Математический анализ Примеры

$\frac{d Q}{d t} + \frac{1}{20} Q = 0$

Этап 1

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (t) d t}$ , где $P (t) = \frac{1}{20}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int \frac{1}{20} d t}$

Этап 1.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$e^{\frac{1}{20} t + C}$

Этап 1.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{\frac{1}{20} t}$

Этап 1.4

Объединим $\frac{1}{20}$ и $t$ .

$e^{\frac{t}{20}}$

Этап 2

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $e^{\frac{t}{20}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член на $e^{\frac{t}{20}}$ .

$e^{\frac{t}{20}} \frac{d Q}{d t} + e^{\frac{t}{20}} (\frac{1}{20} Q) = e^{\frac{t}{20}} \cdot 0$

Этап 2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$e^{\frac{t}{20}} \frac{d Q}{d t} + \frac{1}{20} e^{\frac{t}{20}} Q = e^{\frac{t}{20}} \cdot 0$

Этап 2.2.2

Объединим $\frac{1}{20}$ и $e^{\frac{t}{20}}$ .

$e^{\frac{t}{20}} \frac{d Q}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{20}}}{20} Q = e^{\frac{t}{20}} \cdot 0$

Этап 2.2.3

Объединим $\frac{e^{\frac{t}{20}}}{20}$ и $Q$ .

$e^{\frac{t}{20}} \frac{d Q}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{20}} Q}{20} = e^{\frac{t}{20}} \cdot 0$

Этап 2.3

Умножим $e^{\frac{t}{20}}$ на $0$ .

$e^{\frac{t}{20}} \frac{d Q}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{20}} Q}{20} = 0$

Этап 2.4

Изменим порядок множителей в $e^{\frac{t}{20}} \frac{d Q}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{20}} Q}{20} = 0$ .

$e^{\frac{t}{20}} \frac{d Q}{d t} + \frac{Q e^{\frac{t}{20}}}{20} = 0$

Этап 3

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d t} [e^{\frac{t}{20}} Q] = 0$

Этап 4

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d t} [e^{\frac{t}{20}} Q] d t = \int 0 d t$

Этап 5

Проинтегрируем левую часть.

$e^{\frac{t}{20}} Q = \int 0 d t$

Этап 6

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Интеграл $0$ по $t$ имеет вид $0$ .

$e^{\frac{t}{20}} Q = 0 + C$

Этап 6.2

Добавим $0$ и $C$ .

$e^{\frac{t}{20}} Q = C$

Этап 7

Разделим каждый член $e^{\frac{t}{20}} Q = C$ на $e^{\frac{t}{20}}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разделим каждый член $e^{\frac{t}{20}} Q = C$ на $e^{\frac{t}{20}}$ .

$\frac{e^{\frac{t}{20}} Q}{e^{\frac{t}{20}}} = \frac{C}{e^{\frac{t}{20}}}$

Этап 7.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Сократим общий множитель $e^{\frac{t}{20}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{\frac{t}{20}} Q}{e^{\frac{t}{20}}} = \frac{C}{e^{\frac{t}{20}}}$

Этап 7.2.1.2

Разделим $Q$ на $1$ .

$Q = \frac{C}{e^{\frac{t}{20}}}$