3}{V} + \frac{V \cdot - 1 + V (- 1 \cdot 2)}{2}}{x}$

Этап 6.1.1.3.3.3.3.1.1.3

Вынесем множитель $V$ из $V \cdot - 1 + V (- 1 \cdot 2)$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3}{V} + \frac{V (- 1 - 1 \cdot 2)}{2}}{x}$

Этап 6.1.1.3.3.3.3.1.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3}{V} + \frac{V (- 1 - 2)}{2}}{x}$

Этап 6.1.1.3.3.3.3.1.3

Вычтем $2$ из $- 1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3}{V} + \frac{V \cdot - 3}{2}}{x}$

Этап 6.1.1.3.3.3.3.2

Перенесем $- 3$ влево от $V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3}{V} + \frac{- 3 \cdot V}{2}}{x}$

Этап 6.1.1.3.3.3.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3}{V} - \frac{3 V}{2}}{x}$

Этап 6.1.1.3.3.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.3.4.1

Чтобы записать $\frac{3}{V}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3}{V} \cdot \frac{2}{2} - \frac{3 V}{2}}{x}$

Этап 6.1.1.3.3.4.2

Чтобы записать $- \frac{3 V}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{V}{V}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3}{V} \cdot \frac{2}{2} - \frac{3 V}{2} \cdot \frac{V}{V}}{x}$

Этап 6.1.1.3.3.4.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $V \cdot 2$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.3.4.3.1

Умножим $\frac{3}{V}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3 \cdot 2}{V \cdot 2} - \frac{3 V}{2} \cdot \frac{V}{V}}{x}$

Этап 6.1.1.3.3.4.3.2

Умножим $\frac{3 V}{2}$ на $\frac{V}{V}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3 \cdot 2}{V \cdot 2} - \frac{3 V \cdot V}{2 V}}{x}$

Этап 6.1.1.3.3.4.3.3

Изменим порядок множителей в $V \cdot 2$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3 \cdot 2}{2 V} - \frac{3 V \cdot V}{2 V}}{x}$

Этап 6.1.1.3.3.4.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3 \cdot 2 - 3 V \cdot V}{2 V}}{x}$

Этап 6.1.1.3.3.4.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.3.4.5.1

Вынесем множитель $3$ из $3 \cdot 2 - 3 V \cdot V$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.3.4.5.1.1

Вынесем множитель $3$ из $3 \cdot 2$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3 (2) - 3 V \cdot V}{2 V}}{x}$

Этап 6.1.1.3.3.4.5.1.2

Вынесем множитель $3$ из $- 3 V \cdot V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3 (2) + 3 (- V \cdot V)}{2 V}}{x}$

Этап 6.1.1.3.3.4.5.1.3

Вынесем множитель $3$ из $3 (2) + 3 (- V \cdot V)$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3 (2 - V \cdot V)}{2 V}}{x}$

Этап 6.1.1.3.3.4.5.2

Умножим $V$ на $V$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.3.4.5.2.1

Перенесем $V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3 (2 - (V \cdot V))}{2 V}}{x}$

Этап 6.1.1.3.3.4.5.2.2

Умножим $V$ на $V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3 (2 - V^{2})}{2 V}}{x}$

Этап 6.1.1.3.3.5

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{d V}{d x} = \frac{3 (2 - V^{2})}{2 V} \cdot \frac{1}{x}$

Этап 6.1.1.3.3.6

Объединим.

$\frac{d V}{d x} = \frac{3 (2 - V^{2}) \cdot 1}{2 V x}$

Этап 6.1.1.3.3.7

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{3 (2 - V^{2})}{2 V x}$

Этап 6.1.2

Перегруппируем множители.

$\frac{d V}{d x} = \frac{3 (2 - V^{2})}{2 V} \cdot \frac{1}{x}$

Этап 6.1.3

Умножим обе части на $\frac{2 V}{3 (2 - V^{2})}$ .

$\frac{2 V}{3 (2 - V^{2})} \frac{d V}{d x} = \frac{2 V}{3 (2 - V^{2})} (\frac{3 (2 - V^{2})}{2 V} \cdot \frac{1}{x})$

Этап 6.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.4.1

Объединим.

$\frac{2 V}{3 (2 - V^{2})} \frac{d V}{d x} = \frac{2 V}{3 (2 - V^{2})} \cdot \frac{3 (2 - V^{2}) \cdot 1}{2 V x}$

Этап 6.1.4.2

Объединим.

$\frac{2 V}{3 (2 - V^{2})} \frac{d V}{d x} = \frac{2 V (3 (2 - V^{2}) \cdot 1)}{3 (2 - V^{2}) (2 V x)}$

Этап 6.1.4.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.4.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 V}{3 (2 - V^{2})} \frac{d V}{d x} = \frac{2 V (3 (2 - V^{2}) \cdot 1)}{3 (2 - V^{2}) (2 V x)}$

Этап 6.1.4.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2 V}{3 (2 - V^{2})} \frac{d V}{d x} = \frac{V (3 (2 - V^{2}) \cdot 1)}{3 (2 - V^{2}) (V x)}$

Этап 6.1.4.4

Сократим общий множитель $V$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.4.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 V}{3 (2 - V^{2})} \frac{d V}{d x} = \frac{V (3 (2 - V^{2}) \cdot 1)}{3 (2 - V^{2}) (V x)}$

Этап 6.1.4.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2 V}{3 (2 - V^{2})} \frac{d V}{d x} = \frac{3 (2 - V^{2}) \cdot 1}{3 (2 - V^{2}) (x)}$

Этап 6.1.4.5

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.4.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 V}{3 (2 - V^{2})} \frac{d V}{d x} = \frac{3 (2 - V^{2}) \cdot 1}{3 (2 - V^{2}) x}$

Этап 6.1.4.5.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2 V}{3 (2 - V^{2})} \frac{d V}{d x} = \frac{(2 - V^{2}) \cdot 1}{(2 - V^{2}) (x)}$

Этап 6.1.4.6

Сократим общий множитель $2 - V^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.4.6.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 V}{3 (2 - V^{2})} \frac{d V}{d x} = \frac{(2 - V^{2}) \cdot 1}{(2 - V^{2}) x}$

Этап 6.1.4.6.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2 V}{3 (2 - V^{2})} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Этап 6.1.5

Перепишем уравнение.

$\frac{2 V}{3 (2 - V^{2})} d V = \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{2 V}{3 (2 - V^{2})} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Поскольку $\frac{2}{3}$ — константа по отношению к $V$ , вынесем $\frac{2}{3}$ из-под знака интеграла.

$\frac{2}{3} \int \frac{V}{2 - V^{2}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.2

Пусть $u = 2 - V^{2}$ . Тогда $d u = - 2 V d V$ , следовательно $- \frac{1}{2} d u = V d V$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1

Пусть $u = 2 - V^{2}$ . Найдем $\frac{d u}{d V}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1.1

Дифференцируем $2 - V^{2}$ .

$\frac{d}{d V} [2 - V^{2}]$

Этап 6.2.2.2.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1.2.1

По правилу суммы производная $2 - V^{2}$ по $V$ имеет вид $\frac{d}{d V} [2] + \frac{d}{d V} [- V^{2}]$ .

$\frac{d}{d V} [2] + \frac{d}{d V} [- V^{2}]$

Этап 6.2.2.2.1.2.2

Поскольку $2$ является константой относительно $V$ , производная $2$ относительно $V$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d V} [- V^{2}]$

Этап 6.2.2.2.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d V} [- V^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $V$ , производная $- V^{2}$ по $V$ равна $- \frac{d}{d V} [V^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d V} [V^{2}]$

Этап 6.2.2.2.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ имеет вид $n V^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$0 - (2 V)$

Этап 6.2.2.2.1.3.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$0 - 2 V$

Этап 6.2.2.2.1.4

Вычтем $2 V$ из $0$ .

$- 2 V$

Этап 6.2.2.2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\frac{2}{3} \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{2}{3} \int \frac{1}{u} (- \frac{1}{2}) d u = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.3.2

Умножим $\frac{1}{u}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{3} \int - \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.3.3

Перенесем $2$ влево от $u$ .

$\frac{2}{3} \int - \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{2}{3} (- \int \frac{1}{2 u} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.5

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{2}{3} (- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)) = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.6.1

Умножим $\frac{2}{3}$ на $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{2}{3 \cdot 2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.6.2

Умножим $3$ на $2$ .

$- \frac{2}{6} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.6.3

Сократим общий множитель $2$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.6.3.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- \frac{2 (1)}{6} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.6.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.6.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.6.3.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.6.3.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.7

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{3} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.8

Упростим.

$- \frac{1}{3} \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.9

Заменим все вхождения $u$ на $2 - V^{2}$ .

$- \frac{1}{3} \ln (| 2 - V^{2} |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.3

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$- \frac{1}{3} \ln (| 2 - V^{2} |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Этап 6.2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$- \frac{1}{3} \ln (| 2 - V^{2} |) = \ln (| x |) + C$

Этап 6.3

Решим относительно $V$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Умножим обе части уравнения на $- 3$ .

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 2 - V^{2} |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Этап 6.3.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1

Упростим $- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 2 - V^{2} |))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1.1

Объединим $\ln (| 2 - V^{2} |)$ и $\frac{1}{3}$ .

$- 3 (- \frac{\ln (| 2 - V^{2} |)}{3}) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Этап 6.3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\ln (| 2 - V^{2} |)}{3}$ в числитель.

$- 3 \frac{- \ln (| 2 - V^{2} |)}{3} = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Этап 6.3.2.1.1.2.2

Вынесем множитель $3$ из $- 3$ .

$3 (- 1) \frac{- \ln (| 2 - V^{2} |)}{3} = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Этап 6.3.2.1.1.2.3

Сократим общий множитель.

$3 \cdot - 1 \frac{- \ln (| 2 - V^{2} |)}{3} = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Этап 6.3.2.1.1.2.4

Перепишем это выражение.

$- - \ln (| 2 - V^{2} |) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Этап 6.3.2.1.1.3

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 \ln (| 2 - V^{2} |) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Этап 6.3.2.1.1.3.2

Умножим $\ln (| 2 - V^{2} |)$ на $1$ .

$\ln (| 2 - V^{2} |) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Этап 6.3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (| 2 - V^{2} |) = - 3 \ln (| x |) - 3 C$

Этап 6.3.3

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\ln (| 2 - V^{2} |) + 3 \ln (| x |) = - 3 C$

Этап 6.3.4

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.4.1

Упростим $\ln (| 2 - V^{2} |) + 3 \ln (| x |)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.4.1.1

Упростим $3 \ln (| x |)$ путем переноса $3$ под логарифм.

$\ln (| 2 - V^{2} |) + \ln ({| x |}^{3}) = - 3 C$

Этап 6.3.4.1.2

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| 2 - V^{2} | {| x |}^{3}) = - 3 C$

Этап 6.3.5

Чтобы решить относительно $V$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (| 2 - V^{2} | {| x |}^{3})} = e^{- 3 C}$

Этап 6.3.6

Перепишем $\ln (| 2 - V^{2} | {| x |}^{3}) = - 3 C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{- 3 C} = | 2 - V^{2} | {| x |}^{3}$

Этап 6.3.7

Решим относительно $V$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.7.1

Перепишем уравнение в виде $| 2 - V^{2} | {| x |}^{3} = e^{- 3 C}$ .

$| 2 - V^{2} | {| x |}^{3} = e^{- 3 C}$

Этап 6.3.7.2

Разделим каждый член $| 2 - V^{2} | {| x |}^{3} = e^{- 3 C}$ на ${| x |}^{3}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.7.2.1

Разделим каждый член $| 2 - V^{2} | {| x |}^{3} = e^{- 3 C}$ на ${| x |}^{3}$ .

$\frac{| 2 - V^{2} | {| x |}^{3}}{{| x |}^{3}} = \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}$

Этап 6.3.7.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.7.2.2.1

Сократим общий множитель ${| x |}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.7.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{| 2 - V^{2} | {| x |}^{3}}{{| x |}^{3}} = \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}$

Этап 6.3.7.2.2.1.2

Разделим $| 2 - V^{2} |$ на $1$ .

$| 2 - V^{2} | = \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}$

Этап 6.3.7.3

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$2 - V^{2} = \pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}$

Этап 6.3.7.4

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$- V^{2} = \pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}} - 2$

Этап 6.3.7.5

Разделим каждый член $- V^{2} = \pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}} - 2$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.7.5.1

Разделим каждый член $- V^{2} = \pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}} - 2$ на $- 1$ .

$\frac{- V^{2}}{- 1} = \frac{\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

Этап 6.3.7.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.7.5.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{V^{2}}{1} = \frac{\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

Этап 6.3.7.5.2.2

Разделим $V^{2}$ на $1$ .

$V^{2} = \frac{\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

Этап 6.3.7.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.7.5.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.7.5.3.1.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}}{- 1}$ .

$V^{2} = - 1 \cdot (\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}) + \frac{- 2}{- 1}$

Этап 6.3.7.5.3.1.2

Перепишем $- 1 \cdot (\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}})$ в виде $- (\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}})$ .

$V^{2} = - (\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}) + \frac{- 2}{- 1}$

Этап 6.3.7.5.3.1.3

Разделим $- 2$ на $- 1$ .

$V^{2} = - (\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}) + 2$

Этап 6.3.7.6

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$V = \pm \sqrt{- (\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}) + 2}$

Этап 6.4

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Упростим постоянную интегрирования.

$V = \pm \sqrt{- (\pm \frac{C}{{| x |}^{3}}) + 2}$

Этап 6.4.2

Объединим константы с плюсом или минусом.

$V = \pm \sqrt{- (C \frac{1}{{| x |}^{3}}) + 2}$

Этап 7

Подставим $\frac{y}{x}$ вместо $V$ .

$\frac{y}{x} = \pm \sqrt{- (C \frac{1}{{| x |}^{3}}) + 2}$

Этап 8

Решим $\frac{y}{x} = \pm \sqrt{- (C \frac{1}{{| x |}^{3}}) + 2}$ относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Умножим обе части на $x$ .

$\frac{y}{x} x = (\pm \sqrt{- (C (\frac{1}{{| x |}^{3}})) + 2}) x$

Этап 8.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y}{x} x = (\pm \sqrt{- (C (\frac{1}{{| x |}^{3}})) + 2}) x$

Этап 8.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$y = (\pm \sqrt{- (C (\frac{1}{{| x |}^{3}})) + 2}) x$

Этап 8.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Упростим $(\pm \sqrt{- (C (\frac{1}{{| x |}^{3}})) + 2}) x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1.1

Объединим $C$ и $\frac{1}{{| x |}^{3}}$ .

$y = (\pm \sqrt{- \frac{C}{{| x |}^{3}} + 2}) x$

Этап 8.2.2.1.2

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{{| x |}^{3}}{{| x |}^{3}}$ .

$y = (\pm \sqrt{- \frac{C}{{| x |}^{3}} + \frac{2 {| x |}^{3}}{{| x |}^{3}}}) x$

Этап 8.2.2.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = (\pm \sqrt{\frac{- C + 2 {| x |}^{3}}{{| x |}^{3}}}) x$

Этап 8.2.2.1.4

Перепишем $\frac{- C + 2 {| x |}^{3}}{{| x |}^{3}}$ в виде ${(\frac{1}{| x |})}^{2} \frac{- C + 2 {| x |}^{3}}{| x |}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1.4.1

Вынесем полную степень $1^{2}$ из $- C + 2 {| x |}^{3}$ .

$y = (\pm \sqrt{\frac{1^{2} (- C + 2 {| x |}^{3})}{{| x |}^{3}}}) x$

Этап 8.2.2.1.4.2

Вынесем полную степень ${| x |}^{2}$ из ${| x |}^{3}$ .

$y = (\pm \sqrt{\frac{1^{2} (- C + 2 {| x |}^{3})}{{| x |}^{2} | x |}}) x$

Этап 8.2.2.1.4.3

Перегруппируем дробь $\frac{1^{2} (- C + 2 {| x |}^{3})}{{| x |}^{2} | x |}$ .

$y = (\pm \sqrt{{(\frac{1}{| x |})}^{2} \frac{- C + 2 {| x |}^{3}}{| x |}}) x$

Этап 8.2.2.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = (\pm \frac{1}{| x |} \sqrt{\frac{- C + 2 {| x |}^{3}}{| x |}}) x$

Этап 8.2.2.1.6

Перепишем $\sqrt{\frac{- C + 2 {| x |}^{3}}{| x |}}$ в виде $\frac{\sqrt{- C + 2 {| x |}^{3}}}{\sqrt{| x |}}$ .

$y = (\pm \frac{1}{| x |} \cdot \frac{\sqrt{- C + 2 {| x |}^{3}}}{\sqrt{| x |}}) x$

Этап 8.2.2.1.7

Объединим.

$y = (\pm \frac{1 \sqrt{- C + 2 {| x |}^{3}}}{| x | \sqrt{| x |}}) x$

Этап 8.2.2.1.8

Умножим $\sqrt{- C + 2 {| x |}^{3}}$ на $1$ .

$y = (\pm \frac{\sqrt{- C + 2 {| x |}^{3}}}{| x | \sqrt{| x |}}) x$

Этап 8.2.2.1.9

Умножим $\frac{\sqrt{- C + 2 {| x |}^{3}}}{| x | \sqrt{| x |}}$ на $\frac{\sqrt{| x |}}{\sqrt{| x |}}$ .

$y = (\pm \frac{\sqrt{- C + 2 {| x |}^{3}}}{| x | \sqrt{| x |}} \cdot \frac{\sqrt{| x |}}{\sqrt{| x |}}) x$

Этап 8.2.2.1.10

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1.10.1

Умножим $\frac{\sqrt{- C + 2 {| x |}^{3}}}{| x | \sqrt{| x |}}$ на $\frac{\sqrt{| x |}}{\sqrt{| x |}}$ .

$y = (\pm \frac{\sqrt{- C + 2 {| x |}^{3}} \sqrt{| x |}}{| x | \sqrt{| x |} \sqrt{| x |}}) x$

Этап 8.2.2.1.10.2

Перенесем $\sqrt{| x |}$ .

$y = (\pm \frac{\sqrt{- C + 2 {| x |}^{3}} \sqrt{| x |}}{| x | (\sqrt{| x |} \sqrt{| x |})}) x$

Этап 8.2.2.1.10.3

Возведем $\sqrt{| x |}$ в степень $1$ .

$y = (\pm \frac{\sqrt{- C + 2 {| x |}^{3}} \sqrt{| x |}}{| x | ({\sqrt{| x |}}^{1} \sqrt{| x |})}) x$

Этап 8.2.2.1.10.4

Возведем $\sqrt{| x |}$ в степень $1$ .

$y = (\pm \frac{\sqrt{- C + 2 {| x |}^{3}} \sqrt{| x |}}{| x | ({\sqrt{| x |}}^{1} {\sqrt{| x |}}^{1})}) x$

Этап 8.2.2.1.10.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = (\pm \frac{\sqrt{- C + 2 {| x |}^{3}} \sqrt{| x |}}{| x | {\sqrt{| x |}}^{1 + 1}}) x$

Этап 8.2.2.1.10.6

Добавим $1$ и $1$ .

$y = (\pm \frac{\sqrt{- C + 2 {| x |}^{3}} \sqrt{| x |}}{| x | {\sqrt{| x |}}^{2}}) x$

Этап 8.2.2.1.10.7

Перепишем ${\sqrt{| x |}}^{2}$ в виде $| x |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1.10.7.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{| x |}$ в виде ${| x |}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = (\pm \frac{\sqrt{- C + 2 {| x |}^{3}} \sqrt{| x |}}{| x | {({| x |}^{\frac{1}{2}})}^{2}}) x$

Этап 8.2.2.1.10.7.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = (\pm \frac{\sqrt{- C + 2 {| x |}^{3}} \sqrt{| x |}}{| x | {| x |}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}) x$

Этап 8.2.2.1.10.7.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$y = (\pm \frac{\sqrt{- C + 2 {| x |}^{3}} \sqrt{| x |}}{| x | {| x |}^{\frac{2}{2}}}) x$

Этап 8.2.2.1.10.7.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1.10.7.4.1

Сократим общий множитель.

$y = (\pm \frac{\sqrt{- C + 2 {| x |}^{3}} \sqrt{| x |}}{| x | {| x |}^{\frac{2}{2}}}) x$

Этап 8.2.2.1.10.7.4.2

Перепишем это выражение.

$y = (\pm \frac{\sqrt{- C + 2 {| x |}^{3}} \sqrt{| x |}}{| x | {| x |}^{1}}) x$

Этап 8.2.2.1.10.7.5

Упростим.

$y = (\pm \frac{\sqrt{- C + 2 {| x |}^{3}} \sqrt{| x |}}{| x | | x |}) x$

Этап 8.2.2.1.11

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$y = (\pm \frac{\sqrt{(- C + 2 {| x |}^{3}) | x |}}{| x | | x |}) x$

Этап 8.2.2.1.12

Для перемножения модулей следует перемножить члены внутри каждого модуля.

$y = (\pm \frac{\sqrt{(- C + 2 {| x |}^{3}) | x |}}{| x \cdot x |}) x$

Этап 8.2.2.1.13

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1.13.1

Умножим $x$ на $x$ .

$y = (\pm \frac{\sqrt{(- C + 2 {| x |}^{3}) | x |}}{| x^{2} |}) x$

Этап 8.2.2.1.13.2

Вынесем неотрицательные члены из-под знака модуля.

$y = (\pm \frac{\sqrt{(- C + 2 {| x |}^{3}) | x |}}{x^{2}}) x$

Этап 8.2.2.1.14

Изменим порядок множителей в $(\pm \frac{\sqrt{(- C + 2 {| x |}^{3}) | x |}}{x^{2}}) x$ .

$y = (\pm \frac{\sqrt{| x | (- C + 2 {| x |}^{3})}}{x^{2}}) x$