Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} + \frac{x^{2} + 25}{y^{3} - y^{2}} = 0$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Решим относительно $\frac{d y}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Упростим $\frac{d y}{d x} + \frac{x^{2} + 25}{y^{3} - y^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Вынесем множитель $y^{2}$ из $y^{3} - y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1.1

Вынесем множитель $y^{2}$ из $y^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{x^{2} + 25}{y^{2} y - y^{2}} = 0$

Этап 1.1.1.1.2

Вынесем множитель $y^{2}$ из $- y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{x^{2} + 25}{y^{2} y + y^{2} \cdot - 1} = 0$

Этап 1.1.1.1.3

Вынесем множитель $y^{2}$ из $y^{2} y + y^{2} \cdot - 1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{x^{2} + 25}{y^{2} (y - 1)} = 0$

Этап 1.1.1.2

Чтобы записать $\frac{d y}{d x}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{(y - 1) y^{2}}{(y - 1) y^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} \cdot \frac{(y - 1) y^{2}}{(y - 1) y^{2}} + \frac{x^{2} + 25}{y^{2} (y - 1)} = 0$

Этап 1.1.1.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(y - 1) y^{2}$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.1

Объединим $\frac{d y}{d x}$ и $\frac{(y - 1) y^{2}}{(y - 1) y^{2}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} ((y - 1) y^{2})}{(y - 1) y^{2}} + \frac{x^{2} + 25}{y^{2} (y - 1)} = 0$

Этап 1.1.1.3.2

Изменим порядок множителей в $(y - 1) y^{2}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} ((y - 1) y^{2})}{y^{2} (y - 1)} + \frac{x^{2} + 25}{y^{2} (y - 1)} = 0$

Этап 1.1.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{d y}{d x} ((y - 1) y^{2}) + x^{2} + 25}{y^{2} (y - 1)} = 0$

Этап 1.1.1.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(\frac{d y}{d x} y + \frac{d y}{d x} \cdot - 1) y^{2} + x^{2} + 25}{y^{2} (y - 1)} = 0$

Этап 1.1.1.5.2

Перенесем $- 1$ влево от $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{(\frac{d y}{d x} y - 1 \cdot \frac{d y}{d x}) y^{2} + x^{2} + 25}{y^{2} (y - 1)} = 0$

Этап 1.1.1.5.3

Перепишем $- 1 \frac{d y}{d x}$ в виде $- \frac{d y}{d x}$ .

$\frac{(\frac{d y}{d x} y - \frac{d y}{d x}) y^{2} + x^{2} + 25}{y^{2} (y - 1)} = 0$

Этап 1.1.1.5.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\frac{d y}{d x} y \cdot y^{2} - \frac{d y}{d x} y^{2} + x^{2} + 25}{y^{2} (y - 1)} = 0$

Этап 1.1.1.5.5

Умножим $y$ на $y^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.5.5.1

Перенесем $y^{2}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} (y^{2} y) - \frac{d y}{d x} y^{2} + x^{2} + 25}{y^{2} (y - 1)} = 0$

Этап 1.1.1.5.5.2

Умножим $y^{2}$ на $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.5.5.2.1

Возведем $y$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} (y^{2} y^{1}) - \frac{d y}{d x} y^{2} + x^{2} + 25}{y^{2} (y - 1)} = 0$

Этап 1.1.1.5.5.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\frac{d y}{d x} y^{2 + 1} - \frac{d y}{d x} y^{2} + x^{2} + 25}{y^{2} (y - 1)} = 0$

Этап 1.1.1.5.5.3

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} y^{3} - \frac{d y}{d x} y^{2} + x^{2} + 25}{y^{2} (y - 1)} = 0$

Этап 1.1.2

Приравняем числитель к нулю.

$\frac{d y}{d x} y^{3} - \frac{d y}{d x} y^{2} + x^{2} + 25 = 0$

Этап 1.1.3

Решим уравнение относительно $\frac{d y}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Перенесем все члены без $\frac{d y}{d x}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1

Вычтем $x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d y}{d x} y^{3} - \frac{d y}{d x} y^{2} + 25 = - x^{2}$

Этап 1.1.3.1.2

Вычтем $25$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d y}{d x} y^{3} - \frac{d y}{d x} y^{2} = - x^{2} - 25$

Этап 1.1.3.2

Вынесем множитель $\frac{d y}{d x} y^{2}$ из $\frac{d y}{d x} y^{3} - \frac{d y}{d x} y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.1

Вынесем множитель $\frac{d y}{d x} y^{2}$ из $\frac{d y}{d x} y^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} y^{2} y - \frac{d y}{d x} y^{2} = - x^{2} - 25$

Этап 1.1.3.2.2

Вынесем множитель $\frac{d y}{d x} y^{2}$ из $- \frac{d y}{d x} y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} y^{2} y + \frac{d y}{d x} y^{2} \cdot - 1 = - x^{2} - 25$

Этап 1.1.3.2.3

Вынесем множитель $\frac{d y}{d x} y^{2}$ из $\frac{d y}{d x} y^{2} y + \frac{d y}{d x} y^{2} \cdot - 1$ .

$\frac{d y}{d x} y^{2} (y - 1) = - x^{2} - 25$

Этап 1.1.3.3

Разделим каждый член $\frac{d y}{d x} y^{2} (y - 1) = - x^{2} - 25$ на $y^{2} (y - 1)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1

Разделим каждый член $\frac{d y}{d x} y^{2} (y - 1) = - x^{2} - 25$ на $y^{2} (y - 1)$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} y^{2} (y - 1)}{y^{2} (y - 1)} = \frac{- x^{2}}{y^{2} (y - 1)} + \frac{- 25}{y^{2} (y - 1)}$

Этап 1.1.3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.2.1

Сократим общий множитель $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{d y}{d x} y^{2} (y - 1)}{y^{2} (y - 1)} = \frac{- x^{2}}{y^{2} (y - 1)} + \frac{- 25}{y^{2} (y - 1)}$

Этап 1.1.3.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{d y}{d x} (y - 1)}{y - 1} = \frac{- x^{2}}{y^{2} (y - 1)} + \frac{- 25}{y^{2} (y - 1)}$

Этап 1.1.3.3.2.2

Сократим общий множитель $y - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{d y}{d x} (y - 1)}{y - 1} = \frac{- x^{2}}{y^{2} (y - 1)} + \frac{- 25}{y^{2} (y - 1)}$

Этап 1.1.3.3.2.2.2

Разделим $\frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x^{2}}{y^{2} (y - 1)} + \frac{- 25}{y^{2} (y - 1)}$

Этап 1.1.3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.3.1.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2}}{y^{2} (y - 1)} + \frac{- 25}{y^{2} (y - 1)}$

Этап 1.1.3.3.3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2}}{y^{2} (y - 1)} - \frac{25}{y^{2} (y - 1)}$

Этап 1.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- \frac{x^{2}}{y^{2} (y - 1)} - \frac{25}{y^{2} (y - 1)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- \frac{x^{2}}{y^{2} (y - 1)}$ .

$\frac{d y}{d x} = - (\frac{x^{2}}{y^{2} (y - 1)}) - \frac{25}{y^{2} (y - 1)}$

Этап 1.2.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- \frac{25}{y^{2} (y - 1)}$ .

$\frac{d y}{d x} = - (\frac{x^{2}}{y^{2} (y - 1)}) - (\frac{25}{y^{2} (y - 1)})$

Этап 1.2.1.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (\frac{x^{2}}{y^{2} (y - 1)}) - (\frac{25}{y^{2} (y - 1)})$ .

$\frac{d y}{d x} = - (\frac{x^{2}}{y^{2} (y - 1)} + \frac{25}{y^{2} (y - 1)})$

Этап 1.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2} + 25}{y^{2} (y - 1)}$

Этап 1.3

Умножим обе части на $y^{2} (y - 1)$ .

$y^{2} (y - 1) \frac{d y}{d x} = y^{2} (y - 1) (- \frac{x^{2} + 25}{y^{2} (y - 1)})$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$y^{2} (y - 1) \frac{d y}{d x} = - y^{2} (y - 1) \frac{x^{2} + 25}{y^{2} (y - 1)}$

Этап 1.4.2

Сократим общий множитель $y^{2} (y - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Вынесем множитель $y^{2} (y - 1)$ из $- y^{2} (y - 1)$ .

$y^{2} (y - 1) \frac{d y}{d x} = y^{2} (y - 1) (- 1) \frac{x^{2} + 25}{y^{2} (y - 1)}$

Этап 1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$y^{2} (y - 1) \frac{d y}{d x} = y^{2} (y - 1) \cdot - 1 \frac{x^{2} + 25}{y^{2} (y - 1)}$

Этап 1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$y^{2} (y - 1) \frac{d y}{d x} = - (x^{2} + 25)$

Этап 1.4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{2} (y - 1) \frac{d y}{d x} = - x^{2} - 1 \cdot 25$

Этап 1.4.4

Умножим $- 1$ на $25$ .

$y^{2} (y - 1) \frac{d y}{d x} = - x^{2} - 25$

Этап 1.5

Перепишем уравнение.

$y^{2} (y - 1) d y = (- x^{2} - 25) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int y^{2} (y - 1) d y = \int - x^{2} - 25 d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Умножим $y^{2} (y - 1)$ .

$\int y^{2} y + y^{2} \cdot - 1 d y = \int - x^{2} - 25 d x$

Этап 2.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Умножим $y^{2}$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Умножим $y^{2}$ на $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1.1

Возведем $y$ в степень $1$ .

$\int y^{2} y^{1} + y^{2} \cdot - 1 d y = \int - x^{2} - 25 d x$

Этап 2.2.2.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int y^{2 + 1} + y^{2} \cdot - 1 d y = \int - x^{2} - 25 d x$

Этап 2.2.2.1.2

Добавим $2$ и $1$ .

$\int y^{3} + y^{2} \cdot - 1 d y = \int - x^{2} - 25 d x$

Этап 2.2.2.2

Перенесем $- 1$ влево от $y^{2}$ .

$\int y^{3} - 1 \cdot y^{2} d y = \int - x^{2} - 25 d x$

Этап 2.2.2.3

Перепишем $- 1 y^{2}$ в виде $- y^{2}$ .

$\int y^{3} - y^{2} d y = \int - x^{2} - 25 d x$

Этап 2.2.3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int y^{3} d y + \int - y^{2} d y = \int - x^{2} - 25 d x$

Этап 2.2.4

По правилу степени интеграл $y^{3}$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} + \int - y^{2} d y = \int - x^{2} - 25 d x$

Этап 2.2.5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} - \int y^{2} d y = \int - x^{2} - 25 d x$

Этап 2.2.6

По правилу степени интеграл $y^{2}$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} - (\frac{1}{3} y^{3} + C_{2}) = \int - x^{2} - 25 d x$

Этап 2.2.7

Упростим.

$\frac{1}{4} y^{4} - \frac{1}{3} y^{3} + C_{3} = \int - x^{2} - 25 d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\frac{1}{4} y^{4} - \frac{1}{3} y^{3} + C_{3} = \int - x^{2} d x + \int - 25 d x$

Этап 2.3.2

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{4} y^{4} - \frac{1}{3} y^{3} + C_{3} = - \int x^{2} d x + \int - 25 d x$

Этап 2.3.3

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{4} y^{4} - \frac{1}{3} y^{3} + C_{3} = - (\frac{1}{3} x^{3} + C_{4}) + \int - 25 d x$

Этап 2.3.4

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{4} y^{4} - \frac{1}{3} y^{3} + C_{3} = - (\frac{1}{3} x^{3} + C_{4}) - 25 x + C_{5}$

Этап 2.3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$\frac{1}{4} y^{4} - \frac{1}{3} y^{3} + C_{3} = - (\frac{x^{3}}{3} + C_{4}) - 25 x + C_{5}$

Этап 2.3.5.2

Упростим.

$\frac{1}{4} y^{4} - \frac{1}{3} y^{3} + C_{3} = - \frac{1}{3} x^{3} - 25 x + C_{6}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$\frac{1}{4} y^{4} - \frac{1}{3} y^{3} = - \frac{1}{3} x^{3} - 25 x + K$